重难点突破02 解三角形图形类问题（十大题型）（解析版）.docx

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1、重难点突破02解三角形图形类问题目录题型一：妙用两次正弦定理题型二：两角使用余弦定理题型三：张角定理与等面积法题型四：角平分线问题/题型五：中线问题解三角形图形类问题题型六：高问题题型七：重心性质及其应用题型八：外心及外接圆问题题型九：两边夹问题题型十：内心及内切圆问题方法技巧总结解决三角形图形类问题的方法：方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；方法四：构造辅助线作出相似三角

2、形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；方法五i平面向量是解决几何问题的种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；方法六,建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.必考题型归纳题型一：妙用两次正弦定理例1.（2023全国高三专题练习）如图，四边形ABa）中NBAC=90,ZABC=30,4。_1_8,设乙48=/（1）若ABC面积是ACD面积的4倍，求sin26;(2)若ZAoB=g,求tan。.6【解析】(I)设AC=,则AB=W,Ao=asin9,CD=acos,由题意则,退a

3、=4,acose-asin。,所以sin26=走.222（2）由正弦定理,A3。中,BDABSinNBAD-SinNADBBDA即sin(;r-J)Sin26BCD,BDSinNBCDBDIa,即.(/z1二乃SmNCDBsn1j+9Ism()得：2sin(g+卜3sin化简得GeOSe=2sin6,所以tan。=立.例2,（2023湖北黄冈高一统考期末）如图，四边形ABCz）中/84090,ZABC=60,DCD,设ACD=.(1)若二ABC面积是.ACZ)面积的4倍，求Sin2。;(2)若tanNAO*,求tan。.【解析】(I)设AB=1,贝IJAC=A,AD=1sin6,CD=CoS6

4、,由题意S8c=4SAg，则15J=4Gcose64sin6,22所以sin2。=且.6由正弦定理，在的中，-ABSinNADBBD即S1(-)sinZADB1BDBCsinZCDsinZCDBBD2。即sinfsin(-ZADB)2：.,.sin。=sin(w+e),化简得CoSo=(2-)sin0,XD得:=2tanZ.ADB=所以tan=2+y3.例3.(2023全国高三专题练习)在AB=2AD,SinNAC8=2SinNAa),S/c=2S皿,这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.已知在四边形ABCO中，ZABC+ZADC=,BC=CD=2,且.(1)证明：tanZABC=3

5、tanZBAC：(2)若AC=3,求四边形ABC。的面积.【解析】（I）方案一：选条件.在一48C中，由正弦定理得,在.ACD中，由正弦定理得,ACBC48sinZ.ABCsinNBACsinNACBACCDADsinZADCsinZDACsinZACD因为NABC+NAZ)C=,所以SinNABC=SinNAz)C,因为BC=CD,所以SinNBAC=SinNDAC,因为NBAC+ND4C兀，所以NBAC=NZ)AC,因为AB=24),所以SinNAC8=2SinNA8.因为sinZACB=sin(ZABC+ZBAC),sinZACD=sin(ZC4D+ZADC)=sin(NBAC+-ZAB

6、C)=sin(ZABC-ZBAC),所以Sin(ZABC+ZBAC)=2sin(ZAC-Z4C),即sinZABCcosABAC+cosZABCsinZfiAC=2(sinZABCcosZfiACsZABCsinABAC),所以sinZABCcosZBAC=3cosZABCsinZBAC，所以tanNA4C=3tanABAC.ACBCsinZABCsinZfiACACCDSinZADC-SinZDAC方案二：选条件.在/8C中，由正弦定理得，在.ACD中，由正弦定理得,因为NABC+NADC=,所以SinNAfiC=sinNADC因为BC=CD,所以sinB4C=sinD4C.因为N84C+N

7、D4C+ZADC)=sin(ABAC+-ZABC)=sin(ZABC-BAC),SinzAC8=2SinZAcD,所以Sin(ZABC+NBAC)=2sin(ZABCNBAC),即sinZABCcosZBAC+cosZAfiCsinZAC=2(sinZABC-cosZBAC-cosZABCsinZBAC),所以sinZABCcosZBAC=3cosZABCsin/BAC,所以tanNABC=3tanNBAC.方案三：选条件.因为S八BC=；BCACsinNAC8,Scd=CD-ACsinZACD,且BC=C),Sabc=2Sacd,所以sinZACB=2sinZACD在二48C中，由正弦定理得

8、，.二，BCSinZfiAC在.ACD中，山正弦定理得,ACSinZADCCDSinZDAC因为NABC+NAZ)C=,所以SinNABC=sinNAZX?,因为BC=CD,所以SinNBAC=SinNmC,因为N84C+ND4Cv,所以NBAC=NDAC.因为SinZACB=Sin(ZABC+N8AC),sinZACD=Sin(NC40+ZADC)=sin(ZfiAC+-ZABC)=sin(ZABC-ABAC),所以sin(ZABC+ZBAC)=2sin(ZABC-ZBAC),即sinZABCcosZBAC+cosZABCsinZBAC=2(sinZABCcos/BAC-cosZABCsin

9、ZR4C),所以sinZABCcosZBAC=3cosZABCsinNBAC，所以tanNABC=3tanNBAC.（2）选择，答案均相同，由（1）可设A。=X,则A8=2x,在48C中，由余弦定理得，cosZABC=AB?+BC?-AC?2ABBC4-5Sx在“CD中，由余弦定理得,c-A。?2ADCD4x因为8sZABC=cos(-ZADC)=-cosZADC,所以*=一展解得“二当或乎（舍去所以四边形ABCD的面积S=3&A。=3A。COsinZADC=名竺.28变式1.（2023甘肃金昌高一永昌县第一高级中学校考期中）如图，在平面四边形ABCD中,BCD=-,B=,ABC=-24C1、

10、D(1)当BC=,CD=戊时,求AACz)的面积.(2)当ZOC=,AO=2时，求tanACB.6【解析】(1)当8C=时，在aABC中，AB=I5ZABC=-,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB-BCcosZABC，即AC2=3-2cos至=5,解得AC=有,4所以鼻泮=磊醇因为ZBCD=三，则SinZACD=cosZACB=2JO又CD=币,所以qA8的面积是Sacd=|ACCDsinZACD=57=14.4?AC(2)在，ABC中，山正弦定理得F“a=sinNACBsinZABC.rt.3rnABsin即ac=4=S.sinZACB2cosZACD在.ACD中，由正弦定理得ADS

11、inZACDACsinZADCrADsin-即AC=6-ISinZACDSinNACQ2cosZ.ACDsinZ.ACD整理得sinZACD=2cosZACD，因为NA8v,2所以UmNAa)=,因为NBCr)=I,所以tanNACB=tan(-ZACDsin-ZACDI八八,r-(2J_COSNACQ_正(/asinZACDtanZACD2CosI-ZACD1变式2.（2023广东广州高一统考期末）如图，在平面四边形ABC。中，BCD=,AB=,ABCy.(1)若BC=2,CD=百，求-ACZ)的面积;(2)若ZAZ)C=2,AO=2,求COSNAa.62九B【解析】(I)因为A8=1,/A

12、8C=7，BC=2,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABACcosy=7,即AC=,由余弦定理得cosZACB=*，2ACBC14所以SinNACO=Si唱一NACq=COSzC5=等,所以qA8的面积S=1XACXCoXSinzACo=侦24（2）在ZkAOC中，由正弦定理得ADSinNACQACsinZ.ADC2AC即SinzAC。一工,211AC在GABC中，由正弦定理得=-,即.(.ajcosZACD&SinZACBsinZABCSIn(I-NACOJ联立可得M考因为NACOe所以cosZACD=立7变式3.（2023广东统考模拟预测）在平面四边形ABCQ中，ZABD=/BCD=

13、90,ZDAB=45.(1)若AB=2,ZDBC=30,求AC的长；3(2)若IanNBAC=，求IanN)8C的值.4【解析】(1)在RtZABD中，因为ND48=45，所以08=2,在RI88中，C=2cos30=3,在SC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB-BCcosZABC=4+3-223cos120所以AC=J7+2J(2)设ZDBC=,在R,B8中，BC=BDcosa=Icosa.in/RAC44因为IanZBAC=-,所以CoSZBAC=-sinZBAC,cos/.BAC437+23.25于是cos?ZBAC+sin2NBAC=sin2ZBAC=1,因为ON8AC90，34所以SinNBAC=,cosZBAC=在./SC中，由止弦定理得48SinzAC8CBSinZBAC2_2cos0所以sin(90_勾_/。8)_353于是COSaCoS(+NC48)=jBP4cos2tz-3sinacosa=3，所以_4-3tana1+tan2a4cos20-3sinacos0cos2+sin2a因为O90，所以tanZ.DBC=tana-.6变式4.(2023江苏徐州高一统考期末)在二Jci:,sinB-cos5=JABC的cosBcosCa+c-bc面积S=4bSsinC+ctanCcos5)这三个条件中任选一个，补充在下面