抽象函数能力提升训练-解析版.docx

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1、抽象函数能力提升训练一、考法概述抽象函数主要有两个研究方向:一是由抽象函数结构、性质,联想已学过的基本函数,再由基本函数的相关结论,预测、猜想抽象函数可能有的相关结论.二是根据给出的抽象函数性质,推导其特殊的性质和关系.考题多和函数的性质(单调性、奇偶性、周期性等)相结合,以小题的方式考查.二、重要结论1关于函数图象的对称中心或对称轴的常用结论：(1)若函数/U)满足关系/(+x)=K7-x),则函数凡)的图象关于直线x=a对称；(2)若函数4处满足关系儿i+x)Mb-x),则函数Ar)的图象关于直线X二手对称；(3)若函数4幻满足关系/(+x)=(b-x),则函数AX)的图象关于点(手,0)

2、对称；(4)若函数4幻满足关系(+x)或Ax)=c,则函数火幻的图象关于点段对称.2 .设_/(%)的周期为T,对段)的定义域内任一自变量的值乂有如下结论：(1)若r+)=r)3r),则T=2a;(2)若r+)=白3#),贝IJT=2;(3)若r+)如+b)(b),则T=a-b.3 .对称性与周期性之间的常用结论：(1)若函数段)的图象关于直线x=和x=b对称,则函数兀0的周期T=2b-;(2)若函数人外的图象关于点3,0)和点(加0)对称,则函数,/W的周期T=2b-a;若函数/U)的图象关于直线x=和点(力,0)对称,则函数,%)的周期T=4b-.三、解法概述解决抽象函数问题的常用方法：方

3、法一(通法)1赋值,特殊值代入求值,如令X=O,1,2,3,.2.通过函数式得到抽象函数的性质：(1)通过y)(M)的变换判断单调性；(2)令式子中出现Ar)和,穴-x),判断函数的奇偶性；(3)换%为x+T确定是否具有周期性.方法二(模型化)结合具体函数,使得抽象函数具体化,常见的有:(g+y)=+v)_y=kx(2次r+y)=/U)y=v(O且a)(3加Xy)MX)税，)_y=1og0且1);(4次Xy)Mx)y)y=xn(n为常数)；(5才(X+y)=tan%;力-f(x)f(y)J(6VU+y)+r-y)=织XMy)y=cosx注意转化与化归策略、迭代策略、数形结合策略等的运用.四、典

4、例精析【2023新高考全国I1卷8】已知函数4t)的定义域为R,且儿行2)是偶函数Zt+1)是奇函数,则()A.y(-)=oB.y(-i)=oC2)=od(4)=o【答案】B【解析】【解法一】常规方法推导.丁加+2)是偶函数，：氏x+2)=y+2).：/2叶1)是奇函数，.：4-2t+1)=(2x+1).由尸(X)可(2x+1)是奇函数,可得尸(0)习(1)=0,.：如1)=:/(3)=贝)=0淇他几个选项不一定成立,故选B.【解法二】特殊函数秒杀.由於+2)是偶函数42x+1)是奇函数,可取KX)=COSCXE),可得,穴-1)=0,其他几个选项均不成立,故选B.【2023新高考全国卷8】若

5、函数K幻的定义域为R,且於+y)t3y)=7W(i)=M)=()k=1A.-3B.-2C.0D.1【答案】A解法一】令X二I尸0,得贺1)1)/(0),所以0)=2.令y=1,得fix+1)+(x-1)=x)1),所以/+1)t8D=,即/+1)=(x)(x-D,所以/+2)=+1),所以危+2)二处-1),即/+3)=,所以/=(x+3)习a+6),即加)是周期为6的周期函数.因为0)=2g)=1/2)M1)0)=1t(3)=(0)=2t(4)=U)=1t5)=(2)=16)M0)=2,所以22)=O+2)+.+18)+19)20)47(21)4(22)=(19)+(20)(21)+22)=

6、1)+(2)(IC=I3)+/(4)=-3.【解法二】取段)=2cos3:符合条件,则T=6,计算可得/(2)=13)=-24)=1O肘，f(x)=X2InX,则r(x)=2x1nx+2,=(21nx+1),令r(“O,得o0,得xe(1故/(幻在O,e上单调递减，在e-+oo上单调递增，(_1(因为f()为偶函数，所以/O)在一e2,0上单调递增，在一oo,e2上单调递减,显然，此时X=O是f)的极大值，故D错误.故选：ABC.【针对训练】1.2023全国甲卷设函数/W的定义域为R(x+1)为奇函数双什2)为偶函数,当x1,2时用)s2+b.若用)+43)=6,则理)=()a93c7八5A-

7、B.-C.D.4242【答案】D【解析】由r+1)是奇函数,知函数7U)的图象关于点(1,0)对称,则1)=+b=(M(O)=力2).由於+2)是偶函数,知函数段)的图象关于直线x=2对称,则3)二川),所以府)是以4为周期的周期函数.由/(0)+/(3)=(2)+/(1)=-4a-b+a+b=6,解得a=-2,所以=21(x)=-2x2+2,故W)O屣卜卜呜工归2.2023全国乙卷已知函数U),g(x)的定义域均为R,且凡1)+8(2-%)=5。)次04)=7,若产8(工)的图象关于直线x=2对称,g(2)=4,则&)=()k=1A.-21B.-22C.-23D.-24【答案】D【解析】由W

8、+g(2-x)=5得y(x)=5-g(2-x)由g(%)(x-4)=7得/(x-4)=g(x)-7,所以/(x)=g(x+4)-7.由得5-g(2-x)=g(x+4)-7,即g(x+4)+g(2-X)=I2,所以y=g(x)的图象关于点(3,6)对称,g(3)=6,又y=g(x)的图象关于直线x=2对称,所以函数g(x)是周期为4的函数,且g(1)=g(3)=6x)=g)-7.因为g(4)+g(2)=12,所以g(4)=12-5(2)=12-4=8,所以/(1)=g-7=-12)=g-7=-3)=r+y)+c-y)ajeR),且川)甘,则/(2023)=()A.-B.-C.-D.-3333【答

9、案】D【解析】由题意，取产1,则机ti(i)=+i)tki),即y=+i)t-i)，所以,U+1)Mx+2)t联立谡得加+2)=U-1),所以%)=U+3)Xx+6),所以函数儿I)的周期为6,0f12O23)=(6337+1)=1)=i4.已知函数r)满足於+3)MI-X)+双2)对任意xR恒成立,且函数於+9)的图象关于点(-9,0)对称1)=2023,则45)=()A.2023B.-2023C.2023D.-2023【答案】D【解析】因为对任意XWR,都有於+3)=U-x)+%(2),所以令x=-1,得2)可(2)+现2),解得2)=0,则於+3)可(I-X),即於+4)J-x),所以函

10、数负%)的图象关于直线尸2对称.又函数加+9)的图象关于点(-9,0)对称,则函数Ar)的图象关于点(0,0)对称,即函数/W为奇函数,所以/(x+4)=(-x)=(x),所以/(x+8)=(+4)=(x),所以8是函数，)的一个周期，所以45)=(68-3)(-3)=(3)=(1)=-2023,故选D.5 .函数TW和g(x)的定义域均为Rj1y=(4+x)为偶函数,y=g(x+4)+1为奇函数,对任意xR,均有+g(x)r2+1则火7)g=()A.575B.598C.621D.624【答案】C【解析】：？=i(4+X)为偶函数,即共4+x)=(4-x),y-fix)的图象关于直线x=4对称

11、.：,y=g(x+4)+1为奇函数,即g(4-x)+1=-g(4+x)-1,.：y=g(x)的图象关于点(4,-1)对称.：对任意x旦均有段)+8。)=/+1,：川)+8(1)=2.：3宁”)的图象关于直线1=4对称,：川)寸7).：1=8。)的图象关于点(4,-1)对称,：g(1)=2g(7),C7)-g(7)=4.又7)+g=1+72=50,.：/(7)=27,g=23,次7)g(7)=621故选C6 .已知函数左+1)Wt署,若43)=2,则/023尸.1W【答案】2【解析】由於+D=摘,联想tan(x+3=F,由于函数产tan(%+9的最小正周期为1+14(X)=4x故猜想函数於+1)的周期为4x1=4.事实上,由J(x+2)=J1(x+1)+1=-=-i-,41w,(x)t+4)M(x+2)+2=7=(x),即函数T(X)的周期是4,(2023)=(4x505+3)y3)=2.五、强化练习1 .已知函数产/(2x-1)是R上的奇函数,函数y=(x)的图象与函数y=g(x)的图象关于直线y=-x对称,则g(x)+g(-x)=.【答案】2【解析】：函数y=(2x-1)是R上的奇函数,火I)=O,即於)的图象关于(-1,0)对称,又函数y=(x)的图象与函数y=g(x)的图象关于直线y=-x对称,g(x)的图象关于点(0,1)对称,：g(x)+g(=2.2