抽象函数能力提升训练-学生版.docx

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1、抽象函数能力提升训练一、考法概述抽象函数主要有两个研究方向:一是由抽象函数结构、性质,联想已学过的基本函数,再由基本函数的相关结论,预测、猜想抽象函数可能有的相关结论.二是根据给出的抽象函数性质,推导其特殊的性质和关系.考题多和函数的性质(单调性、奇偶性、周期性等)相结合,以小题的方式考查.二、重要结论1 .关于函数图象的对称中心或对称轴的常用结论：(1)若函数TW满足关系/(+x)=(-x),则函数TW的图象关于直线x=a对称；(2)若函数Ar)满足关系/(+x)Xb-x),则函数人X)的图象关于直线X二手对称；(3)若函数4幻满足关系/(+x)=(b-x),则函数AX)的图象关于点：(手,

2、0)对称；(4)若函数4幻满足关系/(+x)或Ax)=c,则函数火幻的图象关于点段对称.2 .设_/(%)的周期为T,对段)的定义域内任一自变量的值乂有如下结论：(1)若+)=Cr)3r),则T=2a;(2)若r+)=白3#),贝IJT=2;(3)若U+)如+b)(ob),则T=a-b.3 .对称性与周期性之间的常用结论：(1)若函数段)的图象关于直线x=和x=b对称,则函数兀0的周期T=2b-;(2)若函数Ar)的图象关于点3,0)和点(加0)对称,则函数,/W的周期T=2b-a;(3)若函数段)的图象关于直线x=和点(加0)对称,则函数,%)的周期T=4b-.三、解法概述解决抽象函数问题的

3、常用方法：方法一(通法)1赋值,特殊值代入求值,如令X=O,1,2,3,.2.通过函数式得到抽象函数的性质：(I)通过y)(M)的变换判断单调性；(2)令式子中出现Ar)和,穴-x),判断函数的奇偶性；(3)换%为x+T确定是否具有周期性.方法二(模型化)结合具体函数,使得抽象函数具体化,常见的有：(g+y)=+v)_y=kx(2次r+y)=/U)y=v(O且a)(3加Xy)MX)税，)_y=1og0且1);(4次Xy)Mx)y)y=xn(n为常数)；(5才(X+y)=tan%;力-f(x)f(y)J(6VU+y)+r-y)=织XMy)y=cosx注意转化与化归策略、迭代策略、数形结合策略等的

4、运用.四、典例精析【2023新高考全国I1卷8】已知函数4t)的定义域为R,且儿行2)是偶函数Zt+1)是奇函数,则()A.y(-)=oB.y(-i)=oC2)=od(4)=o【答案】B【解析】【解法一】常规方法推导.丁加+2)是偶函数，：氏x+2)=y+2).：/2叶1)是奇函数，.：4-2t+1)=(2x+1).由尸(X)可(2x+1)是奇函数,可得尸(0)习(1)=0,.：如1)=:/(3)=贝)=0淇他几个选项不一定成立,故选B.【解法二】特殊函数秒杀.由於+2)是偶函数42x+1)是奇函数,可取KX)=COSCXE),可得,穴-1)=0,其他几个选项均不成立,故选B.【2023新高考

5、全国卷8】若函数K幻的定义域为R,且於+y)t3y)=7W(i)=M)=()k=1A.-3B.-2C.0D.1【答案】A解法一】令X二I尸0,得贺1)1)/(0),所以0)=2.令y=1,得fix+1)+(x-1)=x)1),所以/+1)t8D=,即/+1)=(x)(x-D,所以/+2)=+1),所以危+2)二处-1),即/+3)=,所以/=(x+3)习a+6),即加)是周期为6的周期函数.因为0)=2g)=1/2)M1)0)=1t(3)=(0)=2t(4)=U)=1t5)=(2)=16)M0)=2,所以22)=O+2)+.+18)+19)20)47(21)4(22)=(19)+(20)(21

6、)+22)=1)+(2)(IC=I3)+/(4)=-3.【解法二】取段)=2cos3:符合条件,则T=6,计算可得/(2)=13)=-24)=1O肘，f(x)=X2InX,则r(x)=2x1nx+2,=(21nx+1),令r(“O,得o0,得xe(1故/(幻在O,e上单调递减，在e-+oo上单调递增，（_1（因为f（）为偶函数，所以/O）在一e2,0上单调递增，在一oo,e2上单调递减,显然，此时X=O是f）的极大值，故D错误.故选：ABC.【针对训练】1.2023全国甲卷设函数段)的定义域为R加+1)为奇函数用+2)为偶函数,当x1,2时用)=r2+b.若IAO)+43)=6,则理)=()a

7、9Tx3c75A-B,-C.-D.42422.2023全国乙卷已知函数y,g(x)的定义域均为R,且+g(2-x)=5,g(x)(x-4)=7,若y=g(x)22的图象关于直线x=2对称,g(2)=4,则J(k)=()k=1A.-21B.-22C.-23D.-243 .函数外)满足狎My)MX+y)t)(x,)eR),且川)总则/(2023)=()B;C.-4 .已知函数段)满足Kt+3)=(1-x)+欢2)对任意xR恒成立,且函数於+9)的图象关于点(-9,0)对称1)=2023,则445)=()A.2023B.-2023C.2023D.-20235 .函数y和g(x)的定义域均为R,且y=

8、(4+x)为偶函数J=g(x+4)+1为奇函数,对任意xR,均有/(x)+g(x)r2+1,则,)g=()A.575B.598C.621D.6246 .已知函数段+1)二若之若贝3)=2厕贝2023)=.五、强化练习1 .已知函数y=(2x-1)是R上的奇函数,函数产/的图象与函数y=g(x)的图象关于直线y对称,则g(x)+g(=.2 .(多选题)已知Kr)是定义在R上的偶函数,其图象关于点(1O)对称,则以下关于段)的结论正确的有()A%)是周期函数Bj0满足/(x)=(4-x)Cy(X)在(0,2)上单调递减D7(x)=Cos及是满足条件的一个函数3 .(多选题)设函数兀t)的定义域为R

9、,且凡叶1)是奇函数风t)是偶函数,则下列说法一定正确的是()A.*)=。B.函数兀t)是以2为周期的周期函数C函数y的图象关于直线x=2对称D.函数/(X-I)为奇函数4.已知函数,/(%)对任意XWR都有/U+4)寸力力2),若yMx+D的图象关于直线X=/对称,且对任意的X1岗引0,2,当即加2时,都有330,则下列结论正确的是()x21.111C111A.B.Vr(-3)r(4)/(5.5)-3)/(5.5)f(4)11C111C-D次y),且42)=-1,则Zfiji);k=1A.-1B.0C.1D.26 .(多选题)已知函数,人力的定义域为R,且4)t(x+2)=2.若Kr)的图象

10、关于点(1,1)对称2,且21,/(1)=2023,则满足不等式/Cr-2023)2(x-1012)的X的取值范围是()A.(2023,+)B.(2023,+)C.2023,2023)D.2023,2023)8 .(多选题)已知定义在R上的增函数人力满足：对任意XR,都有yU-x)tU+x)=22+x)M2-x)=4,则()A.当XWZ时双T)=XB.对任意xR(-x)=(x)C存在非零实数T,使得对任意xRU+7)=(x)D.存在非零实数c,使得对任意xR,(x)-cx19 .定义在R上的函数外)满足贝x+1)+(x-1)=2023)1(-2x+1)2x+5),若第)竹，则2023)=/4(c-3=.10 .已知於)是定义在R上的函数,对任意的XjR,满足危)-2=+y)U)U)=3,且当x0且1).U.已知定义在R上的函数Ax)满足:对任意XJWR,都有於+y)=U)+y),且当x0时於)0.(1)判断函数火X)的奇偶性,并证明；判断函数段)的单调性,并证明；(3)若921)+大4川-8)0对任意-1,2恒成立,求实数k的取值范围.