专题14 分类讨论证明或求函数的单调区间（含参）(解析版).docx

《专题14 分类讨论证明或求函数的单调区间（含参）(解析版).docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题14 分类讨论证明或求函数的单调区间（含参）(解析版).docx（55页珍藏版）》请在第一文库网上搜索。

1、专题14分类讨论证明或求函数的单调区间(含参)A1I1.设函数J(x)=xsinx+cosxax一.2(1)当。=,时，讨论/(X)在(一巴乃)内的单调性；2(2)当时，证明：有且仅有两个零点.【答案】(1)在或上单调递减，在(一肛一9)或(0，力上单调递增；(2)证明见解析.V377I37V/【分析】(1)先求导，根据导数和函数的单调性，结合三角函数的性质即可求出单调区间；(2)先判断出函数为偶函数，则问题转化为/(x)在(0,户)有且只有个零点，再利用导数和函数单调性的关系，以及函数零点存在定理即可求出.【详解】1 12(1)当4=2时，/(x)=xsinx+cosx-x,fx)=sinx

2、+xcosx-sinx-x=%(cosx-),2 2TT7T令fx)=0,解得工=0或工=,x=,3 3当ra)o时，解得一一xo或一工乃，当r(x)o时，解得一九了一或0工一,3333/(%)在(-9，()或彳，乃)上单调递减，在(-肛一夕或(0,专上单调递增；(2)/(X)的定义域为(8,+8),1 212/(-%)=(-x)sin(-x)+cos(-x)+。(一x)=xsinx+cosxax=fx),2 2/(x)为偶函数，v/(0)=l0,/(X)有且仅有两个零点等价于/(x)在(0,+8)有且只有一个零点，,/fx)=x(cosx-d)y当a.l时，cosx-()，r(x),o恒成立

3、，/(%)在(0,+8)上单调递减，11:/(万)二sin+cos万a7i-1。万0,fWOr,./(x)在(0,+8)上有且只有一个零点，当！40,函数/(x)单调递增，当工(2%乃+8,2%乃+2万-6)时，gN,fx)0,函数/)单调递减，由tan6=1，可得0tan62(兀-/2),八八、1/2-八cc11八八八、，3(2及九+2+6-tane)210八fQk;r+2tt+0)=a(2k/r+2+-tan0-1+(2乃+24+夕一tan1+=0,22a626./(X)在(0,+8)上有且只有一个零点，综上所述，当时，有且仅有两个零点.3【点睛】方法点睛：1、利用导数研究函数的单调性的关

4、键在于准确判定导数的符号，当/(1)含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论;若可导函数危)在指定的区间。上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为八小0(或八*0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“=”是否可以取到.2、用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决.2.己知函数/(x)=mx2-2Inx+2(1-m)x.(1)讨论函数/(x)的单调区间；c也tf8%-6xlnx-3x2-5(2)当xwl时，求证：2%.1-x2【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【分析】

5、(1)先求导，分为利之0,m=-l,加0,当X(O,1)时，fM0,函数的单调递减区间为(04)，单调递增区间为(l,y),当机0时，令r(x)=。，解得工=1或%=,m当m二1时，r(x)=2?87)2,0恒成立,X函数/(X)的单调递减区间为(0,+8)，无单调递增区间，当初-1时，0一-1,m|z|XG(0,)或(1,+8)时，r(X)0,mm二函数/(x)的单调递减区间为(。,一工)或(1,+8),单调递增区间为(_1,1),mm当一1vv0,-1,m当了w(0,l)或(_,+8)时，fx)0,mm二函数/(x)的单调递减区间为(0,1)或(,，”)，单调递增区间为(1,，).mm综上

6、所述：当机.0时，函数的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+8),当相=一1时，函数/(X)的单调递减区间为(0,+8),无单调递增区间，当初一1时，函数/*)的单调递减区间为(0,),(1,+8),单调递增区间为(_J_,1),mm当一lv20时，函数/(X)的单调递减区间为(0,1)或(,，+8),单调递增区间为mm(2)证明：要证”即证6x(1- In x) + 2x3 - 3x2 - 51-x2令hx)=6x(1-Inx)+2x-3x2-5,则(x)=6-61nx-6+6x2-6x=3(2x2-21nx-2x),由(1),当帆=2时，/(x)=2x2-2Inx-2x,可得/

7、(X)的单调递减区间为(。,1)，单调递增区间为(1,0),即hx)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+8),hx).hf(1)=0,(x)在(0,+00)上单调递增，：h(1)=6(1-In1)+2-3-5=0,当0xvl时，/z(x)0当x1时，h(x)0,1-x20，,6x(11几x)+2/3x5八i-x2HI,8x-6xlnx-3%2-5f即z0),分。工0和两种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数丸“X)的单调递增区间和递减区间.【详解】1丫一(1)当4=1时，/(x)=x-l-lnx,所以，=(x0),列表;XXX1(1,4广(力0+/W单调递减极小单调递增所

8、以，“X)在区间-,e上的有极小俏=0,无极大值;(2)函数/(力的定义域为(0,+“)，/(x)=二竺二1.XX当时,ax-10时，若0x:,则依-lvO,从而/(x)0,从而./(另0.Cfl故函数在o,-a)(1、上单调递减，在一,+8上单调递增.(1)，单调递增区间为一,+8.综上所述，当工()时，函数/(X)的单调递减区间为(0,+),无单调递增区间;当。0时，函数“X)的单调递减区间为0,-a)【点睛】方法点睛：讨论含参数函数的单调性，通常以下几个方面：(1)求导后看函数的最高次项系数是否为0,需分类讨论；(2)若最高次项系数不为()，且最高次项为一次，一般为一次函数，求出导数方程

9、的根；(3)对导数方程的根是否在定义域内进行分类讨论，结合导数的符号变化可得出函数的单调性.4 .己知函数尸+1)+*.ex(1)试讨论/(X)的单调性；(2)若240,证明：ef(x)-nx0,20e三种情况；(2)要证明(x)+lnxx,只需证明4,(x)1 时.，f(x) 0 ,当 X 0,所以/(X)在(一8,1)上单调递增，在(1,y)上单调递减;当20时,m(x-l)x- + 一fM =em(1)当 1-J 时, m )1、/。)0 ,当无 -GO,1D (1, +00)时,I fn)(1、f(x) 0 ,所以/3)在 1一一,1 单(1、调递增，在-8,1- 一，(1,+8)单调

10、递减;当机0时，1一m当了(1,1-时,I m)1、尸(x)vO,当X(-00,l)U 1,+8 时，所以在单调递减,ImJ1、在1-一,+8单调递增.m(2)要证明qf(x)+lnxx,只需证明qf(x)Wx-lnx,而xlnxNl,因此只需证明/(x)W,当机=0时，f(x)=W，由(1)知/*)在(-co)上单调递增，在(l,+oo)上单调递减，所以，(幻皿=1)=1；ee当机0时，/(x)A1T-故4,(x)+Inxx.【点睛】利用导数研究含参函数的单调区间，要注意先求导后，再解导数不等式.5 .已知函数/(x)=are,。为非零常数.(1)求力单调递减区间；(2)讨论方程/(x)=(

11、x+l)2的根的个数.【答案】当。0时，“X)的单调递减区间为(8,1),当VO时，/)的单调递减区间为(T+8)；(2)当。0时，原方程有且仅有一个解；当。0时，原方程有两个解.【分析】(1)求导，对。分类讨论，利用/(%)0可解得结果；0(2)转化为函数g(=t匕与y=a的图象的交点的个数，利用导数可求得结果.【详解】(1)fr(x)=aex+axex=ax+l)ev,由/(x)=0得x=-l,若Q0时，由/(x)o得XV1,所以/*)的单调递减区间为(8,1)；若。0时，由/(x)。得%-1,所以的单调递减区间为(-1,+8).综上所述，当。0时，/(X)的单调递减区间为(8,-1)；当()时，/(X)的单调递减区间为(L+8).22(2)因为方程/(X)=(犬+1)2等价于。二星D1,令g(x)