专题26 构造函数法解决导数问题(解析版).docx
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1、专题26构造函数法解决导数问题一、多选题1 .函数/(力二炉一生二吆一1在(。,+8)上有唯一零点七,则()XA.xoev=1B.g不)【答案】ABC【分析】由/(力=。,可得出Z=ln(xe)令(x)=xe)x0,利用导数得出函数(力在(0,+巧上为增函数,再令g(f)=,-ln/,其中,0,利用导数分析函数g。)在(0,+a)上的单调性,可求得4=1,可判断ACD选项的正误,再结合函数(力的单调性可判断B选项的正误.【详解】由/(犬)=。,可得xe(x+lnx)左=。,即&=xe-In(xe),令=,其中元0,则M(%)=(x+l)e0,所以,函数(x)=x/在区间(0,+8)上单调递增,
2、则=0,令g(f)=,Tn/,其中,0,=l;=.当0/1时,g(/)i时,/(0o,此时函数g(。单调递增.所以,g()vn=g(l)=L若函数/(X)在(0,+)上有唯一零点方,则Z=l.所以,(/)=%*=1,由于函数(“在(O,+8)上单调递增,/1r/1*/u=1,即(%)(1),Xq0,对于函数g(x)二绰,下列结论正确的是()eA.函数g(x)在(-,-1)上为增函数B.X=-l是函数g)的极小值点C.函数g(x)必有2个零点D.e2f(e)eef(2)【答案】BD【分析】对函数g(X)求导,求出单调区间和极值,可判断选项A,B;根据极小值的大小可得函数的零点个数,判断选项C;利
3、用g(x)在(-1,+8)上为增函数,比较g(2)与g(e)的大小关系,判断出选项D.【详解】函数g(x)=华,则出)(小小),ee当X1时,r(x)-/(x)0,故g(x)在(一L+OO)上为增函数,A错误;当XV1时,/(X)x)0,则y=g。)没有零点,故c错误;g(x)在(T+00)上为增函数,则gVg(e),即里化简得D正确;eee故选:BD【点睛】本题考查导数在单调性中的应用,考查函数的极值,考查函数的零点问题,考查利用单调性比较大小,属于中档题.3 .设定义在R上的函数力满足力+力=X2,且当xwo时,r(x)v了.己知存在%ex|/(x)-x2y(l-x)-(l-x)2,且玉)
4、为函数g(x)=-小一Q(4R,e为自然对数的底数)的一个零点,则实数。的取值可能是()A.B.C.-D.&222”【答案】BCD【分析】先构造函数,判断函数的奇偶性,求函数的导数,研究函数的单调性,结合函数零点的性质建立不等式关系进行求解即可.【详解】解:.令函数7(幻=/(幻一;/,因为/(T)+/(x)=f,T(x)+7(-x)=/(x)-1x2+/(-x)-;(-x)2=f(x)+f-x)-x2=0,T(x)为奇函数,当用,o时,r(%)=fx)-xo, T(x)在(3,0上单调递减, T(x)在R上单调递减. ,存在%e(x|T(x).T(l-x),.,.得丁(玉).丁(1一天),%
5、,1即“,2g(x)=ex-4ex-a;(x,g),.玉)为函数y=g。)的一个零点;当工,;时,g(x)=ex-8人,0,二函数g(x)在心;时单调递减,a1由选项知。o,取冗=一改5,.要使g(x)在X,不时有一个零点,只需使=八一;八一4,0,解得立,2 。的取值范围为,+00,2L/故选:BCD.【点睛】本题主要考查函数与方程的应用,根据条件构造函数,研究函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键.综合性较强,运算量较大,属于中档题.4 .已知函数的导函数为尸(可,若x)4(x)第,小/142【答案】BD【分析】先设g(x)=/2,=X(0,+8),对函数求导,根据题中条件、分别判断设g(x
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