等轴双曲线和圆相交时的六个优美性质.docx

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1、等轴双曲线和圆相交时的六个优美性质目录1.什么是等轴双曲线等轴双曲线的主要性质有哪些12 .性质一若等轴双曲线与任意一个定半径的圆交于四点，则其中心到这四点的距离的平方和为定值83 .性质二若等轴双曲线与一个圆交于四点，贝IJ（I）双曲线必过其中任意三点所构三角形的垂心；（2）第四点与垂心的连线必过双曲线的中心94 .性质三若等轴双曲线与一个圆交于四点，且其中两点的连线是此圆的直径，则另两点的连线必过双曲线的中心，且双曲线在这两点处的切线都与此直径垂直105 .性质四以等轴双曲线平行于实轴的弦为直径的圆必过双曲线的两个顶点116 .性质五若等轴双曲线与一个圆交于四点，则这四点的平均中心（其坐标

2、为各点坐标的算术平均数）平分双曲线中心与圆心的连线127 .性质六若以等轴双曲线过中心的一弦为半径，以此弦的一个端点为圆心的圆与双曲线交于四点，则另三个交点恰好是一个等边三角形的三个顶点12圆与等轴双曲线都是具有高度对称美的曲线，经过研究笔者发现，当它们相交时具有一些比较优美的性质,下面列出其中几条，并给出证明。1什么是等轴双曲线等轴双曲线的主要性质有哪些1、实轴和虚轴相等的双曲线叫作等轴双曲线（直角双曲线）。等轴双曲线是指一种特殊的双曲线，特点是渐近线互相垂直，半实轴长与半虚轴长相等，两条渐近线y=x互相垂直。等轴双曲线也称等边直角双曲线、直角双曲线（因为两渐近线夹角为直角），是最有趣的一类

3、特殊双曲线，因为它经过旋转可以变成反比例函数y=kx,这也和上节双曲线的性质5相印证。关于等轴双曲线内接三角形的问题一般都比较容易计算，当然也有一些相对较难的问题，本公众号前面的几篇文章就是相关的问题（2023年高联一试11题的七种解法，单t尊老师的等轴双曲线共圆问题，蝴蝶定理之十二等）。2、等轴双曲线的主要性质（1）半实轴长=半虚轴长（一般而言是a=b,但有些地区教材版本不同，不一定用的是a,b这两个字母）；(2)离心率e=;(3)渐近线：两条渐近线y=x互相垂直；(4)等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项。对于反比例函数E：y=kx,A、B、C是其上三点，ABC分

4、别为BC,AC,AB中点，H为AABC垂心，AABC外接圆与E的第四个交点为D。1求H的轨迹2若BA_1AC,则过A的切线AT和BC有什么位置关系？3H,D什么关系？4以H为圆心HD为半径的圆交E于XYZ,判断AXYZ形状并证明。5若AC为圆的直径，判断B、D的关系并证明。6ZiA，BC外接圆是否恒过定点。7过4ABC边与X轴交点做此边垂线，三条垂线是否共点？8E上任取两点M、N,ZMHN,NMDN有什么关系？9A关于O对称的为Z,E上任取点M,ZAMD,NZMH有什么关系？设坐标为A(a,ka),B(b,kb),C(c,kc),H(x,y),k_k贝UG=T=一二a-bab1求H的轨迹即ab

5、c(x-c)=MG，-k)对称的，abcx-b)=k(by-k)解得(XJ)=(二畛，abc-k由坐标显然H在E上，故H的轨迹为E。注：此性质巧夺天工，一般称为布利安香一彭色列定理，是等轴双曲线内接三角形最神奇也是最核心的性质。2若BA_1AC,则过A的切线AT和BC有什么位置关系？不难发现AT1BCo思路一：求出AT斜率，由直角得到数量关系式，然后说明AT1BC。证明一：由前面得到七1qA=由切线定义，当B无限接近A时，BA斜率即为A点处切线AT斜率，从而将AB斜率斜率中b换成a,即得AT斜率为ki=-4-（也可通过求导得到）。由BAIAC得利用1中结论，结合切线定义即得。证明二：由1知任意

6、AABC垂心H也在E上且AH1BCo当H和A无限接近时，BAJ_AC且AH变为E在A处的切线，从而得到AT_1Bc注：本结论也很优雅。上述两种思路殊途同归，都用到了切线的最原始的定义。当然比较而言，思路二更自然，更本质。也说明本题其实是上题结论的推论。3H,D什么关系？思路分析:不难猜测H和D关于原点对称。最自然的思路求出ABC外接圆方程，然后和E联立，解出D点坐标，最后说明H和D关于原点对称。但是这样做起来比较麻烦，计算量很大。所以最好想其他相对简洁的证法。思路一:退而求其次的方法是同一法：求出H关于原点的对称点H,然后利用到角公式说明NBAC=NBHC,即得D,H重合。从而得证。证明一:由

7、1知H的坐标为（1j则H关于原点的对称点W坐标为（J：竺）abc-kabckabc_k从而得到M=毛T=甯嗡=啖abc对称的CH,=一77=由到角公式，从而得到tan乙CHB=ac1ab_六k_次b-C)a1bck1+a1bc类似的，有_1+AtanZ.CAB=ksA-kCA_abac_:(c)k1k1+a1bca1bc故NBAC=NBHC显然圆和E最多有四个交点，故DH重合。即H和D关于原点对称。思路二：可以设出外接圆方程，和E联立消去y,利用四次方程的韦达定理即可得到D点坐标。从而得证。证明二：设D坐标为(d,kd),ABC外接圆的一般方程为x2+Zx+E+F=Oj与E的方程联立，将y=k

8、带入上式得到/+瓜+竺+尸=0.X2X整理成四次方程，即3+Zx3+F+皿+二=0,由四次方程的韦达定理得到即D点坐标为虫),abck显然H和D关于原点对称。注：（1）本结论也是美不胜收、深刻隽永。证明却颇为不易，直接求出圆的方程，联立解出D,思路自然，却很难完成。上述思路一用同一法曲径通幽、可圈可点。思路二以退为进，联立得到四次方程，利用四次方程韦达定理一语中的、直击肯紫，只是要知道n此方程的韦达定理，超出了高考范围，算是竞赛的内容了。当然此题应该还有其他的解法，有兴趣的读者可以探讨。（2）本结论可以等价叙述为，若某圆与E交于ABCD四点，则D关于原点的对称点为AABC垂心，当然对称的，AB

9、C每一个点关于原点的对称点也是另三点构成的三角形的垂心。由此还能得到圆内接四点，每三点构成的三角形的垂心得到的四边形和原四边形对称，对称中心即为原点0。此时。一般称为圆内接四边形的欧拉彭色列点，此点有丰富而有趣的性质。我在前面文章（单博老师的等轴双曲线共圆问题）中提到过，有兴趣的读者可以参考。2.性质一若等轴双曲线与任意一个定半径的圆交于四点，则其中心到这四点的距离的平方和为定值证明：设等轴双曲线孙=欠与圆（X-XO）2+（y-%）2=为定值）.交于四点尸区，必）、Q（X2，为）、R（X3，为）、3（尤4，九）由消去y,得X的四次方程X4-2x0x3+-r2）x2-2kyox+k2=O,由韦达

10、定理得：/.X：+X；+X；+x：=(x1+x2+x3X4)2-2(x1x2+X2X3+X3X4+X1X3+X1X4+X2X4)=4x2(x+y；-厂)=2片2y+2r2。同理，4+4+及+资=2兔-2片+2产。.PO2+QO2+RO2+SO2=x12+4+x；+后+y；+货+货+=4/(定值).3 .性质二若等轴双曲线与一个圆交于四点，贝（1）双曲线必过其中任意三点所构三角形的垂心；（2）第四点与垂心的连线必过双曲线的中心图1证明：（1）如图1,不妨设等轴双曲线孙二。2与圆相交的其中三点为A（ca,-）B（CtB二）、C（ctc,-）1过点A、B的直线方程为：GtBZCc1.、y=(x-ca

11、),AB边上的高所在直线的为：y-=tAtB(x-ctc),即y+ctAtBtc=力Ba+一）。同理，BC边上的高所在直线为:y+crc=3C（X+）。IAiBtC从可以解得垂心H的坐标为（二-,-CRA）,它满足等轴双曲线方程初=T,故等轴双曲线经过这个三角形的垂心。（2）连”0（。为坐标原点），设直线O交双曲线于点。，则因为H在双曲线上，且双曲线盯=。2关于。点对称，所以。与H关于原点对称，故。点坐.ZABC=ZADC,或ZABC+ZADC=.A、B、C、。四点共圆，故。即为第四个交点；因为。在直线，。匕所以第四点与垂心的连线过双曲线的中心。4 .性质三若等轴双曲线与一个圆交于四点，且其中

12、两点的连线是此圆的直径，则另两点的连线必过双曲线的中心，且双曲线在这两点处的切线都与此直径垂直X=Ct证明：如图2,设等轴双曲线方程是CQ为参数)，圆方程为=-t一+V-2oX-2yoy+/=O，联立,消去x,y,整理得Yft25/+/2_2cw+c2=0。设两曲线的四个交点的坐标为4(%,S)(i=1,2,3,4),%则由韦达定理有/也学4=g=i不妨设44是圆的直径，则A1A3A2A3oz11c(),小=JT=一一同理，女人=AkAAy如出=J-=-1，c(t3-)333W31将，也学4=1代入得G=T4又444的方程为y=(Xcti)t即“324x+t3t4y=c(t3+t4).vt3+

13、r4=O,/.x+r3r4y=0,.A3A4过双曲线的中心0(0,0)。又易知双曲线在点&丫3，)处的切线方程为x+1y=2%,其斜率为，3k=而AA?的斜率为aa,=,Maa,=7=一1，故过点A3的Gtit2tf2t3切线与A4垂直;同理可证：过点4的切线也与A1A2垂直.5 .性质四以等轴双曲线平行于实轴的弦为直径的圆必过双曲线的两个顶点图3证明：如图3,设等轴双曲线方程为一一尸=/,。为平行于实轴的弦，点C坐标为(为,凹)，则。点坐标为(-无|,必).双曲线顶点为A(-,0),8(0,0),直线CA的斜率为匕=,直线ZM的斜率为xx+a.点C在双曲线上，x12-y12=/,2即/一演2

14、=_必2,故&1.七=上、=_1,7.C4J1D4,所以点A在以。C为直径的圆上.同理，点B也在以OC为直径的圆上。6 .性质五若等轴双曲线与一个圆交于四点，则这四点的平均中心（其坐标为各点坐标的算术平均数）平分双曲线中心与圆心的连线X=Ct证明：设等轴双曲线CQ为参数）与圆y=-t/+产+m+4+尸田交于四点5（1,）（i=,2,3,4）,力代入，得C2Z4+cDt3+Ft2+cEt+c1=00由韦达定理得：+t2+r3+/4=-,t1t2t3t4=1,1r2r3+r23r4+r3r1+r1r2r4Cf1+ct2+Ct3+ct4_cD_44CCCC11H-t2J=(+77+7-)tt2t3t4=-(tt2t3+t2t3t4+t3t4t+，也。44G22/3*41（一马二一生所以平均中心的坐标为（-2,_互）.而双曲线中心与圆心4c444的坐标分别为（0,0）和（K,所以其连线中点坐标也是（H）,故平均中心平分双曲线中心与圆心的连线。7.性质六若以等轴双曲线过中心的一弦为半径，以此弦的一个端点为圆心的圆与双曲线交于四点，则另三个交点恰好是一个等边三角形的三个顶点证明