第34讲 极坐标(教师版).docx
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1、第34讲极坐标一.基础知识回顾1 .平面直角坐标系,设点P,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换:x=2x(20),八的作用下,点P(x,y)对应到点P(,y),称8为平面直角坐标系J=y(O)中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2 .极坐标系的概念:在平面上取一个定点0,叫做极点;自极点0引一条射线Ox,叫做极轴;再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极少坐标系.设M是平面上任一点,极点0与点M的距离OM叫做点M的极径,记为P;以极轴OX为始边,射线OM为终边的角xOM叫做点M的极免,记为.有序数对(P,0)叫做点M的极坐标,记作(P,
2、0).1Q3.极坐标和直角坐标的互化:把直角坐标系的原点作U1234”为极点,X轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,设M是平面内任意一点,它的直角坐标是(,y),极坐标为(P,0),则它们之间的关系为X=Pcos,y=Psin6.另一种关系为:P2=x2+y2,tan=(x0).4.简单曲线的极坐标方程:(1)一般地,如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程6(p,0)=0,并且坐标适合方程6(P,G)=O的点都在曲线上,那么方程4)(P,)=0叫做曲线的极坐标方程.(2)常见曲线的极坐标方程常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为二的圆O=NOWJV2n
3、)圆心为(r,0),半径为r的圆0=2rcOS-圆心为(r,勺,半径为r的圆XP=2rsip_8(OWJVJT)/(1)J=(oCR)或6=n+过极点,倾斜角为。的直线(qR)/(2)=和J=+过点(兄0),与极轴垂直的直线O(q,0)%QCoS1伊=_-VJ5;(崂)过点(搐与极轴平行的直线Osin0=a(0VnV)0:X二.典例精析题型一:平面直角坐标系中的伸缩变换x=3x,例1:在平面直角坐标系中,已知伸缩变换血,2yf=y.(1)求点,-2)经过O变换所得点H的坐标;(2)求直线y=6x经过。变换后所得直线T的方程.3=1,/=石=-I.,点川的坐标为(1,1).(2)设(/,/)是直
4、线T上任x=3x,x=F-,意一点.由伸缩变换。:,得0,0W9V2九)O(1)(4,);(2)(-3,-1).O0,2),点(一5,【解】(1)Yx=。COS。=4CoS=-2,7=。Sin8=4Sin=24.;点的极坐标(4,-):(2)P(-3)2(-1)2tanO一1)在第三象限,.=(,直角坐标(一小,-1)化为极坐标为(2,W).【变式训练2】将下列点的坐标进行极坐标与直角坐标的互化(其中Q0,OW2)(1)(2,一);(2)(6,-y2).【解】(DX=2cos(g)=1,y=2sin(-g)=-/,,点(2,一()的宜角坐标为(1,一3).(2)Vp=(6)2+(-2)2=22
5、,tan=一与,点的直角坐标(乖,-2)XJ化为极坐标为(2/,V1t)题型三:极坐标方程与直角坐标方程的互化19例3:己知椭圆C的极坐标方程为P2=20,点F、艮为其左、右焦点,直线cosU十4sinU1的极坐标方程为Psin=Pcos2.求:(1)直线1和曲线C的普通方程;(2)点件、F?到直线1的距离之和.【解】由PSinO=PCoSO2,得直线1的普通方程为y=-2;由P?=12.Y272n,4.2tt,得p(3cos20+4sin0)=12,即3xi+4y=12,曲线C的普通方程为彳3cosU+4sn4+j=1.(2)YF1(-1,0),F2(1,0),点F1到直线1的距离Ch=上弟
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