第35讲 参数方程（学生版）.docx

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1、第35讲参数方程一.基础知识回顾1 .曲线的参数方程：一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标（心y）都是某个变数t的函数并且对于f取的每一个允许值，由方程组所确定的点P（x,y）都在这条曲线上，那么方程组就叫作这条曲线的参数方程，联系X,），之间关系的变数叫作参变数，简称参数.2 .参数方程和普通方程的互化：曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.一般地，可以从参数方程得到普通方程.相对于参数方程，我们把直接用坐标（X,y）表示的曲线方程At,y）=0叫作曲线的普通方程.3.常见曲线的叁数方程和普通方程点的轨迹普通方程参数方程直线y-yo=tan(-xo)圆(-a)2+(y6

2、)2=F椭圆+=1(0bO)抛物线y=2pr(p0)二.典例精析题型一：参数方程与普通方程的互化例1：把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线:X=1t2,（叱=2+，&为参数）；x=4Sin0,(0,y=5cosX=Z,“为参数）；（3）y=t为参数）.变式训练1：将下列参数方程化为普通方程.f3kk+六6必7=1+7为参数）；（2）x=1-sin28,y=sin0cos0（J为参数）；题型二：直线参数方程的应用例2：已知直线1经过点P(1,1),倾斜角=?.(1)写出直线1的参数方程；(2)设1与圆2+y2=4相交于两点A、B,求点P到A、B两点的距离之积.变式训练2：过点PG

3、中，0)作倾斜角为的直线与曲线(+2y2=1交于点M、N,求IPM1PN的最小值及相应的a的值.题型三：参数方程的应用例3：已知点P(x,y)是圆x+y2=2y上的动点.(1)求2x+y的取值范围；若x+y+a20恒成立，求实数a的取值范围.变式训练3：在直角坐标系Xoy中，直线7的方程为-y+4=0,曲线C的参数方程为(1)己知在极坐标系(与直角坐标系X。取相同的长度单位，且以原点。为极点，以X轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为(4,方)，判断点与直线/的位置关系；(2)设点。是曲线。上的一个动点，求它到直线/的距离的最小值.题型四：极坐标、参数方程综合应用1x=3一多，例4：在直角坐标系X

4、勿中，直线J的参数方程为V11为参数）.在极尸后多坐标系（与直角坐标系X0/取相同的长度单位，且以原点。为极点，以X轴正半轴为极轴）中，圆。的方程为。=2mSinO.求圆。的直角坐标方程；设圆C与直线/交于点儿氏若点尸的坐标为（3,5）,求I川+:阳.x=45cost,变式训练4：已知曲线G的参数方程为.（t为参数），以坐标原点为极点，Xy=55snt轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为P=2sin.（1）把G的参数方程化为极坐标方程；（2）求G与G交点的极坐标（P20,02）.三.方法规律总结1 .消去参数的方法一般有三种：（1）利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后代入消去

5、参数；（2）利用三角恒等式消去参数：（3）根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消去参数.将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量X和），取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数,穴。和g（）的值域，即X和y的取值范围.2 .将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解；确定曲线的参数方程时，一定要根据实际问题的要求确定参数的取值范围，必要时通过限制参数的范围去掉多余的解.3 .已知圆、圆锥曲线的参数方程解决有关问题时，一般是把参数方程化为普通方程，通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等.四.课后练习作业x=4cos51.己知曲线

6、C：为参数).y=3sn(1)将C的方程化为普通方程；(2)若点P(X,y)是曲线。上的动点，求2r+y的取值范围.P(2,2),倾斜角=.(1)写出圆的标准方程和直线I的参数方程；(2)设/与圆C相交于A、B两点，求解HPBI的值.33 .已知经过A(5,-3)且倾斜角的余弦值是一：的直线与圆f+y2=25交于B,C两点.(1)求BC的中点坐标：(2)求过点A与圆相切的切线方程及切点坐标.4 .极坐标系的极点为直角坐标系XQy的原点，极轴为K轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线。的极坐标方程为p=2(cos9+sin)(1)求C的直角坐标方程；x=2t(2)直线/：厂。为参数)与

7、曲线。交于48两点，与)，轴交于点E,求IEA1+EB.y=1+苗(1)写出曲线。的参数方程、直线/的普通方程；过曲线C上任意一点P作与/夹角为30的直线，交J千点、A,求解I的最大值与最小值.轴正半轴为极轴建立极坐标系，。的极坐标方程为p=2in夕(1)写出。的直角坐标方程；(2)P为直线/上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标.1亚7 .已知直线/的参数方程为J(f为参数)，以坐标原点为极点，X轴的正半轴j=5+%为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为=4sin(。一奇.(1)求圆C的直角坐标方程；(2)点P(x,y)是直线/与圆面pW4sin(6一6的公共点，求5x+y的取值

8、范围.8 .在直角坐标系Xoy中，以0为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆。的极坐标方1（x=h程为夕=2啦cos（6+力，直线/的参数方程为1,r。为参数），直线/和圆C交于31y=-1+22rA,B两点，P是圆C上不同于A,8的任意一点.（1）求圆心的极坐标；（2）求AR1B面积的最大值.9.在平面直角坐标系Xoy中，动圆x2+y2-4、/5xcos。-4ysin，+7cos2，-8=0（R,。为参数）的圆心轨迹为曲线C,点P在曲线C上运动.以。为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若直线I的极坐标方程为2pcos（+）=35,求点P到直线/的最大距离.X=CoSeJ=SinG（。为参数）.x=1rcosa10.已知直线G：H为参数），曲线Q：j,=Zsina当a=/时，求G与。2的交点坐标;（2）过坐标原点。作G的垂线，垂足为A,2为OA的中点，当a变化时，求尸点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线.