第2讲空间几何体的表面积与体积.docx

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1、第2讲空间几何体的表面积与体积必础知识整合|知识梳理1.多面体的表面积、侧面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是凹侧面展开图的面积，表面积是侧面积与底面面积之和.2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图2然.唇.*Oz侧面积公式S圆柱侧=四2/S圆锥侧二置”S圆台例二园兀Q+2）/3.柱、锥、台和球的表面积和体积匕称表面积体积柱体（棱柱和圆柱）S表面积=S根|+2S底V=Sh锥体（棱锥和圆锥）S表面积=S根I+S底V=S台体（棱台和圆台）S表面积=S侧+S上+S下V=（5上+S下+、/S上S下）5球S=E4rzV=知识拓展1 .与体积有关的几个结论(1

2、)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差.(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等.2 .几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为凡球的半径为R,若球为正方体的外接球，则2H=5;若球为正方体的内切球，则2R=;若球与正方体的各棱相切，则2R=i.(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a,b,J外接球的半径为R,则2R=a所以这个球的表面积为5=42=432=36.选C.(2023.北京高考)某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱+b1+c1.(3)直棱柱的外接球半径可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，可知球心为上下底面外接圆圆心连线的中点，再根据勾股

3、定理求球的半径.(4)设正四面体的棱长为凡则它的高为手,内切球半径二暮，外接球半径H=乎”正四面体的外接球与内切球的半径之比为3:1.双基自测1. (2023天津高考)若棱长为2小的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A.12B.24C.36D.144答案C(25)2+(2+(25)22解析正方体的外接球半径等于正方体的体对角线的一半，即R=柱的表面积为（）侧（左）视图B.6+23D.12+23A.6+3C.12+3答案D解析由题意可得，三棱柱的上下底面为边长为2的等边三角形，侧面均为边长为2的正方形，则其表面积为S=3（22）+2（22sin60oJ=12+2i故选D.（2023

4、.浙江高考）某几何体的三视图（单位：Cm）如图所示，则该几何体的体秋单位：cn?）是（）47，4a3bTC.3D.6答案A解析由三视图可知，该几何体的上半部分是三棱锥，下半部分是三棱柱,且棱锥的一个侧面垂直于底面，棱锥的高为1,棱柱的底面为等腰直角三角形,棱柱的高为2,所以几何体的体积为;义（卜21b1+（92乂1卜2=；+2=（故选A.3. （2023蚌埠质检）如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图，则它的体积为（）B.+2D.2+24C.2+g答案A解析由三视图可知，该几何体由半个圆柱和一个三棱锥组合而成.故该几1114何体的体积为5XX122+yXEX2X2X2=

5、+G.如图，半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体的棱长为加，则球的表面积和体积分别为,.答案3636解析底面中心与Cf的连线即为半径，设球的半径为R,则e2=（6）2+（小）2=9.所以/?=3,所以S球=4R2=36,V球二方兀/尸=3671.5 .如图所示，已知球。的球面上有四点A,B,CfDiOA，平面ABC,ABIBC,DA=AB=BC=g则球。的体积为.Mrg9答案y解析由题意知，OC边的中点就是球心。，：球的半径R=TC。，又AB=13C=3,.AC=6,.CD=yAC2+AD2=3,=92=3X43=O球V核心导向突破考向一几何体的表面积例1(1)下图

6、为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是()B.4+42D.4+23A.6+42C.6+23答案C解析根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，该几何体为如图所示的三棱锥A-BCa则SAABc=SzvADC=ScD8=gx2X2=2,根据勾股定理可得48=40=。3=2啦，.24。8是边长为2啦的等边三角形，.Sf8=ABADsin60o=(22)2=23./.该几何体的表面积是32+23=6+2i故选C.(2)(2023衡水模拟)如图是某个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是侧视图IE视图俯视图A. +4y2+4C.2+42+2答案BB. 242+4D.2+22+4解析由几何体的

7、三视图可知,该几何体是由半圆柱与三棱柱组成的几何体,其直观图如图所示，其表面积S=2X%xM+2xx2X1+(5+5+2)2-21=2+42+4.jB.(1)多面体：其表面积是各个面的面积之和.(2)旋转体：其表面积等于侧面面积与底面面积的和.(3)简单组合体：应弄清各构成部分，并注意重合部分的删、补.(4)若以三视图形式给出，解题的关键是根据三视图，想象出原几何体及几何体中各元素间的位置关系及数量关系.即时训练1.(2023达州模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为()B.24D.32A.20C.28答案C解析由三视图可知该几何体为组合体

8、，上半部分为圆柱，下半部分为圆锥,圆柱的底面半径为1,高为2,圆锥的底面半径为3,高为4,则该几何体的表面RS=32+35+212=28.C.2.（2023宜春模拟）某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1,则该几何体的表面积为（）A.8+42+25B.6+42+45C.6+22+25D.8+22+25答案C解析由三视图可知，该几何体为放在正方体内的四棱锥七-ABCQ,如图，正方体的棱长为2,该四棱锥底面为正方形，面积为4,前后两个侧面为等腰三角形，面积分别为22,2,左右两个侧面为直角三角形，面积都为小，可得这个几何体的表面积为6+2吸+2小，故选C.精准设计考向，多角度探究突破

9、考向二几何体的体积角度1补形法求体积例2(1)如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为()A.90B.63C.42D.36答案B解析由几何体的三视图可知,该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得,如图所示.将圆柱补全，并将圆柱从点A处水平分成上下两部分.由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的所以该几何体的体积V=324+326=63.B.某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为1,那么该几何体的体积为答案40解析由题意知去掉的四棱柱的底面

10、为直角梯形，底面积S=(2+4)X22=6,高为正方体的棱长4,所以去掉的四棱柱的体积为6X4=24.又正方体的体积为43=64,所以该几何体的体积为64-24=40.角度2分割法求体积例3(1)(2023兰州模拟)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题：“今有刍费，下广三丈，袤四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊柱的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，高1丈，问它的体积是多少？”已知1丈为10尺，现将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小正方形的边长为1丈，则该楔体的体积为()A. 5000立方尺C.6000立方尺答案AB. 5500

11、立方尺D.6500立方尺解析该楔体的直观图如图中的几何体ABCDEE取A3的中点G,CQ的中点H,连接尸G,GH,HF,则该几何体的体积为四棱锥产-GBCH与三棱柱AoE-G”产的体积之和.又可以将三棱柱AQE-GH尸割补成高为所，底面积为S二1331231=K平方丈）的一个直棱柱，故该楔体的体积V=223231=5（方丈）=5000（立方尺）.故选A.（2）祖晅是我国南北朝时期的伟大科学家，他提出的“事势既同，则积不容异”称为祖咆原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体=Sz,其中S是柱体的底面积，h是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示（单位：Cm）,则该柱体的体积（单位：Cm3）是（）

12、A.158B.162C.182D.324答案B解析如图，该柱体是一个五棱柱，棱柱的高为6,底面可以看作由两个直角梯形组合而成，其中一个上底为4,下底为6,高为3,另一个的上底为2,下2+64+6底为6,高为3.则底面面积S=-3+-3=27,因此，该柱体的体积V=27X6=162.故选B.角度3转化法求体积例4（1）如图所示，在正三棱柱ABC-AiBG中，AB=4,AA1=6.若&F分别是棱SB,CG上的点，则三棱锥A-A化尸的体积是.答案83解析由正三棱柱的底面边长为4,得点厂到平面44七的距离(等于点。到平面AiABBi的距离)为坐4=23,则V三棱锥A_八严=V三棱锥尸_廿=Sa1e23

13、=6423=83.(2)在三棱锥尸-ABC中，D,七分别为尸B,PC的中点，记三棱锥。-ABE的体积为力,三棱锥尸-ABC的体积为於，则募=.答案I解析如图所示，由于D1E分别是边PB与PC的中点，所以SWE=%BC.又因为三棱锥A-BDE与三棱锥A-PBC的高相等，所以V二0-*0-触类旁通(1)处理体积问题的思路指的是转换底面与高.将原来不容易求面积的帐面转换为容易求面积的底面,或将原来不容易行出的高转换为容易行出并容易求斛的高指的是将个不规则的几何体拆成几个简单的几何体,便于计算指的是将小几何体液入一个大几何体中.如行时将一个:棱锥复原成一个:棱柱.将一个:极住复原成一个四棱柱（2）求体

14、积的常用方法直接法对于规则的几何体，利用相关公式直接计算割补法首先把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体、不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算等体积法选择合适的底面来求几何体的体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任何一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换即时训练3.（2023巴中模拟）九章算术是中国古代第一部数学专著，书中有关于“堑堵”的记载，“堑堵”即底面是直角三角形的直三棱柱.已知某“堑堵”被一个平面截去一部分后，剩下部分的三视图如图所示，则剩下部分的体积是（）俯视图B.75D.37.5A.50C.25.5答案D解析如图，由题意及给定的三视图可知，剩余部分是在直三棱柱的基础上,截去一个四棱锥C1MNBA所得的，且直三棱柱的底面是腰长为5的等腰直角三角形，高为5.图中几何体AB