多维层次练54.docx

《多维层次练54.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《多维层次练54.docx（9页珍藏版）》请在第一文库网上搜索。

1、多维层次练541(2023福州模拟汜知椭圆G。+1=130)的左焦点为F(-1,0),过广且垂直于X轴的直线被椭圆截得的弦长为3.(1)求椭圆C的方程；(2)已知点M(-4,0),过户作直线,交椭圆于A,B两点,证明：/FMA=NFMB.1v2(1)解：由题意可知c=1,把x=1代入椭圆方程可得了+1=1可得y=1,方23所以一=不，又。2=+1,可得=2,b=39C1/12y2所以椭圆C的方程为Y+V=1(2)证明：当直线I的斜率不存在时，由对称性可知：ZFMA=NFMB;当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为y=-x+1),代入椭圆方程可得(3+4公)*2+8公工+4公-12=0,设A(X

2、1,j),B(x29yz)9所以+.=消q+舄k(x1)(x4)+k(x21)(X1+4)(x+4)(x+4)A2xiX2+5(X1+工2)+8(x4)(x24)842244(12因为2X1X2+5(X1+x2)+8=34jt2-3+4jt2+8=,所以以m+Am=O,所以NbMA=Nb综上，ZFMA=ZFMb.2.(2023广东省适应性考试)双曲线c：A-I=Im0,方0)的左顶点为A,右焦点为F,动点3在C上.当BFJ_Ab时A尸|=|3尸|.(1)求C的离心率;若B在第一象限，证明：ZBFA=2ZBAF.(1)解：如图IbN=IAF且b尸JAF时，有C,C,c+a=,所以：a=zc-a9

3、e=2aa99A(-a9O),F(2a90)当Ibf1=IA川，且3尸-1AF时满足:ZBE4=2ZBAF=90o.当5F与AW不垂直时，设NBAF=a,1巾tan一一OSta110也Si110tanaQSeC+asec+11+cos92小Sin02tana1+cosOtan2a=1-tan2a=f3sin2=1U+cos0J25sin，(1+cos，)SSii102(2COSe-1)(1+cos2cos1n150tan05Si11，.而tanZBE4=-sec2=2cs1=tan2a,又OVNbE4,ZBAFb0)的离心率为害，且经过点(1)求椭圆。的方程；(2)过点(5，0)作直线/与椭圆

4、。交于不同的两点A,B,试问在X轴上是否存在定点Q,使得直线QA与直线QB恰好关于X轴对称？若存在，求出点。的坐标；若不存在，说明理由.解：由题意可得中=兴+=1,又小一力2=。2,解得解=%2=1.r2所以椭圆。的方程为亍+F=1(2)在X轴上存在定点Q9使得直线QA与直线。3恰好关于X轴对称，设直线I的方程为x+my小=0,与椭圆联立可得(4+/)y22y3my-1=0.设A(Xi,j),B(x2ty)9I23m-T则川+/一4+机2,Wy2-4+机2假设在X轴上存在定点0(,0).因为Q4与。3关于X轴对称，所以乂+初5=0,即+=0=j(x2t)+jz(xt)=0=j(3my一)+X1

5、IX?CJ2(3myI)=0=(3f)(y1+j2)-1myy2=0=2n(4一小f)=0=43-3,所以在X轴上存在定点早，o),使得直线。A与直线恰好关于X轴对称.特别地，当直线/是X轴时，点孥，o)，也使得直线Q4与直线。恰好关于X轴对称.综上，在X轴上存在定点4竽，0),使得直线QA与直线QB恰好关于X轴对称.4 .已知椭圆Ga+=13)的右焦点到直线xy+3啦=0的距离为5,且椭圆C的一个长轴端点与一个短轴端点间的距离为i.(1)求椭圆C的标准方程；(2)给出定点嗒，o)对于椭圆C的任意一条过。的弦A3,j+i是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.解：(1)由右焦点(c,

6、0)到直线-y+3i=0的距离为5,可得也喑=5,解得c=2y.又，层+方a2b2+c29联立解得=3,b=1.所以椭圆C的标准方程为在v2=1Ji),Bgy2).X2w9/0,所以+%飞(一+9)，j,j2=5(m2+9)-同理可得：10Bp=(m2+1)yY所以西十西=(+i)。+(.2+1)父=为+父_(+也)2-2力m_(n2+1)yiyi(n2+1)yyi-事(，九2+9)+5(/+9)(加+D5(m2+9)X2V25 .已知椭圆a+=13物0)的长轴与短轴之和为6,椭圆上任一点到两焦点用，尸2的距离之和为4.(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线AHy=x+m与椭圆交于A,B两点,C

7、,。在椭圆上，且GO两点关于直线A3对称，问：是否存在实数小,使IAb1=2CD,若存在，求出机的值；若不存在，请说明理由.解：(1)由题意，2a=4,2a+2b=69所以=2,b=19所以椭圆的标准方程为亍+V=1(2)因为C,D关于直线AB对称，设直线CD的方程为J=-X+f,y-+t9联立1消去y,得52-8+4/-4=0,A=64Z2-45(4r2-4)0,解得Fv5,设C,。两点的坐标分别为(XI,J1),(X2,J2),a.1St4?4则x1+x2=y,X1X2=-,设C。的中点为M(X0,J0),n.X+x24/It则XO=-=W,Jo=-Xo+Z=,所以又点M也在直线y=x+m

8、上,o1/4/.25m则三=三+叫所以，=-F-,9因为i259所以n2.,JCDy2-(x1+x2)2-4xX2=2:U同理A3=地号后.因为Ab=iCD,所以AB2=2co2,459所以2於一机2=5,所以m2=-0),4(2,0)是长轴的一个端点,弦C过椭圆的中点O,点C在第一象限，且AC必C=0,OC-OB=2AB+BC.(1)求椭圆的标准方程；设P,。为椭圆上不重合的两点且异于A,B9若NPCQ的平分线总是垂直于X轴，问是否存在实数3使得PQ=人5?若不存在,请说明理由；若存在，求幺取得最大值时的尸。的长.解：(1)因为AGBC=0,所以NACB=90。，因为|。C-OB1=2A3+

9、3C,即IBC1=2AC所以AAOC是等腰直角三角形，因为4(2,0),所以C(1,1),因为点C在椭圆上，所以5+=,4又=2,所以=Q,-3V2所以所求椭圆方程为1+普=1(2)对于椭圆上两点P,Q9因为NPCQ的平分线总是垂直于X轴，所以PC与CQ所在直线关于X=I对称，设kpc=k,则hQ=-k,因为C(1,1),所以PC的直线方程为y=A(x1)+1,QC的直线方程为y=-A(x1)+1,将代入?+孝=1,得(1+3A2)2-64(41)x+3-64一1=0,因为C(1,1)在椭圆上，所以X=I是方程的一个根，“，3k2-6kT所以XP=+3/，因为NACB=90。，A(2,0),C(1,1),弦BC过椭圆的中心O,所以A(2,0),B(1,-1),所以乂3=:，所以J1PQ=AA%所以PQ4B,所以存在实数九使得PQ=Z4B,%=(W+iW=Ji*咿当稣2T时，即=埠时取等号，2而又IAb1=Amax=7J=3所以;I取得最大值时的PQ的长为甲.