(完整版)数列题型及解题方法归纳总结.docx
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1、一、典型题的技巧解法1、求通项公式(1)观察法。(2)由递推公式求通项。对于由递推公式所确定的数列的求解,通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。递推式为an=an+d及anu=qan(d,q为常数)例1、已知af1)满足anM=an+2,而且a产1。求ano例1、解&r&,=2为常数a,是首项为1,公差为2的等差数列.*.a11=1+2(n-1)BPa,1=2n-1例2、已知“满足,而q=2,求知=?解Y*=:是常数A2.(a.)是以2为百项,公比为1的等比数列6尸=击(2)递推式为an=an+f(n)例3、已知%中3,*i+舟,求凡.解:由已知可知-an=()(2+1)(2
2、1)22n-2+1令n=1,2f,(n-1),代入得(nT)个等式累加,即(a2a)+(aa-a2)+,+(a2=a1-ah,55求(.aj是公比为g,首项为a?4=1的等比数歹an-a1=T)0+(T),-T)-说明只要和f(1)f(2)+f(n-1)是可求的,就可以由an=an+f(n)以n=12,,(n-1)代入,可得nT个等式累加而求a11.(3)递推式为an+Fpan+q(p,q为常数)例4、4中,4=1,对于n1(nN)有=3q7+2,求解法一:由已知递推式得a11+=3an+2,an=3an-+2o两式相减:a,1,-a11=3(a11-a11-)因此数列E,阖是公比为3的等比数
3、列,其首项为aia尸(3H2)-1=4.*.anM-a11=43,1Va,r=3a,+23a+2-a,=43r1即a11=231-1解法二:上法得(anH-an是公比为3的等比数列,于是有:a2-a1=4,a3-a2=4-3,ai-a3=432,an-an-=43n2,把nT个a非=4(抖3+3蹲+妒)/(二)an=23n-1-1(4)递推式为an+=pan+qn(p,q为常数)【例5】己知%中,anu=k+R求”.0JN略解在a.”=+(;)皿的两边乘以得2j=j(2n)+1令2_则bn=W%+1,于是可得-bn=-(bn-bn由上题的解法,得:,f=3-2(-r说明对于递推式%=p+q可两
4、边除以酸得=2、错项相减法:适用于差比数列(如果q等差,等比,那么%叫做差比数列)即把每一项都乘以的公比夕,向后错一项,再对应同次项相减,转化为等比数列求和。3、裂项相消法:即把每一项都拆成正负两项,使其正负抵消,只余有限几项,可求和。可裂项为:-=(-),%+da,1an+i等差数列前项和的最值问题:1、若等差数列q的首项40,公差d0,则前项和S“有最大值。an0(i)若已知通项,则S“最大O;K.0(ii)若己知S=p+q,则当制取最靠近-幺的非零自然数时S“最2P大;2、若等差数列q的首项q0,则前项和S“有最小值.*.a=1+1-(-;)Za1(n=1)SbSM(n2)此类型可利用=
5、(6)递推式为Sn与an的关系式【例7】设()前n项的和S11=4击。(D求&E与a”的关系;(2)试用n表示af,解(1)由S.=4-%-盘r得SE击Sn+-Sn=(4-勺+1)+-上式两边同乘以2nH得2%*2E+2则2na11是公差为2的等差数列。2,a,1=2+(n-1)2=2n数列求和的常用方法:1、拆项分组法:即把每一项拆成几项,重新组合分成几组,转化为特殊数列求和。勺。(2)形如为=的递推数列都可以用倒数法求通项。k%+b(3)形如=6的递推数列都可以用对数法求通项。(7)(理科)数学归纳法。(8)当遇到。用-4一=d或色红二夕时,分奇数项偶数项讨论,结果可an-能是分段形式。数
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