鸡兔同笼的解题方法.docx

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1、小学奥数之鸡兔同笼问题解法67-9.鸡兔同笼问题（一）载举目阳1.熟悉鸡兔同笼的“砍足法和“假设法”.2.利用鸡兔同笼的方法解决一些实际问题，需要把多个对象进行恰当组合以转化成两个对象.一、鸡兔同笼这个问题，是我国古代著名趣题之一.大约在1500年前，孙子算经中就记载了这个有趣的问题.书中是这样叙述的：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚.求笼中各有几只鸡和兔？你会解答这个问题吗？你想知道孙子算经中是如何解答这个问题的吗？二、解鸡兔同笼的基本步骤解答思路是这样的：假如砍去每只鸡、每只兔

2、一半的脚，则每只鸣就变成了“独脚鸣”，每只兔就变成了“双脚兔”.这样，鸡和兔的脚的总数就由94只变成了47只；如果笼子里有一只兔子，则脚的总数就比头的总数多1.因此，脚的总只数47与总头数35的差，就是兔子的只数，即47-35=12（只）.显然，鸡的只数就是35-12=23（只）了.这一思路新颖而奇特，其“砍足法”也令古今中外数学家赞叹不已.除此之外，“鸡兔同笼”问题的经典思路“假设法”.假设法顺口溜：鸣兔同笼很奥妙，用假设法能做到，假设里面全是鸡，算出共有几只脚，和脚总数做比较，做差除二兔找到.解鸡兔同笼问题的基本关系式是：如果假设全是兔，那么则有：鸡数=（每只兔子脚数X鸡兔总数-实际脚数）

3、（每只兔子脚数每只鸡的脚数）兔数=鸡兔总数鸡数如果假设全是鸡，那么就有：兔数=（实际脚数每只鸡脚数X鸡兔总数）（每只兔子脚数.每只鸡的脚数）鸡数=鸡兔总数兔数当头数一样时，脚的关系：兔子是鸡的2倍当脚数一样时，头的关系：鸡是兔子的2倍在学习的过程中，注重假设法的运用，渗透假设法的重要性，在以后的专题中，如工程，行程，方程等专题中也都会接触到假设法模块一、两个量的“鸡兔同笼”问题一鸡兔同笼问题1例11鸡兔同笼，头共46,足共128,鸡兔各几只？【考点】鸡兔同笼问题【难度】1星【题型】解答【关键词】假设思想方法【解析】假设46只都是兔，一共应有4x46=184只脚，这和已知的128只脚相比多了18

4、4-128=56只脚，这是因为我们把鸡当成了兔子，如果把1只鸡当成1只兔，就要比实际多4-2=2（只）脚，那么56只脚是我们把562=28只鸡当成了兔子，所以鸡的只数就是28,兔的只数是46-28=18（只）.当然，这里我们也可以假设46只全是鸡！鼓励学生从两个方面假设解题，更深一步理解假设法.【答案】鸡28只，兔18只【巩固】点点家养了一些鸡和兔子，同时养在一个笼子里，点点数了数，它们共有35个头，94只脚.问：点点家养的鸡和兔各有多少只？【考点】鸡兔同笼问题【难度】1星【题型】解答【关键词】假设思想方法【解析】方法一：我们假设，每只鸡都是“金鸡独立”，一只脚站着：而每只兔子都是两条后腿，像

5、人一样用两只脚站着.现在，地而上出现的脚是总数的一半，也就是942=47（只）.在47这个数中，鸡的头数算了一次，兔子的头数相当于算了两次，因此从47减去总头数35,剩下的就是兔子头数，4735=12（只），所以有12只兔子，有35-12=23（只）鸡.方法二:假设35只都是兔子，那么就有35x4=140（只）脚，比94只脚多了140-94=46（只）.每只鸡比兔子少4-2=2（只）脚，那么共有鸡46+2=23（只）方法三:还可以假设35只都是鸣，那么共有脚2x35=70（只），比94只脚少了9470=24（只）脚，每只鸡比兔子少4-2=2（只）脚，那么共有兔子242=12（只）.方法一可以归

6、结为：总脚数2-总头数=兔子数.能够这样算，主要是利用了兔和鸡的脚数分别为4和2,而且4是2的2倍.方法二说明假设的35只兔子中有23只不是兔子，而是鸡.由此可以列出公式：鸡数=（兔脚数X总头数-总脚数）（兔脚数-鸡脚数）方法三说明假设的35只鸡中有12只是兔.由此可以列出公式：兔数=（总脚数-鸣脚数X总头数）（兔脚数-鸡脚数）【答案】鸡23只，兔12只【巩固】鸡兔共有45只，关在同一个笼子中.每只鸡有两条腿，每只兔子有四条腿，笼中共有100条腿.试计算，笼中有鸡多少只？兔子多少只？【考点】鸡兔同笼问题【难度】1星【题型】解答【关键词】假设思想方法【解析】假设法：若假设所有的45只动物都是兔子

7、，那么一共应该有4x45=180（条）腿，比实际多算180-100=80（条）腿.而每将一只鸡算做一只兔子会多算两条腿，所以有802=40（只）鸣被当作了兔子，所以共有40只鸡，有45-40=5（只）兔子.注意：假设为兔子时，按照“多算的腿数”计算出的是鸡的数目；假设为鸡时，按照“少算的腿数”计算出的是兔子的数目.同学们可以自己来做一下当假设为鸡时的算法.“金鸡独立”法（砍足法）：假设所有的动物都只用一半的腿站立，这样就出现了鸡都变成了“金鸡独立”，而兔子们都只用两条腿站立的“奇观”.这样就有一个好处：鸡的腿数和头数一样多了；而每只兔子的腿数则会比头数多1.因此，在腿的数目都变成原来的一半的时

8、候，腿数比头数多多少，就有多少只兔子.原来有100只腿，让兔子都抬起两只腿，鸡抬起一只腿，则此时笼中有1002=50（条）腿，比头数多50-45=5,所以有5只兔子，另外40只是鸡.【答案】鸡40只，兔5只【巩固】老虎和鸡共10只，脚共26只.鸡（）只.【考点】鸡兔同笼问题【难度】1星【题型】填空【关键词】走美杯，3年级，初赛【解析】这属于鸡兔同笼问题，每只老虎有4只腿，每只鸡有2只腿。假设10只都是鸡，那么老虎的只数是：（262X10）（4-2）=3只，鸡有10-3=7（只）。【答案】鸡7只例2动物园里有一群鸵鸟和大象,它们共有36只眼睛和52只脚，问：鸵鸟和大象各有多少？【考点】鸡兔同笼问

9、题【难度】1星【题型】解答【关键词】假设思想方法【解析】由于每只动物有两只眼睛，由题意知：动物园里鸵鸟和大象的总数为：362=I8,假设鸵鸟和大象一样也有4只脚，则应该有（4x18=）72只脚，多了（72-52=）20只脚，由假设引起的差值：4-2=2,则鸵鸟数为202=10（只），大象数为18-10=8（头）.【答案】鸵鸟10只，大象8头【例31一队猎手一队狗，两队并着一起走。数头一共一百六，数脚一共三百九，则有名猎手，只狗。【考点】鸡兔同笼问题【难度】1星【题型】填空【关键词】希望杯，4年级，1试【解析】如果全是猎手则有脚320个，多出的390-320=70个脚是狗多出来的，所以狗有702

10、=35条，猎手有160-35=125个.【答案】125个例4动物园里养了一些梅花鹿和鸵鸟，共有脚208只，鸵鸟比梅花鹿多20只，梅花鹿和鸵鸟各有多少只？【考点】鸡兔同笼问题【难度】2星【题型】解答【关键词】假设思想方法，整体思想【解析】假设梅花鹿和鸵鸟的只数相同，则从总脚数中减去鸵鸟多的20只的脚数得：208-20x2=168（只）.这168只脚是梅花鹿的脚数和鸵鸟的脚数（注意此时梅花鹿和鸵鸟的只数相同）脚数的和，一只梅花鹿和一只鸵鸟的脚数和是：2+4=6（只），所以梅花鹿的只数是：1686=28（只），从而鸵鸟的只数是：28+20=48（只）（本题也可给学生讲成“捆绑法”，一鸡一兔一组，这个

11、怎么分组时有倍数关系得到的）【答案】梅花鹿28只，鸵鸟48只【巩固】一个养殖园内，鸡比兔多36只，共有脚792只，鸡兔各几只？【考点】鸡兔同笼问题【难度】2星【题型】解答【关键词】假设思想方法，整体思想【解析】已知鸡比兔多36只，如果把多的36只鸡拿走，剩下的鸡兔只数就相等了，拿走的36只鸡有2x36=72（只）脚，可知现在剩下792-72=720（只）脚，一只鸡与一只兔有6只脚，那么兔有7206=120（只），鸡有120+36=156（只）.【答案】兔有120只，鸡有156只。【巩固】鸡、兔同笼，鸡比兔多26只，足数共274只，问鸡、兔各几只？【考点】鸡兔同笼问题【难度】2星【题型】解答【关

12、键词】假设思想方法，整体思想【解析】这道例题是已知鸡、兔的脚数和，鸡比兔多的只数，求鸡、兔各几只.我们假设鸡与兔只数一样多，那么现在它们的足数一共有：274-2x26=222（只），每一对鸡、兔共有足：2+4=6（只），鸡兔共有对数（也就是兔子的只数）：2226=37（只），则鸡有37+26=63（只）.【答案】兔子37只，鸡有63只例5鸡兔同笼，鸡、兔共有107只，兔的脚数比鸡的脚数多56只，问鸡、兔各多少只？【考点】鸡兔同笼问题【难度】2星【题型】解答【关键词】假设思想方法，整体思想【解析】这道例题和前面的例题有所不同，前面的题是已知头数之和和脚数之和求各有几只，而这道题是已知头数之和和脚

13、数之差，这样就比前面的例题增加了一点难度.我们用两种方法来解这道题.（方法一）考虑如果补上鸡脚少的56只的话，那么就要增加562=28（只）鸡.这样一来，鸡、兔共有107+28=135（只），这时鸡脚、兔脚一样多.已知一只鸡的脚数是一只兔的一半，而现在鸡脚、兔脚相同，可知鸡的只数是兔的2倍，根据和倍问题有：兔有：135+（2+1）=45（只），鸡有：135-45-28=62（只）或者107-45=62（只）（方法二）不妨假设107只都是兔，没有鸡，那么就有兔脚：107x4=428（只），而鸣的脚数为零.这样兔脚比鸡脚多428只，而实际上只多56只，这说明假设的兔脚比鸡脚多的数比实际上多：428

14、-56=372（只）.现在以鸡换兔，每换一只，兔脚减少4只，鸡脚增加2只，即兔脚与鸡脚的总数差就会减少4+2=6（只）.鸡的只数：372+6=62（只）兔的只数：107-62=45（只）【答案】兔有45只，鸡有62只。【巩固】鸡、兔共100只，鸡脚比兔脚多20只.问：鸡、兔各多少只？【考点】鸡兔同笼问题【难度】2星【题型】解答【关键词】假设思想方法，整体思想【解析】假设IOO只都是鸡，没有兔，那么就有鸡脚200只，而兔的脚数为零.这样鸡脚比兔脚多200只，而实际上只多20只，这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多200-20=180（只）.现在以兔换鸡，每换一只，鸡脚减少2只，兔脚增加4只，即

15、鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少4+2=6（只），而180+6=30,因此有兔子30只，100-30=70（X）.【答案】兔子30只，鸡70只.【巩固】鸡、兔共60只，鸡脚比兔脚多60只.问：鸡、兔各多少只？【考点】鸡兔同笼问题【难度】2星【题型】解答【关键词】假设思想方法，整体思想【解析】假设60只都是鸡，没有兔，那么就有鸡脚120只，而兔的脚数为零.这样鸡脚比兔脚多120只，而实际上只多60只，这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多120-60=60（只）.现在以兔换鸡，每换一只，鸡脚减少2只，兔脚增加4只，即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少4+2=6（只），而606=10,因此有兔子10只，鸡60-10=50（只）.【答案】兔子10只，鸡50只.【巩固】鸡、兔共有27只，兔的脚比鸡的脚多18只。兔有只。【考点】鸡兔同笼问题【难度】2星【题型】填空【关键词】假设思想方法，整体思想，2004年，第2届，走美杯，3年级，决赛【解析】如果27只都是兔，那么有108只脚，兔脚比鸡脚多108只，每用1只兔换1只鸡，兔脚与鸡脚的差将减少6只，所以有鸡90+6=15只，兔子12只。【答案】12只例6鸡与兔共100只,鸡的脚数比兔的脚数少28.问鸡与兔各几只？【考点】鸡兔