立体几何第二——角度问题.docx

《立体几何第二——角度问题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《立体几何第二——角度问题.docx（34页珍藏版）》请在第一文库网上搜索。

1、立体几何角度问题一、异面直线的角度【浙江省嘉兴市2015年期末考试14】已知正四面体43CD中，E、F分别为AB、CD的中点，则异面直线E/和AD所成的角度为答案：A。与EF所成的角为45 .【浙江省杭州市第二次高考科目教学质量检测15】在正四面体A8CO中，M是A8的中点,N是棱C。上的一点，若直线MN与AO所成的角度为a,则cosa的取值范围为【方法一解析】设四面体的边长为2m 设CN=x,根据余弦定理，BN2=(26Z)2+x2-2-2-x-cos60o=4i724-x2-2r,G=a2+(2a-x)2-2-a- (2a-x) - cos60=3t72-3a+x2,根据勾股定理可知：Ml

2、2=BlP-a2=3a2+x2-2ax-,/ a1+3a1+x1-2ax-(3a2-3ax+x2) a+x所以 cos N GMN=-7=t=丁/ = 一，20yl 3ar+-lax 2yx2-2ax+3a2令 a+x=f,则/，3a, x=t-a,所以 cosNGMN-i，、一1 1latcr 2yj6+所以当，1时，即r=3时，cos/GMN最大为坐,当t=a时，cos/GMN最小为虐;o所以cosa的取值范围为半，坐【方法二解析】空间最小角定理证明N在C取到a最大值，N在。取到a最小值，快速算出cosa的取值范围为常，申O /【浙江省衢州市2015年2月高三教学质量检测】如图A3C为等腰

3、直角三角形，其中ZA=90 ,且 5J_8C, NBCD=30 ,现将/18c 沿边 8c 折起，使得二面角 A-8C-。大小为30 ,则异面直线8C与A。所成的角为A.3()B.45C.60).90答案：A【浙江省衢州市2015年2月高三教学质量检测】如图A8C为等腰直角三角形，其中ZA=90 ,且ZBCD=30 ,现将ABC沿边8C折起，使得二面角A-BGO大小为45 ,则异面直线3C与AO所成的角为A.30A45C.60D,90【浙江省绍兴市2015年高三质量检测】如图，在棱长为3的正方体A8CD-451GA中，点平面48G内的一动点，且满足|PO|+|P历|=2+小，则直线SP与直线A

4、d所成的余弦值的取值范围为AJ0,及(),11答案是：A【2015高考四川理】如图，四边形A3CO和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直,动点M在线段PQ上，E、尸分别为A3、8c的中点。设异面直线与Ab所成的角为。，则COS。的最大值为.2答案：cos 的最大值为右2015年江苏高考】如图，在四棱锥PABCD中，已知尸A_L平面ABCO,且四边形ABCO为直角梯形，71ZABC = ZBAD = -.PA = AD = 2,AB = BC = 2(1)求平面P46与平面PCQ所成二面角的余弦值；(2)点。是线段8P上的动点，当直线。与OP所成角最小时，求线段8。的长【浙江省金丽衢201

5、5年十校联考】如图，在三棱锥中D-A8C中，已知A8=2, ACBD = -3.e2ix AD=a , BC=b , CD=c ,则/+1 的最小值为-D第15题图【分析】这道题目涉及两个知识点，我们逐一分析如下：(1)异面直线上两点之间的距离公式：如图，已知异面直线m, /?,其夹角为a,公垂线AC=d,在直线?上有一点8,在直线上有一点。，则的长度作如下的计算：过点。作直线/加，过点B作3E_U于点旦 连接ED,从而四边形A8EC为矩形，所以8=4C,在 ACDE 中,DCE?+CDICE-CD cosa=AB2+CD2-2AB-CD cosa,因为ABED为/?/,所以：BD2=BE2+

6、DE2=AC2+ AB2+CD2-2AB CD cosa:如果8、)在线段AC的两侧，则公式为:BD2 =AG+ AB2+CD2+2AB CD cosa空间余弦定理：如图，在四面体A8CD中，若MN为异面直线AS、CD的公垂线,异面直线的夹角为仇 则根据异面直线间两点之间的距离公式有：AAC2 =2MACNcosO;DN cosO;氏二。BC2=M2+BM2+C2+2A/B- C/V cosG:/、/AD2= M+AM2+DN2+2MA, DN cos。; / /N+.(+)可得：D(BC+AD2) - (AC+BD2) =2(MB, CN+MA，DN+MA，CN+MB，网 cosQ=2AB

7、CD -cosO,所以：COS0-2ABeD或者：2霜 cbBC+AD2) - (A Cr+BD2)【解析】有了以上的分析后，本题不再难。由公式可知：42+乂（理+4）=2动.祀=6 所以c2=q2+/?2+2n2qZ?+2，所以:ab+2.【浙江省新高考研究同盟2016届高三12月第一次联考，7如图四边形ABCD,AB=BD=DA=2, BC=CD=p,现将48。沿刖折起，使二面角4-M-C的大小在啜，y内，则直线AB与CO所成角的余弦值的取值范围是40,坐U 得1B.坐,挈 C. 0,坐 D. 0,乎【解析】如图所示，取8。的中点E,连接AE、CE,则AE=&, CE=1,且NAEC即为A

8、-8D-C的二面角，根据余弦定理：AG=3+l-2小cosNAEC 因为NAEC/ y,所以 4C1,巾出隹八Tn。3+）一（协+叱）,AG2根据公式：c0so=r一市%一下飞1,s 5所以：当 4（？=2 时，cos0=O,当 AG=7 时，cos0- q-.O故答案选D.【2012年浙江高考，1()】已知矩形ABC。，AB=f BC=2,现将45。沿矩形的对角线8。所在的直线进行翻折，在翻折的过程中A.存在某个位置，使得直线AC与直线8。垂直；8.存在某个位置，使得直线43与直线CO垂直；C.存在某个位置，使得直线AD与直线8C垂直；。.对任意位置，三对直线“A。与80”、“A3与C。、“

9、A。与8C”都不垂直.二、线面角1、求线面角的几何模型:如图，直线与平面a相交于点4,过点A作平面a的垂线段AC交平面于点C，连接C8,则NA8C就是48与平面所成的角。同样的道理，如果将A3平移至A，夕，过点A，作AC，垂直平面于点C,则角A6就是直线AB与平面所成的角。由以上的分析可知，线面角的关键在于垂线段，一旦找到垂线段，那么余下的问题就是解三角形的问题了。【例题4】【浙江省嘉兴市2015年高三期末测试(文)，20如图，在等腰梯形PDCB中，PB=3,Z)C=1, PD=BC=p, ADLPB.将加。沿AO折起，使平面见。_L平面A5CD若M是侧棱P8的中点，求证：CM平面以。；(II

10、)求直线PB与平面PCD所成的角.【解析】取外的中点M连接MN、DN,因为例为尸8的中点,N为PA的中点，所以MNA8且MN=1,所以MN/CD且MN=CD,所以四边形CDNM为平行四边形，所以CMW,因为CM不在平面以。内，所以：CM平面抄1D(II)如图所示，延长。E至点E,使得。过点P作P/。E,使得PF=A8,连接E凡BF,作8Q_L所于点。，连接8Q、PQ.因为PF/AB且PF=AB,所以PFBA为矩形，所以87平面ADEB,所以8/_LOE；因为AB。七且ZADE=90 ,所以AQE6为矩形，所以DELBE,所以。E_L平面8E凡 所以BQ_LQE,又因为所以8。_L平面以出凡 所

11、以N3P。是直线P8与平面PC。所成的角。因为89=8斤1,所以aBE尸为等腰直角三角形，点。为Eb的中点，所以BqW PB的所以sin/BP咛斜%【举一反三】【浙江省宁波市2015年高三期末考试(文)，18如图，已知 A8_L平面 BEC, AB/CD, AB=BC=4, CD=2, 8EC 为等边三角形.求证：平面A5E_L平面AOE；(II)求AE与平面CDE所成角的正弦值.【解析】解法一、如图取AE的中点F,连接3尸、DF；易知 DA = DE=2p因为尸为AE的中点，所以L4E；因为 A5=8E,所以 8/_LAE；所以/DFB为D-AE-B的二面角.因为AE=4巾,所以AF=EF=

12、BF=2小,所以DF=2小,又因为BD=2小,所以8尸+产二班凡 即力-AE-8的二面角为90 ,所以平面A8E_L平面ADE.图解法二、如图，延长仍至点F,使得BE=BF=4；BC=BE=BF=4,所以为直角三角形，且角/CE=90 ,所以CF=4#；在直角三角形CO/中，FD”D2+C产=2g；因为尸 =4, H AF=AE,所以AE/为等腰直角三角形，AE=AF=4枢易知 40=2小，在AFD 中，FD.ADAAF，所以：AF1AD；又因为A/LAE, AEQAD=Af所以平面AEQ；所以：平面ABEJ_平面AEQ.(II)如图所示，过点E作ENAB,过点4作428后相交于点N；过点4作

13、AG8E,且使得AG=BC 连接OG, NG；取GN的中点M,连接AM、EM.由于4NBE, AG/BC,所以平面ANG平面3EC,所以43_1平面 ANG,所以 AM_U8, AM1EN；因为ANG为等边三角形，点M为NG的中点，所以AMLNG,所以AM_L平面ECGM所以NAEM为直线AE与平面COE所成的角；因为AM=2小，AE=4yf2；所以sin NAEA在学幸/iZi 4【评析】通过这两道题目的分析和解答，现在的问题是，我们如何能想到作如此的一些辅助线？要解答这样的问题，我们不妨先看看如何用空间向量的办法来解决线面角的问题的。如图，已知直线A5和平面a, 为平面a的法向量，则向量和

14、48的夹角为直线AB与平面的夹角的余角.所以，求直线与平面的夹角的时候，如果我们找到了平面的法向量，那问题就已经得到了解决。如图所示，例题4中，我们作A尸_LPD,用就是平面PCD的法向量，曲与直线的夹角和直线P3与平面PCO的夹角是互余的关系，于是我们只需平移存即可；举一反三的例子中，作BFLEC,则前就是平面COE的法向量，所以我们只要平移8尸与AE相交就可以了。CDC所以，我们在解决这样的问题的时候，不一定要用空间向量来解决，但是不能放弃空间向量的思想方法，这可以帮助我们很快地找出线面角。所以，求线面角我们总结出一句结论为“平移法向量与直线不在平面上的那个点相交。”【小试牛刀1】【浙江省台州市2015年期末质量评估（文），18如图，在中，NAC6=90 , D、E分别为AB、CO的中点，AE的延长线交C3于点F,现将AC。沿CO折起，折成二面角4CO-3,连接AF.求证：平面4瑁口_平面C8。；）当二面角4CD-B为直二面角时，求直线A8与平面AE尸所成角的正弦值.【