最新版圆锥曲线专题17之1 基础知识.docx

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1、专题1白云出岫基础知识点第一锦椭圆横看成岭侧成峰，远近高低各不同；不同的角度，看到的世界也不同，站的位置不同，领略到的风景也不同.在学习圆锥曲线的过程中，从不同的角度去分析，去理解，去总结，才能欣赏到圆锥曲线世界的独特风景.圆锥曲线是宇宙的艺术，是一种对称和谐之美，这种美是杂乱中的秩序，是变化中的规律.圆锥曲线的定义，揭示了圆锥曲线的前世今生，揭示了曲线的内在联系，使焦点、离心率、准线构成了一个统一的整体，正所谓万物皆有因，万般皆有果；所有巧合，皆是天意，冥冥之中，皆是定数.学习数学，让你领略波澜壮阔之势，拥有高瞻远瞩之能，欣赏对称和谐之美，体会茅塞顿开之境!本书将在这里起航，愿我们一同在知识

2、的浩瀚大海中遨游，探索宇宙的轨迹，领略世界的奥义.考点一椭圆基础1 .椭圆的定义平面内一个动点P到两个定点尸1、6的距离之和等于常数（P+P周=2忻周），这个动点P的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.若IPK1+|尸耳|=|耳闾,则动点尸的轨迹为线段耳仆若P6+P&b0)22图形Jt41V1。,b7ra性质焦点E(-c,0),(c,O)M(Oi),6(0,C)焦距IKgI=2C(C=/-从)IEKI=2c(c=Ja2-b2)范围,yxb,ya对称性关于X轴、），轴和原点对称顶点(,O),(0,Z?)(0,),(h,0)轴长轴长=2,短轴长=助离心率e=-（0eb0

3、）,点P（XO,%）在椭圆内部，等价于今+g1,结合线性规划的知识点来分析.ab25 .椭圆焦点三角形的面积为S=E.gng（0为焦距对应的张角）2考点二对椭圆定义的基础考察在处理椭圆问题的时候，要优先思考定义，俗称定义优先原则，而非上来就直接直线和椭圆联立.所以在解题的时候如果看到点在椭圆上，要时刻思考椭圆定义，将该点和焦点连线，用上定义分析问题.利用定义求解最值问题及轨迹问题，详见本章节第一定义的内容两点，若IKP1+IKQI=IO,则P0等于（）A.8B.6C.4D.2例2（绥化月考）椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.现在设有一

4、个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程：江+=1,点A、8是它的169两个焦点，当静止的小球放在点A处，从点A沿直线出发，经椭圆壁（非椭圆长轴端点）反弹后，回到点A时，小球经过的最短路程是（）A.20B.18C.16D.以上均有可能【例3】（武邑月考）椭圆4=1的左、右焦点分别为耳，玛，点P在椭圆上，如果M的中点在），轴上，那么PI是IPE1的（）A.7倍B.6倍C.5倍D.4倍【例4】（深圳期中）已知椭圆C：+f=1,点用与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别2516为A,B,线段MN的中点在。上，则4V+8N=（）A.10B.15C.20D.25【例5】（荔湾期中）椭圆+=1的左焦点为

5、尸，直线x=z与椭圆相交于点A、B,当FAB43的周长最大时，E钻的面积是（）A.-B.2C.-D.323【例6】已知椭圆+3=1（。0）经过点（1，当），过顶点3,0），（0）的直线与圆/+V=|相切,则椭圆的方程为（）AX2dX23/.X24y2X2Sy2.A.+v=1B.+-=1C.十二一=1D.-=12-423355考点三桶圆的简单几何性质【例7】（龙海期中）已知方程匕+上=1表示椭圆，求女的取值范围4一kk-2【例8】（永州二模）已知点耳，K是椭圆/+3y2=i2的两个焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么IPE+I的最小值是（）A.OB.4C.42D.43注：点到原点的距离，可以利用

6、点到点的距离公式来分析求解，用比替换掉/,整理成关于小的函数来求解最值.【例9】（湖北期末）已知椭圆x2+gy2=30）与a2,1）,8（4,3）为端点的线段没有公共点，则。的【例4天心月考）已知椭圆呜+方=1（b0）的左右焦点分别为片、F2,O为坐标原点，A为椭圆上一点，且A645=0,直线A8交），轴于点M,若IaKI=6OM,则0年与4AEK的面积之比为（）A4D4厂25C5AB.CD812714418【例II（河南月考）已知夕为椭圆C:?+q=1上一个动点，F1F?是椭圆C的左、右焦点，O为坐标原点，O到椭圆C在P点处的切线距离为d,若IPK1P6=,则d=.张忐求解切线斜率的时候可应

7、用后面章节的极点极线原理快速求出切线为、+二Z=143【例12（江西模拟）如图所示，A1A2是椭圆UA!=1的短轴端点，点M在椭圆上运动，且点M不S与A，A2重合，点N满足NA11MA1,则不纳生=（）S.Zg【例13】（武昌月考）已知动点P在椭圆工+工=1上，若点A的坐标为（3,0）,点M满足IAM1=1,且4940PMAM=Of则IPMI的最小值是.【例14】（南岗四模）已知椭圆T:二+V=i（i）的焦点尸（_2,0）,过点M（M）引两条互相垂直的两直线4、a4,若P为椭圆上任一点，记点P到4、4的距离分别为4、出，则片+d；的最大值为（）考点四椭圆的离心率以及范围问题在处理问题的时候一定

8、要注意定义优先原则，用上椭圆定义，再结合平面几何、三角函数、不等式、以及函数的内容，往往可以解决诸多离心率问题.另外，本章节只涉及基础的离心率问题以及范围问题，进阶内容需要学习后续焦长体系和焦点三角形等后续内容.方&一利用O=空，2”利用椭圆定义去转换，2c利用焦距表示.Ia【例15】（大石桥期中）设M为椭圆二+=1（b0）上一点，F-F2为椭圆的焦点，若NM名=75,NgK=I5,求椭圆的离心率.【例16X2018新课标I）己知A,乃是椭圆C的两个焦点，尸是。上的一点,若P1P6,且/”可=60。,则C的离心率为（）A.1一3B.2-3C.D.3-12222【例17（榆林一模）设小入分别是椭

9、圆C*+1=1（bO）的左、右焦点，点尸在椭圆C上，线段P匕的中点在），轴上，若NPK鸟=30。，则椭圆C的离心率为（）方做二利用与C建立一次二次方程不等式.22【例18】（2018新课标II）已知尸I,F,是椭圆C:；+与=1（”0）的左、右焦点，A是C的左顶点,ab点尸在过A且斜率为逆的直线上，为等腰三角形，N片6P=120。，则C的离心率为（）22【例19】（武进期末）已知产是椭圆马+2=13人0）的左焦点，A为右顶点，P是椭圆crb2上一点，PFJ轴.若IPFI=JA,则该椭圆的离心率是.4方法三利用焦半径的取值范围为a-c,+c【例20（宜昌期末）已知耳、K分别是椭圆C*+3=1（Z

10、0）的左、右焦点.若椭圆C上存在点尸,使得线段P匕的中垂线恰好过焦点尸2,则椭圆C离心率的取值范围是（）A.1,1）B.1,与1C.p1）D.（0,g【例21（广东期末）设%F,分别是椭圆+耳=1（以0）的左、右焦点，若在直线x（其abc中/+从=/）上存在点p,使线段PK的垂直平分线经过点后，则椭圆离心率的取值范围是（）C.哼,1)Dg，1)A.(0,午B.(0,早方眩B此题可利用最大顶角。满足sin0eV1.2例22已知椭圆二十1=1(0)的焦点分别为F1,F2,若该椭圆上存在一点P,使得ZFxPF2=60,ab则椭圆离心率的取值范围是.方依五利用基本不等式.【例23】(龙凤一模)在椭圆上

11、有一点M,鸟是椭圆的两个焦点，若IMqMFj=2从，椭圆的离心率的取值范围是.第二裙双曲线考点一双曲线基础1 .双曲线定义在平面内，到两个定点耳、K的距离之差的绝对值等于常数2(。大于0且幼0,0)erb-y222一一7=1(O,bO)a-b-图形萍性质焦点(-G),F2(CfO)E(O,c),F2(OfC)焦距IKE1=2c(c=Ja2+b2)F,1f2=2c(c=Ja2+b2)范围yRyy-或y,XeR对称性关于X轴、y轴和原点对称顶点(,0)(0,a)轴实轴长=2,虚轴长=2Z?离心率e=-(e1)注：离心率越大，双曲线开口越大a渐近线方程y=xa,ay=-xh注意：判断焦点位置的方法，

12、椭圆，谁下面数字大焦点跟谁；双曲线，谁的系数是为正，焦点跟谁.简记：椭圆，谁大跟谁，双曲线，谁正跟谁2 .双曲线的通径2h2过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径.通径长为3 .点与双曲线的位置关系对于双曲线5-1=1(0b0),点尸5,为)在双曲线内部，等价于另一鸟1.abab点P(XO,%)在双曲线外部，等价于乌-Eb0)上任意一点，该双曲线的两条渐近线方程分别是冲一加=0ah和+b=o,点尸(w，x)到两条渐近线的距离分别是与=驾*+I,则呼+他I驾.性质二双曲线焦点三角形面积为J(可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越小，面积越大)Utan2考直二双曲线定义的基础考察在处理双曲线问题的时候，也要优先思考定义，俗称定义优先原则，而非上来就直接直线和双曲线联立.所以在解题的时候如果看到点在双曲线上，要时刻思考双曲线定义.【例1】(吉林期中)已知点A(1,0),B(-1,0).动点M满足M4-M8=2,则点M的轨迹方程是()A.=0(-1x1)B.y=O(x1)C.y=O(x-1)D.y=O(x1)22【例2】(2016新课标I)已知方程J二I表示双曲线