最新版圆锥曲线专题17之7 抛物线的综合问题.docx
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1、专题7宗远功长抛物线综合问题无结论,不圆锥,可以看出二级结论在圆锥中是多么重要,而抛物线正是这一观点集中体现,接下来我们将从垂直和定值定点两方面来说明二级结论的重要性.第一稀抛物线中的垂直问题抛物线中与垂直有关的有以下结论1.如果抛物线丁二2px弦AB过抛物线的焦点尸(,0),那么以AB为直径的圆与准线相切,设切点为尸则:(1)PAPB(2) PFAB且有以下更进一步的结论:设AB两点在准线上的射影分别为和与,则以线段Aq为直径的圆与AB相切,切点为产(3) PAB的面积的最小值为P?.此时AB垂直于X轴(4)过A点和3点分别作抛物线的切线交于点O,则AZ)人且O在抛物线的准线上,反之过准线上
2、任一点做抛物线的两条切线,则两切点的连线经过焦点(这种情况下开口朝上的抛物线X2=2Py考试出现得更多)2 .若?AoB则弦AB必过定点(2p,0)【例1】(鼓楼模拟)过抛物线C:丁=2p(p0)的焦点F的直线与抛物线C交于A,B两点,且AF=3网,直线AB与C的准线/交于点O,AAA/于A,若的。的面积等于8JI,贝IJP二()3 c5A.-B.2C.-D.422【例2】(山西期中)已知抛物线C的顶点为坐标原点,焦点尸在X轴上,其准线为/,过尸的直线交抛物线于M,N两点,作MrS人/,NT八I,垂足分别为S,T.若MF=3FN,且AST户的面积为与叵,则抛3物线C的方程为()A.)/=?XB
3、.y2=?2xC.y2=?3xD.=74x【例3】(黄冈期中)已知点MG1,2)和抛物线C/=4%,过C的焦点且斜率为左的直线与C交于A,B两点,若?AMB90?,则A=()A.1B.2C.3D.4【例4】(贵阳二模)抛物线y2=2px(p0)的焦点为,已知点A,8为抛物线上的两个动点,且满足IMN1?AFB90?.过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MV,垂足为N,则丁工的最大值为()IAB1A.B.C.1D.G22第二饼定值定点问题过抛物线焦点弦的几何性质重要结论1. IAFI=BBF=-R.1 -cosa1+cos2. AB=xi+x2+p=.sinaP23SMoB-.2sm44设二则co
4、s=W=-.、a、u,AFBF5.设AB交准线于点?,则丁豆7=cos:=cos.I/AI/恒抛物线中其他定值定点结论:1 .对于抛物线y2=2px上两点AB,经过焦点/,则XA4=?,=-P20A?OBP2f推广到更一般的形式,若AB经过点(zn,0)则XAX&=/,yAyB=-2pm.2 .若直线/与抛物线V=2px交于M、N两点,P(X0,%)为抛物线C上一点,且PM人PN,则直线/必过定点(2p+%,-y0).特别地,当尸点位于抛物线顶点(0,0)时,直线/必过定点(2,0).3 .过定点七(山,0)的直线/与抛物线丁二2彳交于A,B两点、,与直线X=交于M点,若MA=/fE,MB=1
5、BE,则/+/,=_竺S.m【例1】(长沙模拟)已知抛物线Uf=4),的焦点为F,A是抛物线C上异于坐标原点的任意一点,过点A的直线/交y轴的正半轴于点8,且4,4同在一个以尸为圆心的圆上,另有直线/勿,且悭与抛物线C相切于点O,则直线AD经过的定点的坐标是()A.(0,1)B.(0,2)C.(1,0)D.(2,0)【例2】(湖北月考)已知F为抛物线J=X的焦点,点a、B在该抛物线上且位于工轴的两侧,而且OA?OB2(。为坐标原点),若AABO与ZAFO的面积分别为S1和S2-则,+4S?最小值是()7万A.B.6C.23D.432【例3】(遂宁期末)设尸为抛物线k=8x的焦点,A、B、C为该
6、抛物线上不同的三点,且FA+FB+FC=O,O为坐标原点,若4QOFB.ZXOfC的面积分别为S、S2.S3,贝”;+S;+S;=()A.36B.48C.54D.64【例4】(湖南长沙高三模拟题)已知点M(-5,0)、C(1,O),MB=2BC.尸是平面上一动点,且满足IPCI?IBC1PB?CB.求点P的轨迹C的方程;已知点A(m,2)在曲线C上,过点A作曲线C的两条弦4)、AE,且4)、AE的斜率人、心满足kjk22.试推断:动直线Z)E是否过定点,证明你的结论.【例5】(渝中区月考)设直线/与抛物线J=4%相交于A,8两点,与圆5)2+/2=/“0)相切于点加,且同为线段AB的中点,若这
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