课时过关检测（五十四） 最值、范围问题.docx

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1、课时过关检测(五十四)最值、范围问题1.(2023湖北7ftMTUD已知点M坐，啕在椭圆C:1+=1(b0)上,且点M到椭圆C的左、右焦点的距离之和为22.(1)求椭圆。的方程；(2)设O为坐标原点,若椭圆。的弦AB的中点在线段OM不含端点。,M)上,求OAOB的取值范围.解：(1)由条件知。+表=1,2=2i,所以=i,b=19所以椭H1C的方程为?+尸1.(2)设A(X1,j),B(X29y)9则AB的中点件争举，归国)线段OM上.VkoM=2r+x2=2(j+y2)y=1,两式相减得Sx2x*x(j-j2)(yi+j2)=0,-yAr1+必易知M0,J1+j20,所以勺_:=一五不=-1

2、,即以6=-1设直线AB的方程为y-+mt代入5+V=I并整理得3-4mx+2m2-2=0.由/=8(3，2)o得Z2V3.由根与系数的关系得xi+m=，xiX2=*三”,又X1*X24,明所以竽w(,邛号，所以OViV小.一.1)OAOB=X1X2J12X1X2+(-X1+)(-X2+z)=2X1X2-7W(X1+x2)+/W2=42.(2023开切Tr巾一次模拟牙试)在平面直角坐标系Xoy中，已知点尸(1,0),直线/：X=一1,点P在直线/上移动，R是线段P尸与y轴的交点，动点。满足：RQ1PFtPQ1.I.(1)求动点Q的轨迹E的方程；(2)若直线P*与曲线E交于A,B两点,过点尸作直

3、线PF的垂线与曲线E相交于C,&两点，求启济+下?74的最大值.解：(1)由题意可知A是线段尸尸的中点，因为RQ1PF,所以RQ所在直线为线段P尸的垂直平分线，连接。尸，所以IQP=I0P,又尸。JJ,所以点。到点尸的距离和到直线/的距高相等，设。(,y)M+i=(-i)2+j2,化简得y=4,所以动点Q的轨迹E的方程为y=4.(2)由题可知直线PF的斜率存在且不为0,设直线PF:j=(-1)(Ar0),M1JCD:j=-(-1),y=A1-1)联立方程，得，消去H得d2一(2d+4氏+d=0,y=4x,2公+4设A(X1,y),B(X2,J2),则X1+x2=-F-,xim=1.因为向量R1

4、,尸B方向相反，所以必！尸5=-IK4U尸B|=一(xi+DS+1)=(XiM+x1+x2+1)=一伟+4)同理，设C(X3,J3),&(XbJ4),可得记而=-卜万方|=一4d一4,所以京-FB+FCFD=-?+后一8,因为幺+W22,当且仅当A?二1，即土=1时取等号，所以E4尸8+FC产O的最大值为一16.3.已知抛物线C:x2=2PJ(PX)和定点M(M),设过点M的动直线交抛物线。于A,B两点,抛物线C在/1,3处的切线的交点为M(1)若N在以AB为直径的圆上，求的值；若Aabn的面积的最小值为4,求抛物线C的方程.解：设直线A3:j=Arx+1,A(xi,yi),B(x2t力)，将

5、直线AB的方程代入抛物线C的方程得x2-2pk-2p=0,则x+x22pk9X1X2=一2p.(1)由/=2Ay得V=：则A,8处的切线斜率的乘积为学=一/丁点N在以AB为直径的圆上，2:.AN1BN,-=-1,.p=2.(2)易得直线AN:JJi=y(xxi),直线BNzjj2=y(-X2),联立，得结合式,y-y=(-i)9X2,、,-J2=T(X-X2),P即N(Pk,-1).IA=1Ar2x2x1=yj1At2J(xiX2)2-4xX2=1+k2y4p2k2+Spt点N到直线AB的距离d=恒/M=管，1+-y-rk-则ZUBN的面积S48N=*A6M=d心无2+2)322折,当人=O时

6、，取等号,ABN的面积的最小值为4,.22p=4,p2t故抛物线。的方程为2=4y.4.(2023,山东济宁f)已知椭圆C：+=1(b0)的离心率为坐，且椭圆C过点(1)求椭圆C的标准方程；(2)过椭圆C的右焦点的直线/与椭圆C分别相交于A,3两点，且与圆O:x2j2=2相交于E,户两点，求IAHHE户F的取值范围.解：(1)由题意吟=坐，所以标号2,所以椭圄的方程为六,将点g,9代入方程得加=2,即层=3,所以椭HIC的标准方程为+=1(2)由(1)可知，椭BO的右焦点为(1,0),若直线/的斜率不存在，直线/的方程为x=1,则G噌,小,-4(1,1),尸(1,-1),4S所以|4网=告，但尸F=4,AB1EFp=163若直线/的斜率存在，设直线/的方程为y=A(-1),A(x,y),(x2,y2)U=A(11),可得(2+3A2)262+3公-6=0,b1,6k2则x1+x2-2+3点_3k?-6X1X2=2+3A2,所以|45|=(1+2乂为一必)2=(1t因为圆心O(0,0)到直线/的距离J=-7=,k+1所以班2=4,一鬲=隼普，Z,43(2+1)4(2+2)所以IABWF=16/5(依+2)165d+2因为A2o,co),所以5EPF综上，IABHE产F的取值范围为