课时规范练24 余弦定理、正弦定理及应用举例.docx

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1、课时规范练24余弦定理、正弦定理及应用举例基础巩固组1 .（2023四川成都二诊）设AABC的内角A,3,C所对的边分别为a,b,c.若。=3。,SinAW,贝IJsin8的值为（）答案:A即苧=，一,所以sinB=-.rSinF52 .（2023江西宜春模拟）在AABC中,5C=I%AC=3,cosA三,则A4BC的面积为（）A.42答案:A解析:因为BC=17,AC=3,cosA=1,由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB-ACcosA,所以AB2-IAB-S=O1以AB=A.又因为cosA=4(0,兀),所以sinA=乎，所以Sc=-ABACsinA=-43=42.2233 .(2

2、023四川眉山三诊)在AABC中M力,c分别是角ARC所对的边,若A48C的面积-2z12人2Smc=-,则C=()4答案:C整理得/=4+加+2。加inC,由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcosC,所以sinC=-cosC,即tanC=-I.又C(0,7),所以C二史.44 .（2023河南郑州模拟）ZkABC中,角AAC的对边分别是。力,c,A=30m=5,若这个三角形有两解,则。的取值范围是（）A.3Z23B.3Z723C.23D.23答案:B解析:当ABC有两解时为SinAab,即bsin30o5vb,解得5b2I.5 .（2023云南红河三模）如图所示,网格中小正方形的边长均为

3、1,AABC的三个顶点均在小正方形的顶点处,则ZkABC外接圆的面积为（）答案:C解析:由图可知4=3,b=TU,c=VI5,由余弦定理,得cosC=1+3=运,所以sinC二兆更6101010设R为ZkABC外接圆的半径,根据正弦定理知2R=高=襦=零,所以R=等,所以SinIF6 .（2023山西临汾适应性考试）说起延安革命纪念地景区,可谓是家喻户晓,它由宝塔山、枣园革命旧址、杨家岭革命旧址、西北局革命旧址、延安革命纪念馆组成.尤其宝塔山,它可是圣地延安的标志,见证了中国革命的进程,在中国老百姓的心中具有重要地位.如图,宝塔山的坡度比为7：3（坡度比即坡面的垂直高度和水平宽度的比）,在山坡

4、A处测得NCAo=I5,从A处沿山坡往上前进66m到达8处,在山坡8处测得NCBD=30,则宝塔CD的高为（）A.44mB.42mC.48mD.46m答案:A解析:由题可知NCAo=I5,NC30=30,则N4CB=15,所以BC=AB=66.7 设坡角为仇则由题可得tanO=C,则可求得CoS=-.348 .（2023江苏徐州考前模拟）在平面四边形ABCO中工8=84C=14,cosNZMC=/内角B与。互补,若AC平分则CO的长为.答案：10解析:在A8C中,由余弦定理,得BC=yAB2+AC2-2ABACcosBAC=J2+142-2814=10.由CoSNBACq可得SinZBAC=-

5、.77由正弦定理,得sinB=sinZBAC=-=,BC1075又内角B与。互补,所以sinD=sin=因为AC平分NBAD,所以SinNoAC=SinN84C=平，所以由正弦定理,得CO=&sinNDAC=袅X=10.SinD2b79 .（2023浙江杭州二模）设。力,c分别为AABC的内角4,B,C的对边,等=吗当.若Osn-snC4=1,c=7,则C=,ZkABC的面积S=.答案:N延A177Xr-rjr,+csin4-sin8a-b解析:因为丁=.一-=一，bSinz1-SinCa-c整理得/+户/=她由余弦定理,得COSC=M：丁=；,因为C为三角形内角,所以2ab23由a2+b2-

6、c2=ab且=1,c=7得层b-6=0,解得b=3或b=-2（舍去），所以1ABC的面积S=sinC=-13-=.22249.(2023山东潍坊二模)在ZkABC中,c分别为内角A,8,C的对边,且2b2=(b2+c2-a2)(-tanA).求角C;若c=210,D为BC中点,cosB二手,求AD的长度.解:(1).2b2=(b2+c1-a2)(-tanA),.*.2b2=2bccosA(1-tanA).*.b=c(cosA-SinA),由正弦定理,得sinB=SinC(cosA-SinA),sin(+Q=sinCcos-sinCsinAysinAcosC=-sinCsinA,VsinAO,t

7、anC=-I,又C(O,),解得C二空4(2)*.*cosB=等，.*.sin3=*VsinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=噂,由正弦定理,得a=-=2y2,SinC.BD=2,在ABD中,由余弦定理,得Ab2=AB2+BD2-2ABBDcos氏解得AD=26.10.(2023山东德州二模)在锐角三角形ABC中,角A,BC的对边分别为力,C,已知6cos2-+A+cosA=5.2求A;若4=2,求/+。2的取值范围.解:(1)由题意得6sii?A+cos4=5,整理得6cos2A-cosA-I=O,解得COSAW或CoSA=又A(0,?,所以COSA=1,即=(2)由

8、余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得4=炉+/de,即炉+/=4+8c.由正弦定理,得SinAb_c_2_43SinBSinCg3TR7Z?=竽SinB,C二手Sin。,而C=-B,TinBsinCWSinBsin-B)=竽SinBcossin=sin2咛CoS2*=河(2*e)+.630F又2O-F3m答案:D解析:由题意得NCAM=45,N4MC=105,所以N4CM=30.12.（2023河南郑州二模）在ZkABC中,角A,B,C所对的边分别为力,c,NA8C=90,NABC的平分线交AC于点。.若+4c的最小值为9,贝IJBD=.答案:解析:因为ZABC的平分线交AC于点D,所

9、以NABD=NCBD=45,所以S“8C=)CSin90=cBDsin45ozBDsin45,可得24c=c8Q+3Q,可得Ibd(HC)=1所以+4c=经竺乌吧BD,2ac2ac所以a+4c、=匹3D（巴+5+竺）它BD（5+2/）=BD=9,2ca2yjca2当且仅当a=2c=3时,等号成立,所以BD=2.13.（2023四川成都石室中学高三月考）拿破仑定理:“以任意三角形的三条边为边,向外构造三个正三角形,则这三个正三角形的中心恰为另一个正三角形的顶点.”利用该定理可为任意形状的市区科学地确定新的发展中心区位置,合理组织人流、物流,使城市土地的利用率、建筑的使用效率达到最佳,因而在城市建

10、设规划中具有很好的应用价值.如图，设ZkABC代表旧城区,新的城市发展中心OiQQ分别为正三角形ACR正三角形BC匕正三角形ABE的中心.现已知A8=2,N4C8=30,三角形01。2。3的面积为5,则三角形ABC的面积为.答案詈解析:如图所示,连接Co1eo2,由题意得CO1qAC,。248。,/。2。8=30。，NOiCA=30。.因为NACB=30,所以NOCO2=90,S三角形必。3=苧。序=百,解得00=2.由勾股定理,得Co-CO：=O1oC即（争AC）2+（孰；）2=C0,即AC2+8c2=iz由余弦定理,得AB2=Ad2+BC2-2AGBCcos30,解得AeBC二竽，所以三角

11、形ABC的面积为UcBCSin30=.2314.（2023福建三明模拟）在ASinBcsinC=（竽bsinCsinA;CoS2C+sinBsinC=sin2B+cos2A;2b=2acosC+c这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中并作答.在AABC中,内角A,8,C的对边分别为力,c,己知448C外接圆的半径R为1,且.求角A;（2）若AC=y2yAD是的内角平分线,求AD的长度.解:（1）方案一:选择力SinB+csinC=（Y加inC+o）sinA,由正弦定理,得b2+c2=苧戾inC+aa,即b2+c2-a1=absinC,由余弦定理,得2bccosA二手Sin。,所以sinCco

12、sA=当SinAsinC.因为C（0,兀）,所以sinC0,所以tanA=V3.又因为A（0,兀）,所以Aq方案二:选择,cos2C+sinBsinC=sin2+cos2得1-sin2C+sinBSinC=sin2B+1-sin2A,即sin2+sin2C-sin2A=sinBSinC,由正弦定理,得。2+才”2=*.由余弦定理,得CoSA=:宁2=32bc2因为A（0h）,所以A二1方案三:选择,由28=2cosC+c,结合正弦定理,得2sin8=2SinAcosC+sinC.因为A+B+C=,所以sinB=Sin（A+0,即2sin（4+Q=2sinAcosC+sinC,所以2cosAsi

13、nC=sinC.因为C（0,兀）,所以sinC0,所以CoSA=M因为A（0,）,所以Aq(2)在ZkABC中,由正弦定理,得*=2R=2,SinF所以SinB=所以B=(因为AJ,由三角形内角和定理石不可能为生).2434AC中,C=-.,3412因为ADC的内角平分线，所以NeAO二:6所以NAQCM*聋所以Ao=Ac=创新应用组15.(2023广东深圳二模)著名的费马问题是法国数学家皮埃尔德费马(16011665)提出的平面几何极值问题:“已知一个三角形,求作一点,使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.，费马问题中的所求点称为费马点,已知对于每个给定的三角形,都存在唯一的费马点,当AABC的三个内角均小于争寸,则使得NAPB=NBPC=NCPA=学的点P即为费马点.已知点P为ZUBC的费马点,且AC1BC,若IPA1+P8=2PC,则实数2的最小值为.答案25+2解析:根据题意,点P为8。的费马点,BC的三个内角均小于拳所以/APB=/BPC=/CPA/.设ZPCB=a以在ABCP和ACP中,NCBP=-,ZACP=-aiZCAP=-NAeP=如；且3236均为锐角,所以由正弦定理,得吧=%,*=,snasm(-)sm(-)sn(飞)“SinQsi(