用向量方法求空间角和距离.docx
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1、用向量方法求空间角和距离在高考的立体几何试题中,求角与距离是常考查的问题,其传统的“三步曲”解法:“作图、证明、解三角形”,作辅助线多、技巧性强,是教学和学习的难点.向量进入高中教材,为立体几何增添了活力,新思想、新方法与时俱进,本专题将运用向量方法简捷地解决这些问题.空间的角主要有:异面直线所成的角;直线和平面所成的角;二面角.目录1 .知识点总结11.1. 用向量方法求空间角和距离11.2. 建构知识网络21.2. 1.求角:21.2. 2.求距离21.3. 双基题目练练手31.4. 以典例题做一做31.5. 同步练习:用空间向量求角和距离72 .求空间角问题131. 1.求异面直线所成的
2、角132. 2.求线面角133. 3.求二面角143 .求空间距离问题143. 1.求点面距离144. 2.求异面直线的距离154 .练习题201 .知识点总结1.1. 用向量方法求空间角和距离求异面直线所成的角:设.分别为异面直线.的方向向量,则两异面直线所成的角求线面角:设是斜线方向向量,是平面法向量与直线则斜线的锐夹角为,.则斜线与平面成角为.或注1:得到的角是法向量与直线的夹角.并不是直线和平面成的角求二面角在内,在内,其方向如图(略),则设,是两个半平面的法向量,其方向一个指向内侧,另一个指向外侧,则二面角的平面角,注2:不能判断二面角是钝角,还要根据图形辨别(4)求点面距离:设是法
3、向量,在内取一点,则到距离(即在方向上投影的绝对值)1.2. 建构知识网络1.3. 1.求角:(1)直线和直线所成的角:求二直线上的向量的夹角或补角;(2)直线和平面所成的角:找出射影,求线线角;求出平面的法向量,直线的方向向量。,设线面角为,则Si夕=|CoSV=I./n-a1/(3)二面角:求平面角,或求分别在两个面内与棱垂直的两个向量的夹角(或补角);求两个法向量的夹角(或补角).1.4. 2.求距离(I)点M到面的距离d=MNcos6(如图)就是斜线段MN在法向量方向上的正投影.由NM=Wcos(1,x,-i)=o,所以Z?A_1(2)因为E为AB的中点,则E(1,1,0),IfuDE
4、=(1,1-1),AC=(-1,2,0),AD1=(-1,0,1),设平面ACD1的法向量为,则不与y轴垂直,可设n=aXc),则小C=0,7.丽=0,也即1+2=0,得卜=2,从而=(2,1,2),点E到平面ADIC的距离:DJEn_2+-2_1H.InI33(3) CE=(1,x-Z0D1C=(0,2,-1),DD1=(0,0,1),设平面D1EC的法向量=(,1,c),nD,C=0,2-c=0一由J=Jw=(2-x,1,2).wCE=0,+(x-2)=0依题意COS怠一|勿21-也-2一企4nDD.2J(X2)2+52-.西=2+6(不合,舍去),x2=2-3.AE=2-百时,二面角DI
5、ECD的大小为卫4【例2】(2005全国)已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,ABDC,ZDAfi=90,PA1JKffiABCD,且PA=AD=DC=_1AB=1,M是PB的中2(I)证明:面PAD_1而PCD;(H)求AC与PB所成的角;(In)求面AMC与面BMC所成二面角的大小.(I)证明:因为PA_1PD,PAAB,ADAB,以A为坐标原点AD长为单位长度,如图建立空间直角坐标系,则各点坐标为A(0,0,0)B(0,2,0),C(1,1,0),D(1,0,0),P(0,0,1),M(0,1,1)2AP=(0,0,1),OC=(01,0),故APDC=O,所以APDC.又由题设知A
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- 向量 方法 空间 距离
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