2.1.1直线的倾斜角与斜率+教学设计.docx

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1、教学设计课程基本信息学科高中数学年级高二学期秋季课题直线的倾斜角与斜率教科书书名：普通高中数学教材出版社：人民教育出版社出版日期：2023年7月教学目标教学目标：1 .在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素.2 .通过问题思考探究理解直线的倾斜角和斜率的概念.3 .了解直线的斜率和倾斜角的概念.4 .理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性.5 .了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率的实际问题.教学内容本节课选自2019人教A版高中数学选择性必修第一册第二章直线和圆的方程，本节课主要学习直线倾斜角与斜率。直线的倾斜角与斜率从初中所学”两点确定一条直线”出发，

2、引起学生对平面直角坐标系中的直线的几何要素的确定，是今后学习直线方程的必备知识。它不仅在人们的生活、生产、科技中有着广泛的实际应用，而且通过本节课的学习，能够培养学生观察、分析、猜想、抽象概括等数学基本思维方法，并初步体会坐标法的思想。1 .教学重点：理解直线倾斜角和斜率的概念及其关系。2 .教学难点：应用斜率公式求直线的斜率的实际问题教学方法和策略本课设计上以“引入一探究一归纳”模式作为教学特色。同时教学设计尽量做到注意学生的心理特点和认知规律，触发学生的思维，使教学过程真正成为学生的学习过程，以思维教学代替单纯的记忆教学。注意在探究问题时留给学生充分的时间，使数学教学成为数学活动的教学。从

3、而发展学生的宜观想象、逻辑推理、数学建模的核心素养。学科素养：1 .在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素.2 .理解直线的倾斜角和斜率的概念.3 .掌握倾斜角和斜率之间的关系.4.掌握过直线斜率的计算公式，并应用解决实际问题教学过程导语：学生自学章引言的内容，3分钟左右师：我们知道，点是构成直线的基本元素。在平面直角坐标系中，表示点用什么表示（儿何问题）？生：坐标（代数问题）师：直线（几何问题）用什么表示？生：用方程（代数问题）表示师：本章首先在平面直角坐标系中，给直线插上方程的“翅膀”，通过直线方程研究起位置关系等。感受解析几何的发展，让学生了解数学发展，也引入到本节

4、课课题直线的倾斜角与斜率问题：那么，如何用坐标表示直线呢？为了用代数方法研究直线的相关问题，我们先需要弄清楚在平面坐标系中探索确定直线位置的几何要素，用代数方法把这些几何要素表示出来。设计意图：解析几何是最基本的研究方法，需要学生经历多次的教学体验才能深刻理解的问题，。学生第一次接触坐标法，应该给学生思考时间（看引言内容）（第一次体验坐标法），然后讲解（师：通过简单的一问一答，让学生在对熟悉的问题理解的基础上，初步体会坐标法的核心思想）（第二次体验坐标法），通过课后阅读章引言，让学生进一步理解坐标法的本质问题（第三次体验坐标法）一、倾斜角1、引入问题1在平面中，怎样才能确定一条直线？师：在平面

5、几何中，确定直线的条件是什么？对于平面直角坐标系内的一条直线，它的位置由哪些条件确定？问题2在平面直角坐标系内给一个点，过这个点有无数条直线。再给一个什么条件就可以唯一确定一条直线呢？请学生手动操作体验启发性讲解：（借助信息技术演示）可以发现，过一个点的直线有无数条，再借助坐标轴，给定直线与坐标轴的交角，那么直线就唯一确定了。一般地，我们以水平线X轴为基准，这也符合我们日常表示物体倾斜程度的习惯。因此我们约定图1中的角表示直线的倾斜程度，把它就叫倾斜角。教师给出倾斜角的定义：当直线，与X轴相交时，我们以X轴为基准，1轴正向与直线/向上的方向之间所成的角Q叫做追问：依倾斜角的定义，倾斜角的范围是

6、什么？教师根据学生回答给出倾斜角的几何意义：(1)从运动变化的观点来看，当直线/与X轴相交时，直线/的倾斜角是由X轴绕直线/与X轴的交点按逆时针方向旋转到与直线I重合时所得到的最小正角.(2)倾斜角从“形”的方面直观地体现了直线对X轴正向的倾斜程度.直线的倾斜角的取值范围为0o180o.设计意图：倾斜角的概念符合概念教学的同化模式，利用学生已有的知识经验，以定义的方式直接提出概念，并揭露其本质属性，由学生主动地与原有认知结构中的已有相关概念产生联系，从而使得学生获得概念生成。练习1：判断下列直线的倾斜角是否正确？图6练习2：已知直线/向上方向与)，轴正向所成的角为30。，则直线/的倾斜角为.答

7、案60。或120解析有两种情况：如图(1),直线/向上方向与X轴正向所成的角为60。，即直线的倾斜角为60。.如图（2）,直线/向上方向与X轴正向所成的角为120。，即直线/的倾斜角为120。.二、斜率1、引入交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对于水平方向的倾斜程度，如图，一辆汽车沿某条道路从A点前进到B点，在水平方向前进的距离为AD,竖直方向上升的高度为08（如果是下降，则的值为负实数），则坡度及=黑黑=瑞若Q0,则表示上坡，若Y），则表示下坡，为了实际应用与安全，在道路铺设时常要规划坡度的大小.那么“坡度”是如何来刻画道路的倾斜程度的呢？问题1：将此图形抽象到坐标系中，（利用几何画板给

8、出图形），演示出条直线/与X轴的交点A相对固定，直线上另一点B在直线上运动，观察坡度情况？如果B点固定A点在X轴上运动，观察坡度的变化情况？概念生成：把一条直线的倾斜角。的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母女表示，即k=tana.设计意图：首先把已知直线与X轴的交点相对固定，另一点沿着直线运动，产生“升高”和“前进”的印象，从而比较自然的反应出坡度问题（特殊情形），再把固定点也动起来，我们就很顺利的通过构造直角三角形作进一步分析（一般情况），这样动态化教学处理，使得知识的形成“鲜活”，更加自然。2、引入二由于两点可以确定一条直线，那么我们直线上任取两点P（x,9），P2（x2,），MX

9、2,可知直线/由修，P2唯一确定。所以，可以推断，直线/的倾斜角一定与P,P2两点的坐标有内在联系的。3、问题探究问题2：在平面直角坐标系中，设直线/的倾斜角为（详情教材52页）(1)已知直线/经过0(0,0),P(3,1),“与。，P的坐标有什么关系？(2)类似地，如果直线/经过P1(1,1),P2(2,O),与P,P?的坐标有什么关系？(3)一般地，如果直线/经过两点P1aI,y),P2(x2,竺)，MM,那么与P,P2的坐标有什么关系？(1)tun.(2)tan=2.1一2.(3)tP2(x2,2)-2,可得斜率公式：=T)2_yi(X12)X2x5、知识拓展教材54页，若直线1的斜率为

10、上它的一个方向向量的坐标为(xj),则2=X6、练习：教材P54例题1三、倾斜角和斜率的应用问题1：是否每条直线都有斜率？倾斜角不同，斜率是否相同？问题2：根据上面例题1进一步分析当直线的倾斜角由0。逐渐增大到180。，其斜率如何变化？为什么？引导学生发现斜率的正切值，结合正切正切函数产UmK(X(0e)5?4)的图象(图7)(同时借助辅助软件，动态观察其变化，总结出倾斜角与斜率的变化关系)让学生总结出斜率与倾斜角之间的变化关系，引导学生发现不是所有直线都有些率。结论：设直线的倾斜角为a，斜率为此a的大小00oa90o9090oa180ok的范围k=0kX)不存在KOk的增减性随的增大而增大随

11、的增大而增大结论拓展：(1)当倾斜角为90。时，即幻=X2时，直线的斜率不存在，.(2)斜率公式中k的值与R,尸2两点在该直线上的位置无关.(3)斜率公式中两纵坐标和两横坐标在公式中的次序可以同时调换.(4)若直线与X轴平行或重合，则2=0.设计意图：利用正切函数的图象(几何问题)(课标要求是能画出正切函数的图象)进一步理解倾斜角的变化，引起斜率的变化情况(代数问题)，应用数形结合思想，从函数角度理解两者关系。例题解析：已知A(3,3),B(-4,2),C(0,-2).(1)求直线AB和Ae的斜率；(2)若点D在线段Bc(包括端点)上移动时，求直线AO的斜率的变化范围.解(1)由斜率公式可得直

12、线AB的斜率公产二谷与直线AC的斜率MC=下丁奇.故直线AB的斜率为;，直线AC的斜率为盘(2)如图所示，当。由B运动到C时，直线AO的斜率由心8增大到必c，所以直线AO的斜率的变化范围是隹I.四、课堂小结1 .知识清单：(1)直线的倾斜角及其范围.(2)直线斜率的定义和斜率公式.2 .方法归纳：数形结合思想.3 .常见误区：忽视倾斜角范围，图形理解不清.教学反思让学生亲身体验直线的倾斜角与斜率这两个数学概念形成的过程。因为数学课程要讲逻辑推理,更要讲道理，要通过典型例子的分析和学生的自主探索活动，促使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，从而体会蕴涵在其中的数学思想方法。因此，本课设计上以“引入一探窕一归纳”模式作为教学特色。同时教学设计尽量做到注意学生的心理特点和认知规律，触发学生的思维，使教学过程真正成为学生的学习过程，以思维教学代替单纯的记忆教学。注意在探究问题时留给学生充分的时间,使数学教学成为数学活动的教学。从而发展学生的直观想象、逻辑推理、数学建模的核心素养。