微分中值定理证明不等式方法研究毕业论文.docx

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1、微分中值定理证明不等式方法研究毕业论文扎X曙说JIUJIANGUNIVERSITY毕业论文题目微分中值定理证明不等式方法研究英文题目USi1Iqdifferentia1meanVaIUetheoremprovinginequa1itymethodStUdying院系理学院专业数学与应用数学姓名胡霞班级A0811班指导教师强毅二零一二年五月不等式的证明有很多种，其中微分中值定理是证明不等式的一种重要的方法。本文分别给出罗尔中值定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理以及泰勒中值定理的定义以及分别利用其定理证明的一些不等式。新课程标准更加注重理论联系实际且应用实际的原则，因此本文最后还给出一些基本不等

2、式在现实生活中的应用。关键词罗尔中值定理；拉格朗日中值定理；柯西中值定理；泰勒中值定理；不等式证明；不等式的应用AbstractTherearemanywaystoproveinequa1ity9Andva1uetheoremtoprovetheinequa1ityisakindofimportantmethod.Thispaperwi11givesomeexamp1esthatuseRo11erMeanVa1ueTheorem,1agrangeMeanVa1ueTheorem,CauchyMeanVa1ueTheoremandTay1orMeanVa1ueTheoremtoproveineq

3、ua1ity.Thenewcurricu1umstandardpaymoreattentiontotheprincip1ethattheorywiththepracticeandapp1ypractica19thereforethispaperfina11ygivesomebasicinequa1ityinrea11ifeapp1ication.KeyWords:Ro11erMeanVa1ueTheorem;1agrangeMeanVa1ueTheorem;CauchyMeanVa1ueTheorem;Tay1orMeanVa1ueTheorem;App1yofinequa1ity;Prove

4、inequa1ity.引言1第一章知识准备211微分中值定理定义21. 2微分中值定理证明不等式的步骤3第二章利用罗尔中值定理证明不等式41.1 罗尔中值定理的意义及分析41.2 罗尔中值定理的应用4第三章利用拉格朗日中值定理证明不等式51.1 拉格朗日中值定理的意义及分析53. 2拉格朗日中值定理证明不等式5第四章利用柯西中值定理证明不等式83.1 柯西中值定理的分析84. 2柯西中值定理证明不等式8第五章利用泰勒中值定理证明不等式114.1 泰勒中值定理证明不等式的方法归纳H5. 2泰勒中值定理证明不等式11第六章综合利用微分中值定理证明不等式145.1 通过求极值点证明不等式14第七章微

5、分中值定理证明不等式在解题中的应用16第八章基本不等式在现实生活中的应用18第九章研究总结20参考文献21致谢22不等式是数学中的重要内容,也是数学中的重要的方法和工具.在微分学中,微分中值定理,函数单调性判定定理及极值等重要的结论都可以用来证明不等式.本文通过几个具体的例子来具体说明微分中值定理在证明不等式中的运用，以及不同的微分中值定理在解决证明不等式的区别，并且还给出基本不等式在现实生活中的应用.数学问题的解决关键在于我们对待数学问题的方法，如果在学习数学的过程中，我们能有意识地将数学问题系列化，解决数学问题的方法系列化，那么解决数学问题的能力将会得到升华.在高等数学的学习中，不等式的证

6、明是可以作为一个系列问题来看待的，不等式的证明是数学的重要内容之一，也是难点之一，其常用的方法有：比较法、综合法、分析法、重要不等式法、数学归纳法等，而有一些问题用上述方法解决是困难的，在学完中值定理与导数的应用的内容以后，可以利用微分中值定理、函数的单调性、常数变易法、函数极值性、凸凹性等知识解决一些不等式证明的问题.因此，微分中值定理为证明不等式注入了新的活力，这一创造性思维有效合理的使不等式获得证明，从而体现出初等数学与高等数学的紧密联系.随着时代的发展，科技的进步及课程改革的不断深入，微分中值定理的应用必将渗透到社会领域的方方面面.第一章知识准备1.1微分中值定理定义微分中值定理是数学

7、分析中非常重要的基本定理.微分中值定理是指罗尔中值定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理以及泰勒中值定理.微分中值定理在数学分析及高等数学中的地位是不容置疑的,且在解题中的应用也是十分广泛的.在这里我们就利用微分中值定理证明不等式的方法作一简述.首先我们要先介绍一下微分中值定理：定理1罗尔中值定理:如果函数，*)在闭区间,可上连续,在开区间m与内可导,且满足f(a)=f(b),那么在(内至少存在一点3使得rC)=O.定理2拉格朗日中值定理：如果函数AX)在闭区间“句上连续，在开区间(0,Z?)内可导，那么在(,b)内至少存在一点3使得f(b)-f(a)=f,()(b-a).当函数/(x)在(a,

8、b)内的变化范围已知时,有加fx)M,于是可以利用拉格朗日定理来证明mb-a)f(b)-f(a)Mb-a)一类的不等式.定理3柯西中值定理:如果函数/(x),g(x)在闭区间,句上连续,在开区间(4。)内可导,且g(x)在(力)内每一点均不为零,那么在(,。)内至少存在一点使得f(b)-fg也).gS)-g()g,()*定理4泰勒中值定理:如果函数/(x)在含有点A0的区间。上有直到(+1)阶的导数,则函数f(x)在D内可表示成一个多项式P11M与一个余项式R”(X)的和：F(X)=/(工0)+/(犬0)(-工0)+/(元-氏0)2+(/)(%-氏0)+R”(X)2!n其中R“()=毕鲁(Xg

9、严，Je(%,x).注:当=O时,即为拉格朗日中值定理,所以泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广.这个公式又称为带有朗格朗日型余项的泰勒公式.1.2微分中值定理证明不等式的步骤在微分学中,微分中值定理在证明不等式中起着很大的作用，我们可以根据不等式的两边的代数式选取不同的函数/(x),应用微分中值定理得出一个等式之后,对这个等式根据工取值范围的不同进行讨论,得到不等式,以下通过例子来说明微分中值定理在证明不等式的应用.因此给出利用微分中值定理证明不等式的步骤(1)构造辅助函数/3)(2)构造微分中值定理需要的区间(2)利用4(,6),对九进行适当的放缩第二章利用罗尔中值定理证明不等式2.1 罗

10、尔中值定理的意义及分析罗尔中值定理的几何意义:在满足定理条件下,在曲线y=()上必有一点,使得过该点PCJC)的切线平行于入轴.在一般情况下,利用罗尔中值定理很容易证明关于方程的根的问题,但是仅用罗尔中值定理却很难证明不等式,所以在利用罗尔中值定理证明时要综合利用其他的微分中值定理.2.2 罗尔中值定理的应用例1设函数/在1上连续，在(0,1)内可导，且/(O)=/=0.证明：(0,1)内必存在一点八使得了C)=军警.分析：由结论令尸(X)=(1-x)ff(x)-2f,(x)-Fx)=Fx)dx=J(1-x)ff(x)-2ff(x)dx=(1-x)r(x)一f(x)F(x)=Fx)dx=(1-

11、x)r(x)-f(x)1x=(1-x)(x)证明：令/7(X)=(I-X)/(X),由于尸(X)在0,1上连续，在(0,1)内可导，且尸(X)=(IT)/(X)-73,又尸(0)=尸=0,则由罗尔定理知：存在r(0,1),使得F(C)=(I-c)/(c)-/(c)=0,又/=-/=0,从而产(%)在(CJ)上.再由罗尔定理知：必存在一点4c(c,1)(0,1),使得C)=(IYXre)-2/纭)=0即D=也03.1 拉格朗日中值定理的意义及分析拉格朗日中值定理的几何意义:在满足定理条件下,在曲线y=/(%)上必有一点PeJC),使得过该点的切线平行于曲线两端点的连线3/(。)，SS)两点的弦.

12、我们在证明中引入的辅助函数网x)=(x)-()-曾二正是曲线b-ay=/(x)与弦线之差.拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广,当f(a)=f(b)时,本定理即为罗尔中值定理的结论,这表明罗尔中值定理是朗格朗日定理的一个特殊情形,v=f(x).拉格朗日中值定理的其它表示形式：(1) /(Z?)-f(a)=f,()(h-a),abt(2) f(b)-f(a)=fa+-a)(h-)(0)(3) f(a+h)-f(a)=f,(a+/),0人都成立.而之则是介于。与匕之间的某一定数，而(2),两式的特点，在于把中值点J表示成了+6S-),使得不论为何值，。总可为小于1的某一整数.3.2拉格朗日中值定理

13、证明不等式例2如果.e0,试证/1n(1+x)x;1+x(2)求证：arctga-arctg0)上连续,在(U)(X0)内可导,应用拉格朗日中值定理,则有1n(1+幻-In=丁=*(0,刈.由于在闭区间0,可上,有所以+幻0).(2)当。二/时,显然等号成立.当aw?时,不妨设P设/(x)=arctgx,x(/?,a),由拉格朗日中值定理得，竺幽卷蛙=7,gG,)a-1+则有arctga-arctg=(a-)+r以上两个例子都是利用拉格朗日中值定理来证明不等式,有些不等式利用此定理时,方法要灵活些.例3当x0时，函数AX)在其定义域上可导，且尸(幻为不增函数，又/(x)=0,xiOJ=1,2,

14、求证f9x,)21/().=1r=1证明用数学归纳法当=1时,显然不等式成立.当=2时,若M%均为O，或者一个为O时,当一个为O时，显然有/(x1+x2)=/(1)+/(X2).设X1,X2均大于O,不妨设玉%，在O,XJ应用拉格朗日中值定理可得：Z2=*(O)=r(G外(0.x1X1-O在上小+%上再次利用拉格朗日中值定理可得：/(i)-y)=fa+%)-/(/)=f，&)&(J芭+xxx1x1+x2-x2显然3由题设知，f,(1)f,(2).所以/5+-2)-/()工/(%),O的情况./=1/=I取=由前面已证的结论有/(w+x+1)(w)+1),即当=A;+1时结论成立,所以./().1=1i=14.1柯西中值定理的分析柯西中值定理是研究两个函数f(Og(x)的变量关系的中值定理,当一个函数(不妨设此函数为g(x)取作自变量自身时它就是拉格朗日中值定理,所以用拉格朗日中值定理能证明的不等式一定能用柯西中值定理来证明，反之则不然.下面举例来说明：对例2用柯西中值定理证明,这里仅用第一个小题来说明,其证