圆锥曲线解答题中的定点和定值问题的解题策略(解析版).docx

《圆锥曲线解答题中的定点和定值问题的解题策略(解析版).docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《圆锥曲线解答题中的定点和定值问题的解题策略(解析版).docx（48页珍藏版）》请在第一文库网上搜索。

1、圆锥曲线解答题中的定点和定值问题的解题策略在圆锥曲线中有一类曲线，当参数取不同值时，曲线本身性质不变或形态发生变化时，其某些共同的性质始终保持不变，我们把这类问题成为圆锥曲线的定值问题.圆锥曲线中的定值问题是近几年高考的热点题型，解题过程中应注重解题策略，善于在动点的“变”中寻求定值的“不变”性.题型一：定值问题解答圆锥曲线定值问题的策略：1、把相关几何量用曲线系的参变量表示，再证明结论与参数无关.求解这类问题的基本方法是“方程铺路、参数搭桥”，解题的关键是对问题进行综合分析，挖掘题目中的隐含条件，恰当引参，巧妙化归.2、把相关几何量的变元特殊化，在特例中求出几何量的定值，再证明结论与特定状态

2、无关，即特殊到一般的思想.1、两点间的距离为定值例1：（2023广东中山市高三期末）已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为%=1（b0）,则椭圆在其上一点A（x,y）处的切线方程为m+苔=1,试运用该性质解决以下问题：在平面直角坐标系XQy中，已知椭圆C：,+=1（bO）的离心率为孝,且经过点人日）（1）求椭圆C的方程；（2）设尸为椭圆。的右焦点，直线/与椭圆C相切于点P（点尸在第一象限），过原点。作直线/的平行线与直线P户相交于点Q,问：线段尸。的长是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.【详解】(1)由题意知/+5后=1a2=b2-c2*e椭圆C的方程为5+V=1.(2)设尸(用,为)

3、，题意可知，切线/的方程为XOX+2y0y=2,过原点。且与/平行的直线，的方程为XOX+2yy=0,椭圆C的右焦点尸(1，。)，所以直线PF的方程为%一(%)y-%=。，联十卜E-k)yf=0xox+2yoy=0所以。(普-图解题思路：设动点P(AO,%),由题意可知，切线/的方程为x+2%y=2,过原点。且与/平行的直线/的方程为x+2yy=0,求出。的坐标，表示出尸。的长，再化简即可.2、求某一代数式为定值=1(0,b0)的左顶点为例2：(2023全国高三模拟)已知双曲线C:WaA,右焦点为尸，离心率e=2,焦距为4.(1)求双曲线C的方程；(2)设M是双曲线C上任意一点，且M在第一象限

4、，直线MA与M厂的倾斜角分别为名，a2,求物+%的值.【答案】(1)x2-=1;(2).3【详解】2c=4r/=1(1)由0,%0)，则后一日=1.当Xo=2时，y0=3,此时1=1，=；，%=5，所以2a+%=江;当/#2,kA=ian囚=Cr，AMF=3n%=.+i-2所以tan2=因为巾=3(君-1),2(%+1)%2(xt1+1)%一%(%+1)2-云(XO+if-3(H-I)%-2又由点M在第一象限，易知名c(0，m),%c(01),所以羽+a2=.综上，加+%的值为解题思路：利用点在双曲线上，满足片-=1,利用整体代换思想求出tan2和tan4相反.22例3：(2023安徽安庆市高

5、三一模(理)已知椭圆。:二+与=1(bO),过矿b-椭圆左焦点尸的直线x-4G)，+6=0与椭圆。在第一象限交于点M三角形物U的面积为3.4(1)求椭圆。的标准方程；(2)过点材作直线/垂直于X轴，直线始、.监交椭圆分别于46两点，且两直线关于直线,对称，求证：直线48的斜率为定值.【答案】(1)?+/=1；(2)证明见解析.【详解】(I)直线X4JJy+6=0过左焦点产，所以网6,0),c=3又由SAOMF=gGyw=/可知加=；从而椭圆经过点M(6，；：由椭圆定义知2=g+J12+；=4,即=2故椭圆的方程为C:工+V=1.4-(2)由条件知，直线M4、3斜率存在，且两直线斜率互为相反数，

6、设直线MA:yg=MX交椭圆于点A(X,yj,直线k；=-MX-句交椭圆于点8(孙必)，从而有，尺=空2与4g,14F+13(4Z:12+4-312F一4限-3一8限一23(4A:2+1)3(4j12+1)即证直线AB的斜率为定值，且为立.解题思路：将直线加4：=与椭圆方程联立求出交点AMk1品一3,f16k+3的坐标,再将A中的左用-攵替换，即可求出3(4A:2+1)6(4&2+1)28点坐标,，再利用斜率公式，化简，即可.例4.(2023河南高三月考(理)已知点A(-2,0),6(2,0),动点Say)满足直线AS与BS的斜率之积为-g,记动点S的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程，并说明

7、曲线C是什么样的曲线；(2)设M,N是曲线C上的两个动点，直线AM与NB交于点P,NMAN=90。.求证：点户在定直线上；求证：直线NB与直线血的斜率之积为定值.+1)3(4F+1)2缶“12公-4限一3-43F-6A:1故A(7=；，5=：+-3(4F+1)3(4A:2+1)2同理可得W4b1242+4&3-4辰+6k3(42+1)3(4Z:2+1)-4k2+6k1,Y辰一6k1,6(4r+1)23(4F+1)212AG【答案】(1)+Z=i(2),曲线C为中心在坐标原点，焦点在X轴上的椭圆，不含4,B两点；(2)证明见解析；证明见解析.【详解】(1)解：由题意，得上;一；=-3(xh2),

8、x+2x-2422化简，得3+q=1(x2),所以曲线C为中心在坐标原点，焦点在X轴上的椭圆，不含A,8两点.(2)证明：由题设知，直线M,NB的斜率存在且均不为0.设直线AM的方程为x=-2(r0),由4M1AN,可知直线NA的斜率为1=T，方程为x127,得(4+3)y2+i2)=0,32+4=12,12/(12/解得=“+3,则”7匕2)%0直线NB的斜率为=3=1,o-o4/4232则直线BN的方程为y=(x-2),将y=:4/4故点尸在直线x=T4上.33由(1),得仁“攵而=-“fcMkMB=所以褊=(一?)X=C6-8r2hJ6-8产12r14r2+3(4厂+34广+3,NX-2

9、)代入”=)-2,解得X=T4,t9结合“a%ma=T，得&mb山稻=-%为定值.即直线NB与直线MB的斜率之积为Io定值.解题思路：设直线AM的方程，由AM1AN,可得直线AN方程，与椭圆联立可求点N坐标，进而可求得直线BN方程，与AM联立即可得证点P在定直线33220+乐=1（460）的离心；由（I）得心晨心8=一W，%仍=一又AM1AN,进而可得直线NB与直线Affi的斜率之积.例5、（2023江苏南通市高三期末）已知椭圆C：率为且过点p）.（1）求椭圆。的方程；3（2）已知A,8是椭圆C上的两点，且直线。4,06的斜率之积为-丁，点M4为线段QA的中点，连接加并延长交椭圆。于点N,求证

10、：N1为定值.【答案】（1）+=1；（2）433【详解】（1）因为椭圆的离心率为;，且过点尸（Iq）9所以=_1_1+W=，又。2=+2,解得/=44=3,a21a2b2所以椭圆C的方程为二+f=1；43(2)设A(X,凶),8(生必)，N(A,%),因为点M为线段OA的中点，所以M修出-UUVUUU因为AMN三点共线，所以BN=；IBM，所以XJ=万内+(1-)x2,y3=-y1+(1-)y2,22工+江=143又因为46点在椭圆上，所以*，43又因为直线Q4,06的斜率之积为-1,4所以3%+4弘%=，因为点A在椭圆上，所以今+与=1,即(3+4y12)+(1-)2(322+4)+(1-)

11、(6x1x2+8y1y2)=12,;28所以亍+(1_Z1y=I,解得a所以=,则BM卜IWNI,QOM.dBj所以OMB_2一48_BM=5为定值.AMNQAMdNNMNI3为定值解题思路：设Aa方),3(电,月)，以七,%)，根据M为线段OA的中点和其机N三点共线，由=4跪，表示点”的坐标，再根据4B,“在椭圆上，结合直线OA,08的斜率之积为-g,求得X,从而得到BM1与IMN1的比值，然后由%二虫二生=幽例6、（2023山东泰安市高三期末）已知椭圆C:A5=1(0)的左顶点为A（-2,0）,点卜,|）在椭圆C上.（1）求椭圆。的方程;（2）过隔圆C的右焦点/作斜率为A（AO）的直线/,

12、交椭圆C于M,N两点，直线AM,AN分别与直线冗=幺交于点P,Q,则尸PFQ是否为定值？请说明c理由.尤2-9【答案】（1）+=1；（2）是定值，434【详解】1Q（1）回。=2,点卜1在椭圆。上，0-+7=1,0Zj2=3团椭圆C的方程为：-=1439（2）是定值一“理由如下:设M（%,y）,N（W,必），直线/的方程为丫“（xf伏0）,y=Z(1)由，2y2,整理得卜产+3卜2-85%+4/-12二0,T+T8242+342-124公+3设P（3,力），。（3,为），则热X1+201a=小心x1+2X1+2同理可得用;5%（九：1）,0FP=15畸1）、玉+25k(x1-1)FQ=2,-I

13、-JFPFQ=4+乎三胆理=4+25/”()+1(X+2)(/+2)x1x2+2x1x2)+4=4+25/4r-12Sk214r+34产+3二4F-126k24/+34/+39“Q为定值一解题思路：设直线/的方程，与椭圆方程联立，设P（3,小），。（3,为），由三点共线可得力，”,结合韦达定理坐标表示尸尸A2可得.3、求某一个量为定值例7、（2023江苏盐城市伍佑中学高三期末）已知椭圆C:二+*=1Qb0）离ab2心率为点48,D,E分别是C的左，右，上，下顶点，且四边形ADBE的面积为66.（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知F是C的右焦点，过F的直线交椭圆C于P,Q两点，记直线4尸，BQ的交点为,求证：点7横坐标为定值.工2V2Q【答案】（1）+-=1;（2）7横坐标为定值不，证明见解析.952【详解】（1）设椭圆C的半焦距长为c,根据题意。=3解得8=石,c=2C2一=一a3g2。2A=66,922C-=Q-b-故C的标准方程为+=95(2)由知A(-3,0),8(3,0),F(2,0),设TaO,Pa,凶),Q(W,%)，kTB=kOB=-X,(2)TBQBX0-3x2-3,W两式相除得|=壬-?，又