泰勒公式的展开及其应用论文-周波.docx

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1、本科毕业论文（设计）Tay1or公式的展开及其应用学院：数学与统计学院专业：数学与应用数学班级：应数121班学号：1207010258学生姓名：周波指导教师：吴奎霖老师2016年06月10日行研究所完成。毕业论文（设计）中凡引用他人已经发表或未发表的成果、数据、观点等，均已明确注明出处。特此声明。论文（设计）作者签名：H期：摘要IABSTRACTIi前言II第一章、预备知识11.1TAY10R公式112不常见的TAY1oR余项41. 3TAY10R公式展开的唯一性51.4常见函数的展开式61. 5常见展开式的拓展6第二章、TAY1OR公式在数学分析上的应用81.1 利用TAY1OR公式求极限8

2、2. 2利用TAY1OR公式作导数的中值估计92.3利用TAY1OR公式求极值102. 4利用TAY1OR公式求曲线的渐近方程112. 5利用TAY1OR公式证明不等式14第三章、在数学计算方面的应用173. 1利用TAY1OR公式求近似值174. 2TAY1OR公式导出牛顿迭代法和欧拉法195. 3判定迭代法的收敛速度19第四章、在复变函数中的应用226. 1复变函数的1AURENT展开227. 2积分的计算224.3TAY1OR公式判断正项级数的敛散性24结束语26参考文献27致谢28Tay1or公式的展开及其应用摘要JamesGray在1671年已经发现了Tay1or公式的特例，不过当时

3、并未明确提出，在41年后著名的英国数学家BrookTay1or在他的一封信里首次公诉了这个公式,并计算出了这个多项式和真实的函数值之间的误差,Tay1or公式也由此而得名.在1797年之前1agrange最先提出了带有余项的现在形式的Tay1or定理.伴随着科技的发展,越来越多的计算需要进行近似化或模拟化，合理的运用Tay1or公式可以大大的减小这其中所产生的误差。本文主要通过引入数学分析中的知识点TayIor展开的思想,采取举例分析的方法，对Tay1Or公式展开的特性及高等数学各个方面的应用进行了分析讨论（利用Tay1or公式求极限、计算近似值、证明不等式、求曲线的渐近线方程、计算留数、判断

4、级数的收敛和发散性、作导数的中值估计、计算极值）关键词：TayIOr公式；极限；近似值；不等式；渐近线AbstractJamesGrayhadfoundthespecia1caseofTay1orFormu1ain1671,buthedidn,tc1ear1yputitforward.Forty-oneyears1ater,famousBritishMathematicianBrookTay1ormadeitknowntothepub1icina1etterandfigureouttherandomerrorbetweenthepo1ynomia1anditsrea1functiona1va1

5、ue,fromwhichTay1orFormu1agotitsname.Before1979,1agrangeistheear1iestpersontoputforwardthepresentformofTay1orTheoremwithremainder.Withthescientificandtechno1ogica1deve1opment,moreandmoreca1cu1ationsneedtobeapproximatedandsimu1ated,whichcauses1argererrors,butthereasonab1euseofTay1orFormu1acangreat1yim

6、proveit.Withi11ustrations,thispaperana1yzesanddiscussesthefeaturesofexpandedTay1orFormu1aandapp1icationsindifferentareasinadvancedmathematicsbyintroducingexpandedthoughtknow1edgeinmathematica1ana1ysis.(UsingTay1orFormu1atoseekthe1imit,computeapproximateva1ue,provein-equation,findcurveasymptoticequat

7、ions,computeresidue,estimateconvergenceanddivergenceofseries,eva1uatederivativemedianandcomputeextremeva1ue.)Keywords:Tay1orFormu1a;the1imit;approximateva1ue;in-equation;curveasymptotic1ine早期自然科学家们进行科学研究计算时，为了简化问题，总是将问题近似地的看作线性问题进行讨论研究。直至TayIOr展开思想的提出：利用n次多项式来逼近函数f,而多项式具有形式简单，易于计算等优点。我们已经知道，在函数的运算中，

8、多项式函数只用到加、减、乘三种简单的运算，把一个复杂的函数近似地用多项式表示出来，并能使误差达到预期的要求。这大大降低了理论研究的误差，另外在高等数学方面，Tay1or公式可以将给定函数用多项式和表示出来，这种化繁琐为简单的作用使得Tay1or公式成为高等数学的核心内容之一。本文将在前人的理论基础上进行应用探讨，所涉及的内容不仅有经常用到的还有一部分是我们不常见的Tay1or公式的应用，本文最大的特点是让Tay1or公式零散的应用系统化，进而加深大家对Tay1or公式的认识和理解。第一章、预备知识1. Uay1or公式用多项式近似地表达一个给定函数的问题，不仅从计算的观点看是很必要的，而且从理

9、论分析的角度看也是很有意义的，一般的函数不好处理，就常常用容易处理的简单函数近似地代替它，因此这种简单函数再过渡到原来的函数，这就是TayIor公式的基本思想.TayIOr的定义：已知f(x)在x0处可微，那么在x()附近存在fW=/()+f0o)(%-)+o(x-x0),从上述公式可得知，在=&附近用一次多项式/(%o)+f(XO)(X-XO)作近似值取代/(%)时，其误差为-%的高阶无穷小量，这时/(%o)+(%o)0-%o)的精确度对于X%0来说只达到了一阶，为了提高精确度，必须考虑使用更高次数的多项式作逼近.若函数/(%)在&处九阶可导时，有如下更精确的计算公式.定理1.1.1111(

10、Peano余项的Tay1or公式)：若函数/(%)在/存在九阶导数，则存在出的一个邻域，对于该邻域中的任一点.成立fM=/()+,()(-)J9：0%-o)2+等Q-Xo)n+o(一沏产)上诉公式称为f(x)在X=%)处的带Peano余项的Tay1or公式，它的前几+1项组成,的多项式PnM=/()+z()(x-Xo)+(-)2+-JnMf、n+(%-o)n,称为/(%)的九次Tay1or多项式，余项1(x)=O(X-Xo)n)称为Peano的余项.证因为G(X)=fM-b0竿(X-0)k,所以只需证明G(X)=O(X-Xo)n),又因为7()=()=,()=/T)(%)=0，反复应用UHos

11、pitaI法则，则有:1 .。1.%G)1.WIimr-=Iim-rr=Iim-r-0(xx0)n0n(x-X0)MTXon(n-1)(xx0)=Hm7、xxqn(n1).2(%x0)-(x)-/(n)(x0)(x-)=-Iimn0x-x0=2f(n)(%o)cn)=0，因此rn(x)=o(x-x0)n)口当Xo=O时，(1)式转化为/(%)=/(O)+萼X+粤2+萼Xn+OQn),我们将此式子称为(带有Peano余项的)Mac1aurin公式.接下来将要介绍的关于1agrange型的余项表达式，与之前所提到的带Peano余项的TayIOr展开式相比较在作近似估计、求不等式的极限的时候同样的便

12、利，不仅如此拉格朗日的型余项还克服了PeanO余项只给出了余项的阶的估计式，而没有给出余项与函数/(%)的关系这一缺点.当然拉格朗日型的余项表达式的成立条件，也伴之需要增加：“函数有n+1阶导数，则可展开成为余项为1agrange型的n次多项式”.定理1I.2(带1agrange余项的Tay1or公式):若函数f(x)在,b内为存在九阶的连续导数，且在其上有九+1导数，则在其上一定点，对于任意,b,成立.fW=/()+,()(x-Xo)+(x-Xo)2+(x-x0)nf(n+1)(Q(n+1)!(-X0)n+1(2)其中在X与%o之间,称上式为f(%)在=%。处带1agrange余项的Tay1

13、or公式，其中/(n+)Q)(n1)!(x-%0)n+为1agrange余项.证使用辅助函数，令G(t)=/(x)一2J)甯W,H(t)=(x-t)n+1则只需要证明G(%o)=4M()设%0V%,则有G(C)和H(C)在%0,出上连续，在(%,%)上可导，且上式可看出)在(%o,%)上不等于零，因为GO)=(%)=0,由CaUChy中值定理可得GaO)=Ga)-G(XO)=G)=*+】)()H(XO)W(X)-H(X0)“()5+1)!其中(X)因此GGO)=(XO)(当%0时证明类同)ITI+1J!第4页当&=O时，(2)式转化为f(%)=/(O)+萼+萼/+.+笨n+GQ),我们将此式为

14、(带有1agrange余项的)Mac1aurin公式.当n=0时(2)式转化为/(%)=/(Xo)+f(XO)(X-Xo)1agrange中值定理，因此1agrange余项的Tay1or公式可以看成是1agrange中值定理的推广.1.2 部分TayIOr余项整理本小节部分公式引自参考文献1.2.1 积分余项(-1)nCxrnM=nJ(tx)Vn+1(t)dt1.2.2 柯西(Cauchy)余项对1agrange余7(%)=(%-Xo)九十1进行变换，若把f6+i)0)(久-&)看作一个函数，使用积分第一中值定理进行计算，则有：f(n+1)()(%一%o)nW)=-1(%-%o)=f(n+1)

15、(.(I。)”。.)+】其中e(0n!1.2.3 施勒米尔希罗什(SchIomiIch-Roche)余项W=产)(a+WX-)QT)-P()M,np其中8(0,1),P任意实数，且当P=+1时对应1agrange余项P=1时对应柯西余项.1.3 Tay1or公式展开的唯一性定理231叫唯一性）:若/(%)=0+1(x-x0)+&(%-%o)2+an(x-x0)n+Rr1(X)=坛+b1(x-x0)+62(%-%o)2+bn(x-x0)n+RnM,则%=bi,i=0,1,2.,n.证明设f)有连续的九阶导数，/0)在=出处有展开式：/W=0+1(x-X0)+%(%-)2+Qna-)n+Rn(X)，(1)余项满足Rn(%