利用柯西不等式求最值例.docx
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1、类型一:利用柯西不等式求最值例1求函数的最大值解:且,函数的定义域为,且,y=5XJx-1+2XJs?-亍,+(J5-Xy=63即时函数取最大值,最大值为法二:且,函数的定义域为/-51一5配右代斤工由2x-1yfi-2x2x-T-2x,得即,解得时函数取最大值,最大值为.当函数解析式中含有根号时常利用柯西不等式求解【变式1】设且,求的最大值及最小值。利用柯西不等式得,故最大值为10,最小值为-10【变式2】己知,求的最值.法一:由柯西不等式(2x+y)3()a+(2y/3a于是的最大值为,最小值为.法二:由柯西不等式于是的最大值为,最小值为.【变式3】设2x+3y+5z=29,求函数的最大值
2、.根据柯西不等式340=(1+1+1)(2x+1)+(3y+4)+(5z+0(172x+1+13j+4+15z+6)3故。当且仅当2x+1=3y+4=5z+6,即时等号成立,此时,变式4:设M=(1,0,-2),b=(x,y,z),X2+y2+Z2=16,则Mb的最大值为【解】*.*M=(1,0,-2),b=(x,y,z)/.a.b=-2z由柯西不等式“2+o+(_2)2(x2+y2+z2)(x+0-2z)2=516(x-2z)2z=-45X4y5=-45a.b45,故.5的最大值为4括:变式5:设X,y,zR,若2+y2+z2=4,则x-2y+2z之最小值为时,(x,y,z)=解(X-2y+
3、2z)2(x2+y2+z2)12+(-2)2+22=4.9=36/.X2y+2z最小值为-6,公式法求(x,y,z)此时xyz-6-2-24-41-2222+(-2)2+223333变式6:设X,y,zr,若2x3y+z=3,则/+(y1尸+z?之最小值为,又此时y=o解析:Y+(y-1)2+z2偿2+(-3)2+12(2x-3y+3+z)2x2+(y-1)2+z2-141Q最小值匕7,2x-3y+z=3,:.2(2f)-3(-3r+1)+r=3274916变式7:设a,b,C均为正数且a+b+c=9,则一+之最小值为abc解:(yU+=yhH-J=yfc)(11)(a+b+C)JaZ?cab
4、c916八204916819(2+3+4)2=81=-+-+-=9bcabc9123变式8:设a,b,c均为正数,且。+3+3c=2,则一+巳之最小值为abc解:(右)2+(扬尸+(病)2Kj1)2+(J)2+(J)2q+2+3)2123*.(I1)18,最小值为18abc变式9:设X,y,ZWR且+()+2+03)=,求+y+z之最大、小值:1654解】.喑+空+/=1由机西不等式知42+(5)2+22(2)2+(陛2)2+(三)2+124.(!-)+5.()+2=251(x+y+z-2)2=5x+y+z-2=-5x+y+z-25.,.-3x+y+z7故X+y+z之最大值为7,最小值为-3类
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