1819 25 直线与圆锥曲线.docx
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1、2.5直线与圆锥曲线学习目标:1.通过类比直线与圆的位置关系,学会判断直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系.(重点)2.会求直线与圆锥曲线相交所得弦的长,以及直线与圆锥曲线的综合问题.(重点、难点)自主预习探新知1 .直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线联立,消元得方程加十区+c=0.方程特征交点个数位置关系直线与椭圆a0fJ02相交a0fJ=O1相切oW0,/VO0相离直线与双曲线a=01直线与双曲线的渐近线平行且两者相交a0fJ02相交Q0,J=O1相切a0fJ02相交a0f4=01相切a0,/V00相离思考:直线与抛物线、双曲线只有一个公共点时,是否一定相切?提示不一定,当直线与双曲线
2、的渐近线平行或与抛物线的对称轴平行时,直线与双曲线、抛物线只有一个公共点,但此时直线与双曲线、抛物线相交.2 .弦长公式当直线与圆锥曲线相交时,往往涉及弦的长度,可利用弦长公式表示弦长,从而研究相关的问题,弦长公式为:若直线/的斜率为此与圆锥曲线。交于A(x1,),B(X2,”)两点,则IAB1=W+F,2=(1+2)(xi+x2)2-4X2=j1+pbj-y2=y+(3jy2)2-4yy2.基础自测1 .思考辨析平面上到定点A(1o)和到定直线x+2y+3=0的距离相等的点的轨迹为抛物线.()(2)一条直线与双曲线的两支交点个数最多为2条.()(3)抛物线与直线只有一个公共点是直线与抛物线相
3、切的充要条件.()提示(1)(2)(3)必要不充分条件.2 .若直线y=kx+1与椭圆弓+=1总有公共点,则m的取值范围是()A.mB.或OVmV1C.0VzV5且m1D.用21且m5D直线y=Ax+1恒过定点(0),当(0,1)在椭圆上或椭圆内时直线与椭圆总有公共点.9?2.ym1,解得机21.当7=5时表示圆.故选D.3.若直线X=。与双曲线y2=1有两个交点,则。的值可以是()A.4B.2C.1D.-2X2CA因为在双曲线了一y2=1中,x22或Xw2,所以若x=a与双曲线有两个交点,则2或V-2,故只有A符合题意.合作探究攻重难W直线与圆锥曲线的位置关系探究问题1直线与圆锥曲线相交时,
4、能用两点间距离公式求弦长吗?提示可以.当直线与圆锥曲线相交,两交点坐标好求时,可先求出两交点坐标,用两点间距离公式求弦长;当两交点坐标不便求出时,最好不用此法.例直线y=mr+1与椭圆f+4y2=1有且只有一个交点,求病的值.思路探究联立方程组,消元后利用判别式求解.y=mx+1,解1由2一21消去y整理得+4=1,(4w2+1)x2+8x+3=0,由J=64n2-12(4w2+1)=0,3得加2=不母题探究:1.(改变问法)典例中若直线与椭圆相交,弦的中点的轨迹方程是什么?解设直线与椭圆交点为A(X,),B(x2t沏,AB的中点坐标为Ma,y)9y=mx+1,由21消去y整理得Ix2+4/=
5、1(4w2+1)x2+8mr+3=0,.X+X2-2x-8机即X=-4位4n2+1,4n2+1824/1y-ry2-2y-4/n2+12,y44+14m2+1*由得=-4加,y又点(x,y)在直线y=wx+1上,V1所以ZM=:,由得2+4-4y=0,所以弦中点的轨迹方程为A2+%?-4y=0.2.(改变问法)典例中若直线与椭圆相交于A,B两点,求弦HB1的长.解I设4(x,y),B(x2fy2)ty=mx+1,卜+4尸消去整理得(4w2+1)2+8wx+3=0,J=16tm2-120,解得机V或加方-,QQ由根与系数的关系得为+2=-y1,2=-,4川+14厂+1.,.AB=y(xx2)2+
6、(y1-yif=(1+2)(xi+%2)2-4X1X2J(i+4(Ft.=遍亘皑三斗_近或心叫4w2+1Iw2或加2J规律方法直线与圆锥曲线位置关系的判断方法提醒:过椭圆内一点的直线均与椭圆相交.1W2禄f獭及嗝丽题例目椭圆加+by2=1与直线x+y-1=O相交于A,B两点,C是AB的中点,若A8=2OC的斜率为坐求椭圆的方程.【导学号:33242204思路探究本题有两种解法.一是利用设点、代入、作差,借助斜率解题的方法,可称为“点差法”.二是利用圆锥曲线弦长的基本求法,先利用两点间距离公式求出含m匕的关系式,再借助弦所在直线的斜率求解.解法一:设Aa1,y),8(x2f”),代入椭圆方程并作
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