1819 4 41 平面向量的坐标表示 42 平面向量线性运算的坐标表示 43 向量平行的坐标表示.docx

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1、4平面向量的坐标4.1 平面向量的坐标表示4.2 平面向量线性运算的坐标表示4.3 向量平行的坐标表示学习目标：1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.(重点)2.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.(重点)3.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.(重点)自主预习探新知I1.平面向量的坐标表示如图24-1所示，在平面直角坐标系Xoy中，分别取与X轴，y轴方向相同的两个单位向量i,1作为基底,对于平面上的向量由平面向量基本定理可知有且只有一对有序实数Cr,y),使得=红土立.我们把有序实数对称为向量。的(直角)坐标，记作=(x,y).图2-4-1思考1：相等向量的坐标相同吗？相等向量的起

2、点、终点的坐标一定相同吗？提示：由向量坐标的定义知：相等向量的坐标一定相同，但是相等向量的起点、终点的坐标可以不同.2.平面向量的坐标运算及向量平行的坐标表示(1)平面向量的坐标运算已知=(x,y),b=(x2,”)和实数2,那么：(i)+b=(x,y1)+(x2,v2)=(x+x2,y+v2);(ii)a-b=(x,y)-(X2,v2)=Cr1-12，w总)；(iii)z=x,y1)=Uri,6).已知A(xfy)fB(x2,*),0(0,0),贝IJAB=O8。A=(R2,*)-(x,y)=(x2-xfV2y),即一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标.(2)向量平行的坐标表示设

3、=(x,y),b=(x2f”)，若。b,则X1y2X2y=0.若VWo且#0,则上式可变形为七比.文字语言描述向量平行的坐标表示(i)定理若两个向量(与坐标轴不平行)平行，则它们相应的坐标成比例.(ii)定理若两个向量相对应的坐标成比例,则它们平行.思考2：如果两个非零向量共线，你能通过其坐标判断它们是同向还是反向吗？提示：能.将写成痴的形式，当Z0时，与Q同向，当/IvO时，b与a反向.基础自测1 .判断(正确的打“，”，错误的打“X”)(1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同.()(2)向量的坐标就是向量终点的坐标.()(3)设a=(x,y)fb=(x2f”)，贝IJa0X1y

4、2=x2y1.()(4)向量=(1,2)与)=(一3,6)共线且同向.()答案(1)(2)(3)(4)2 .若A(2,-1),8(1,3),则赢的坐标是()A.(1,2)B.(-1,-2)C.(3,4)D.(3,4)C3.若向量=(2,3),力=(-1,2),则。一的坐标为()A.(1,5)B.(1,1)C.(3,1)D.(3,5)C4.已知向量q=(2,-3),b=(3,乃，5.abf则丸=.IxatH平面向量的坐标表示J已知边长为2的正三角形ABG顶点A在坐标原点，AB边在X轴上,C在第一象限，。为AC的中点，分别求向量赢，AC,BC,而的坐标.【导学号:64012120解如图，正三角形A

5、BC的边长为2,则顶点A(0,0),3(2,0),C(2cos60,2sin60),.C(1,3),明，赢=(2,0),C=(1,3),BC=(1-2,3-0)=(-1,3).砺=供2,-)=(-,啜规律方法(1)向量的坐标等于终点的坐标减去起点的相应坐标，只有当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标才等于终点的坐标.(2)求向量的坐标一般转化为求点的坐标，解题时常常结合几何图形，利用三角函数的定义和性质进行计算.跟踪训练1.若已知A(1,2),B(0,-1),C(3,k).求赢；1-右已知刃片一33=(加，-2),试求匕m.解(1)VA(1,2),B(0,-1),B=(-1,-3).(2)VA-

6、C=(-1,-3)-(3,4+1)-2c1,5-27-2,I*B2向量平行的坐标表示例国已知=(1,2),=(3,2),当为何值时，ka+b与a3b平行?平行时它们是同向还是反向？思路探究I由。，方的坐标f求十瓦。-3万坐标T由向量共线的条件列方程组IT求%的值II判断方向解I法一：此r+0=%(1,2)+(3,2)=(女-3,22+2),。-36=(1,2)3(3,2)=(W,-4),当hr+b与Q35平行时，存在唯一实数人,使ka+b=(a-3b).由也一3,24+2)=410,-4).当A=-g时，k+b与。-3平行，这时2+b=-；a+b=一；(-3b),A=；),，当=一；时，k+b

7、与-3b平行，并且反向.规律方法向量平行的坐标表达式与向量共线定理是对一个问题从数和形两个角度的描述，是有机结合的一个整体，学习时注意对照体会，选择应用.跟踪训练2.已知=(1,0),力=(2).(1)当Z为何值时，一与+2b共线？(2)若赢=2+34/=+力且A,B,C三点共线，求机的值.【导学号：64012121)解(1)版一8=Z(1,0)(2)=也-2,-1),+2=(1,0)+2(2,1)=(5,2).*.,kab与+2A共线，2(Ar-2)-(-1)5=0,即2R4+5=0,得A=-g(2)VA,B,C三点共线，：.AB=XBCf2R,即20+36=2(+，沛)，2=f3.*.解得

8、AH=T3=加I,29t9t向量坐标的综合应用探究问题1 .平面向量的坐标与哪些因素有关？提示：平面向量的坐标与该向量的始点、终点的坐标都有关，只有始点在原点时，向量的坐标才与终点的坐标相等.2 .向量的坐标与点的坐标有何区别？提示：符号(冗，y)在平面直角坐标系中具有了双重意义，它可以表示一个点，又可以表示一个向量，为加以区分，常说点P(X,y)或者向量Q=(x,y),注意前者没有等号，后者有等号.3 .向量共线的条件如何应用？提示：遇到与共线有关的问题时，我们要根据需要，合理地选择向量共线的条件来进行问题的转化，如果遇上了坐标表示，一般选用XIy2一及P=0,而不选白课马看用XI=&2,V

9、=肛2与=、(因为后者有b0,需要讨论).例目已知点A(2,3),3(5,4),C(7,10).若崩=A+Z1R),试求/1为何值时，(1)点尸在一、三象限角平分线上；(2)点P在第三象限内.I思路探究先求AP,ABtAC坐标后利用条件表示尸点坐标，再根据问题可求.解设点P的坐标为0,y),则AP=(x,y)(2,3)=(-2,y3),嬴=(5,4)-(2,3)=(31)，AC=(7,10)-(2,3)=(5,7).+C=(3,1)+(5,7)=(3+52,1+7A).VAP=A+14C,X2=3+52,fx=5+52,V-3=1+72.=4+72.(1)若P在第一、三象限角平分线上，则5+5

10、7=4+7/1,u=2,5+5z0,(2)若在第三象限内，则。1力C14+710,=总+筋”,试求当，为何值时，P在X轴上、P在y轴上、尸在第三象限？【导学号：64012122解由办=5+凝=(1+3r,2+3r),则P(1+3r,2+3r).2若P在X轴上，则2+31=0,所以/=一1;若P在y轴上，则1+3f=0,所以/=-/1+3f0,2若P在第三象限，则彳所以一不12+3r0,32 .将例3的条件变为(母题探究1)的条件，试求四边形。ABP是否能成为平行四边形？若能，则求出，的值；若不能，说明理由.I解因为5=(1,2),=(3-3r,3-3r),若O48尸是平行四边形，则八=故四边形

11、OABP不可能是平行四边形.I规律方法向量坐标运算的方法：(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行.(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算.(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.当堂达标固双基131 .已知平面向量Q=(1,1),b=(1,1),则向量呼一于等于()A.(12,-1)B.(-2,1)C.(一1,0)D.(-1,2)1 313D呼一/=2(1,1)一2(1,-1)=(-1,2).2.已知向量。=(1)，b=2,x+2),若a,方共线，则实数X的值为()A.-1B.2C.1或一2D.-1或2D由题意

12、知，1(x+2)-21=0,即X2X2=0,解得工=-1或x=2.m=2fn=5.3 .已知向量a=(2f3),b=(1,2),p=(9,4),若p=ma+nb9则tn+n=I解析2n+n=91由.-3m+2n=4t答案74 .已知点A(1,3),8(4,1),则与向量靠同方向的单位向量为解析.AB=0B-0A=(4f-1)-(1,3)=(3,-4),-,工与赢同方向的单位向量为纯=f,7).IABI)答案修却5 .已知点A(1,-3),3(1,1),直线48与直线x+y5=0交于点C,求点C的坐标.【导学号：64012123解设点C(招y).VA.B、。三点共线，.AC=AB=(2,4)=(2f4).(x+1,y+3)=(2,42),x=2-fJ=42-3,.C(2A1,423).把点。(221,423)代入工+)，-5=0得C(2,3).