第七讲 函数之周期性与对称性.docx

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1、函数之函数的周期性与对称性函数的周期性与对称性一.定义：假设T为非零常数，对于定义域内的任一X,使/(x+T)=/(X)恒成立那么Fj)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。二.重要结论1、/(X)=/(x+G),那么y=()是以T=为周期的周期函数；2、 假设函数y=f(x)f(x+a)=-f(x)00,那么f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。3、 假设函数f(x+a)=(x-),那么/(x)是以T=2为周期的周期函数4、 y=f(x)满足f(x+a)=-1(a0),那么f3为周期函数且2a是它的一个周期。F(X)5、假设函数满足F七六一一、(a0),那么f(x)为周期函数且2a是它的

2、一个周期。fx)6、/(+)=1zc,那么/(x)是以7=2为周期的周期函数.1+f()7、f(x+a)=-X),那么/(x)是以T=4为周期的周期函数.1+/U)8、 假设函数y=7万满足Fa七片1+(R,a0),那么为周期函数且4a是它的一个周期。1-f()9、 假设函数尸的图像关于直线产都对称，那么/7为周期函数且2(b-a)是它的一个周期。10、函数y=f(x)(xR)的图象关于两点A(a,%)、矶AyO)(VVb)都对称,那么函数f(x)是以2(。)为周期的周期函数；11、函数y=(x)(xR)的图象关于A(a,%)和直线x=b(0),那么FG)为周期函数,6a是它的一个周期。T15

3、、假设奇函数y=f满足+T7=T方(xR,T0),那么/一片0.2三、两个函数的图象对称性1、 y=)与y=-()关于X轴对称。换种说法：y=/(x)与y=g(x)假设满足f(x)=-g(x),即它们关于y=0对称。2、 丁=/O)与V=八一工)关于轴对称。换种说法：y=f(x)与y=g(x)假设满足/(x)=g(-x),即它们关于X=O对称。3、 y=f(x)与y=f(2-x)关于直线x=对称。换种说法：y=f(x)与y=g(x)假设满足/(x)=g(f1a一x),即它们关于X=对称。4、 y=/(4)与y=2。一/(x)关于直线y=a对称。换种说法：y=f(x)与y=g(x)假设满足f(x

4、)+g(x)=2a,即它们关于y=对称。5、 y=f(X)与y=2b-f(2a一)关于点(a,b)对称。换种说法：y=/。)与y=g(x)假设满足/(x)+g(2-劝=3,即它们关于点(a,b)对称。6、 y=/(。一%)与y=(-b)关于直线X=对称。7、 函数的轴对称：定理1：如果函数y=(x)满足/(+x)=/伍一X),那么函数y=()的图象关于直线X=上对称.2推论1：如果函数y=(x)满足/(+X)=/(-x),那么函数y=f(x)的图象关于直线x=对称.推论2：如果函数y=(x)满足/(x)=(-x),那么函数y=(x)的图象关于直线X=OIy轴)对称.特别地，推论2就是偶函数的定

5、义和性质.它是上述定理1的简化.8、 函数的点对称：定理2：如果函数y=(x)满足/(+x)+(-x)=2b,那么函数y=/(x)的图象关于点(。对称.推论3：如果函数y=(x)满足/(+x)+(-X)=O,那么函数y=/(x)的图象关于点(。,0)对称.推论4：如果函数y=()满足/()+f(-)=0,那么函数y=()的图象关于原点(0,0)对称.特别地，推论4就是奇函数的定义和性质.它是上述定理2的简化.经典试题：知识梳理对于函数/(X),存在非O常数T,使得对于其定义域内总有/G+)=/(X),那么称的常数T为函数的周期.1周期函数的定义：对于函数/(X),存在非O常数T,使得对于其定义

6、域内总有/(x+7j=/(X),那么称的常数为函数的周期.2.周期函数的性质：/(x+T)=f(x)n(x)的周期为；/(X+4)=/(x)=/(X)的周期为；如/(x+)=J、=f(x)的周期为/U)F(%+)=一TK=/()的周期为f(X+。)=1一7(幻1+Wnf()的周期为丹4)=与兽nx)的周期为；1一/(町f(x+a)=f(x+b)/(%)的周期为_；如果奇函数y=(x)满足。+冗)=/(。一幻=/(力的周期为如果偶函数y=(x)满足。+冗)=/(。一X)=/(x)的周期为二、经典例题例1、(安徽卷)函数“X)对于任意实数X满足条件/(x+2)=-y,假设1)=一5,那么八)/(/

7、(5)=-例2、函数y=(x)是定义在R上的周期函数，周期7=5,函数y=f(x)(-1x1)是奇函数,又知y=f(x)在0,1上是一次函数，在1,4上是二次函数，且在x=2时函数取得最小值5证明：/(1)+(4)=0;求y=/(),X1,4的解析式例3、设函数/(x)(xeR)是以3为周期的奇函数，且/(1)1,(2)=,那么()A.a2B.a1D.t-1例4、(2019山东)定义在R上的奇函数F(*)满足均=-F(x),那么，F(6)的值为()A.-1B.0C.1D.2例5、函数F(X)是定义域为R的偶函数，又是以2为周期的周期函数.假设f(x)在上是减函数，那么FJ)在2,3上是()A.

8、增函数B.减函数C.先增后减的函数D.先减后增的函数例6、定义在R上的函数/(x)是偶函数，对xR都有了(2+x)=f(2-x),当f(-3)=-2时，/(2007)的值为()A.2B.4C.-2D.-4例7、定义在R上的函数f(x)既是奇函数，又是周期函数，T是它的一个正周期.假设将方程F(X)=O在闭区间一丁,7上的根的个数记为，那么可能为()5)=2、函数y=(%)是一个以4为最小正周期的奇函数，那么/(2)=()A.OB.-4C.4D.不能确定3、设/(x)是(-8,+oo)上的奇函数，f(x+2)=-(x),当Ox1时,/(x)=x,那么/(47.5)等于4、定义在R上的函数/(x)

9、是以2为周期的奇函数，那么方程/(x)=0在-2,2上至少有个实数根5、/*)是偶函数/(1)=993,g(x)=(x-1)是奇函数，求/(2005)的值6、定义在R上的函数F(X)是奇函数又是以2为周期的周期函数，那么f(1)+F(4)+f(7)等于()A.-1B.0C.1D.47、F(X)是定义在R上的以3为周期的偶函数，且F(2)=0,那么方程F(X)=O在区间(一6,6)内解的个数的最小值是()A.10B.8C.6D.48、定义在R上的奇函数F5),满足彳-4)=一,且在区间0,2上是增函数，那么()A.-25)rt11)80)B.F(80)VF(II)VF(25)C.11)r(80)

10、rt-25)D.25)VF(80)VF(I1)9、设函数f(x)在(-8,+8)上满足f(2-)=f(2+),f(7x)=f(7+x),且在闭区间0,7上，只有F(I)=F=0.(1)试判断函数y=F(x)的奇偶性；(2)试求方程F(X)=O在闭区间-2009,2009上的根的个数，并证明你的结论.10、函数F(X)对任意实数,y均有f()+(y)=2(亨)/(寸),/(O)HO,且存在非零常数G网(C)=0.(1)求/(0)的值;(2)判断/)的奇偶性并证明;(3)求证了(%)是周期函数，并求出/)的一个周期.11、函数y=f(x)是定义在R上的周期函数，周期T=5,函数y=/0)(1x1)

11、是奇函数又知y=/(x)在0,1上是一次函数，在1,4上是二次函数，且在x=2时函数取得最小值-5。证明：/(1)+(4)=0;求y=(x),x1,4的解析式;求y=/()在4,9上的解析式。课后作业：1、设偶函数f(x)对任意xR.都有/(x+3)=-,且当x3,2时，f(x)2211/(x)=2x,那么/(113.5)=A-B.-C.-D.-2、设函数/(x)是定义在R上的奇函数，对于任意的xR,都有/(x+1)=1一,1+/U)当OxW1时,f(x)=2x,那么/(11.5)=A-1B.1CgD；3 ./(幻是定义在实数集R上的函数，满足/(x+2)=-/(九)，且x0,2时，f*)=2

12、x-炉.求x-2,0时，/(X)的表达式；(2)证明/(幻是R上的奇函数.4 .(05朝阳模拟)函数f(x)的图象关于点(一j)对称，且满足/(x)=-/U+|),又/(-1)=1./(0)=-2,求/(1)+/(2)+/(3)+/(2006)的值(六)走向高考：1. (05福建)/(X)是定义在R上的以3为周期的奇函数，且/(2)=0在区间(0,6)内解的个数的最小值是A2B3C.4D.52. (07安徼)定义在R上的函数/(x)既是奇函数，又是周期函数，7是它的一个正周期.假设将方程/(x)=0在闭区间一T,门上的根的个数记为，那么可能为3. (96全国)函数/(x)为R上的奇函数，且满足

13、f(x+2)=-f(x),当0xv1时,/(x)=x.那么f(7.5)等于()4. (06安徽)函数”力对于任意实数X满足条件x+2)=K,假设/二一5,Jx)那么f(5)=5. (06福建文)F(X)是周期为2的奇函数,Ox1,/(X)=Igx设=段,b=/(|),C=/(|),那么6. (04天津)定义在R上的函数/(x)既是偶函数又是周期函数，假设F(X)的最小正周期是乃，且当x0,9时,/(X)=Sinx,那么/(羊)的值为7. (05天津)设/(X)是定义在R上的奇函数，且y=f(x)的图象关于直线x=g对称，那么/d)+/(2)/(3)+/(4)+/(5)=8. (05广东)设函数

14、f(x)在(o,oo)上满足/(2T)=f(2+x),/(7-x)=f(7+x),且在闭区间0,7上，只有/(1)=f(3)=0.(I)试判断函数y=/(幻的奇偶性；(II)试求方程/(x)=0在闭区间2005,2005上的根的个数，并证明你的结论9、定义在(,+oo)上的偶函数/(x),满足Ax-1)=-f(xSf(x)在0,1上是减函数。下面四个关于/(x)的命题：/(X)是周期函数；/(X)的图象关于X=I对称；/(X)在一1,0上是减函数；/(X)在1,2上为增函数。其中真命题的序号为.10、函数/(X)是定义在R上以2为周期的周期函数，同时又为偶函数，并且在区间2,可上,/(x)=-2(x-3)2+4,那么当x1,2时,/(X)=IU定义域为H的函数/(x)满足-4一元)=冗+8),且y=(x+8)为偶函数