含参不等式专题淮阳中学.docx

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1、含参不等式专题（淮阳中学）当在一个不等式中含有了字母，则称这一不等式为含参数的不等式，那么此时的参数可以从以下两个方面来影响不等式的求解，首先是对不等式的类型（即是那一种不等式）的影响，其次是字母对这个不等式的解的大小的影响。我们必须通过分类讨论才可解决上述两个问题，同时还要注意是参数的选取确定了不等式的解，而不是不等式的解来区分参数的讨论。解参数不等式一直是高考所考查的重点内容，也是同学们在学习中经常遇到但又难以顺利解决的问题。下面举例说明，以供同学们学习。解含参的一元二次方程的解法，在具体问题里面，按分类的需要有讨论如下四种情况：（1）二次项的系数；（2）判别式；（3）不等号方向（4）根的

2、大小。一、含参数的一元二次不等式的解法：1 .二次项系数为常数（能分解因式先分解因式，不能得先考虑A0）例1、解关于X的不等式/-（+i）+0。解：(x2-)(x-1)0令(x-)(x-I)=O=X=4,x=1为方程的两个根（因为。与1的大小关系不知，所以要分类讨论）（1）当v1时，不等式的解集为x%1或或x1（3）当。=1时，不等式的解集为xxw1综上所述：（1）当。1或rV4（2）当01时，不等式的解集为xx或xv1（3）当时，不等式的解集为xxh1变题1、解不等式，一（4+1）冗+。0；2、解不等式，一储+）+/0。小结：讨论两个根的大小关系，尤其是变题2中2个根都有参数的要加强讨论。例

3、2、解关于X的不等式2f+-A0分析此不等式为含参数k的不等式,当k值不同时相应的二次方程的判别式的值也不同，故应先从讨论判别式入手.解S=k2+Sk=k(k+S)(1)当AO,既&耐,方程2/十乙一A=O有两个不相等的实根。所以不等式2/+H-A瞰解集是：kJk(k+8)/一k+Jk(k+8)4K4；(2)当=0即2=-8或2=耐,方程2-+kx-k=0有两个相等的实根，所以不等式2,+kx_k0的解集是一Aj,即2,0；(3)当0,即一8kOB寸,方程2/+Zx-Z=0无实根所以不等式2-+履T0的解集为0。说明：一元二次方程、一元二次不等式、一元二次函数有着密切的联系，要注意数形结合研究

4、问题。小结：讨论,即讨论方程根的情况。2.二次项系数含参数(先对二次项系数讨论，分大于、等于或小于0,然后能分解因式先分解因式，不能得先考虑A0)例3、解关于元的不等式：ax2-(a+)x+0.解：若4=0,原不等式O-X+1vx1.若0,原不等式(x-1)(X-I)0ox1aa若a0,原不等式=(X-1)(X1)V0.(*)a其解的情况应由1与1的大小关系决定，故(1)当a=1时，式(*)的解集为。；(2)当1时，式(*)u!x1;a(3)当Ova1时，式(*)o1VXV1综上所述，当1；a当=0时,解集为小1；当Oav1时，解集为x1x1时，解集为:.例4、解关于X的不等式：r2+r-10

5、.解：ax1+r-10或T,此时两根为石=上梦五,+4q当”0时，(),J/把-+J+4j2a2a当-40时，0,.(*)XR；当=-4时，A=。，(*)XR1x-；2ZTxMAy.rj.1ACq-。+J+4fC1C+4当0,.(*)OX或XV2a2a综上，可知当10时，解集为(一ij,-F);2a2a当-4v0时，解集为R；当。=-4时，解集为(_8,-1)U(-1+8)；22出ar-ztzjzy(ciJc+44/-ciJ4+4、当0及m+10来分类讨论,并结合判别式及图象的开口方向进行分类讨论:当m0,图象开口向下，与X轴有两个不同交点，不等式的解集取两边。当一1m0,图象开口向上，与X轴

6、有两个不同交点，不等式的解集取中间。当m=3时，/=4(3-m)=0,图象开口向上，与X轴只有一个公共点，不等式的解为方程4炉_叙+1=0的根。(4)当m3时，/=4(3m)3时，原不等式的解集为0。小结：解含参数的一元二次不等式可先分解因式再讨论求解，若不易分解,也可对判别式分类讨论。利用函数图象必须明确：图象开口方向，判别式确定解的存在范围，两根大小。二次项的取值(如取0、取正值、取负值)对不等式实际解的影响。牛刀小试：解关于X的不等式or?-2(a+1)x+4O,(a0)思路点拨：先将左边分解因式，找出两根，然后就两根的大小关系写出解集。具体解答请同学们自己完成。二、含参数的分式不等式的

7、解法：例1：解关于X的不等式平JOJr-x-2分析：解此分式不等式先要等价转化为整式不等式，再对ax-1中的a进行分类讨论求解，还需用到序轴标根法。解：原不等式等价于(Or-I)(%-2)(x+1)0当。二0时，原不等式等价于(x-2)(x+1)0解得-IVXV2,此时原不等式得解集为x-1x0时，原不等式等价于(X-1)(X-2)(x+1)0,a则：当4=g时,原不等式的解集为x|x-1且XW2；当Og时,原不等式的解集为卜1x)或1X；时,原不等式的解集为xI-1X2J;当O时，原不等式等价于(X-1)(X-2)(x+1)0,a贝IJ当=T时，原不等式的解集为xx2且x7;当一1vO时，原

8、不等式的解集为卜5或_1-2卜当vT时，原不等式的解集为卜|%一1或JX；小结：本题在分类讨论中容易忽略。=O的情况以及对一1和2的大小a进行比较再结合系轴标根法写出各种情况下的解集。解含参数不等式时，一要考虑参数总的取值范围，二要用同一标准对参数进行划分，做到不重不漏，三要使划分后的不等式的解集的表达式是确定的。对任何分式不等式都是通过移项、通分等一系列手段，把不等号一边化为0,再转化为乘积不等式来解决。牛刀小试：解关于X的不等式名W1,3W1)x-2思路点拨：将此不等式转化为整式不等式后需对参数分两级讨论：先按和V1分为两类，再在。1的情况下，又要按两根g与2的大小关系分为O,=O和Oa02.解关于X的不等式：X2+(a-2)x+a0.