专题：椭圆的离心率测试练习题.docx

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1、专题：椭圆的离心率一，利用定义求椭圆的离心率(e=?或e2=I-MS1,已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率e=_2_2212,椭圆与+乙=1的离心率为!，则Z=4m2解析当焦点在X轴上时，-4-=-h=3;当焦点在y轴上时，=-,2223综上m=3或3333,已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是弓4,已知m,n,m+n成等差数列，m,n,mn成等比数列，则椭圆二+上-=1的离心率为mn22W椭圆工+21=1的离心率为当mn22=2nn解析由,=m2n=mnO5,已知,+2=1(m0.0)则当Inn取得最小值时，椭圆+=1的的离心率为世mnmn2/V26,设椭圆

2、+J=I(abO)的右焦点为右准线为人若过万且垂直于X轴的弦的长等于点E到上的a2b2距离，则椭圆的离心率是一。2二，运用几何图形中线段的几何意义结合椭圆的定义求离心率e1,在RfAABC中，NA=90,AB=AC=f如果一个椭圆过A、B两点，它的一个焦点为C,另一个焦点在AB,求这个椭圆的离心率(e=6-3)2,如图所示,椭圆中心在原点,F是左焦点,直线AB1与BF交于D,且NBDB1=90,则椭圆的离心率为()解析(-)=-1=a2-C2=ac=e=-ac23,以椭圆的右焦点F?为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于M、N两点，椭圆的左焦点为H,直线MR与圆相切，则椭圆的离心率是6-

3、1变式(1)：以椭圆的一个焦点F为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心0并且与椭圆交于M、N两点，如果IMFI=IMOI,则椭圆的离心率是Ji-I224,椭圆十&v1（ab0）的两焦点为R、F2,以FF2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e?解：YIFiF2I=2cIBFiI=cIBF2I=3cc+3c=2ae=小T22变式（1）：椭圆1（abO）的两焦点为R、F2,点P在椭圆上，使aOPR为正三角形，求椭圆离心率？解：连接PF2,ROIOF2I=IOF1I=IOPI,ZF1PF2=90图形如上图,e=3-1X2V2变式（2）椭圆才-七11（ab0）的两焦点为E、F2,A

4、B为椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF】_1X轴，PF2AB,求椭圆离心率？2IP口I1解：*.*IPFiIIF2FiI=2cIOBI=bIOAI=aPF2/7AB-又Vb=a2-c2aIF2FiIaY：,a2=5c2e=O变式：将上题中的条件“PF?AB”变换为PO/AB（O为坐标原点）”22相似题：椭圆土-器1I（ab0）,A是左顶点，F是右焦点，B是短轴的一个顶点,解：IAOI=aIOFI=cIBF1=aIABI=a2+b2NABF=90，求e?e=()变式（1）：椭圆于;1(ab0),e巧匠，A是左顶点，F是右焦点，B是短轴的一个顶点，求NABF?a2+b2+a2=(a+c)2=a2+

5、2ac+c2a2Y-ac=0两边同除以e2+e-1=0点评：此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。答案：90。的椭圆为优美椭圆。引申：此类性质：（1）NABF=90（2）假设下端点为R,则ABFB】四点共圆。（3）焦点与相应准线之间的距离等于长半轴长。变式（2）:椭圆=+4=1（ab0）的四个顶点为小B、C.D,若四边形/1阅9的内切圆恰好过椭圆的焦点，则a2h2椭圆的离心率e=杏.提示：内切圆的圆心即原点，半径等于c,又等于直角三角形AOB斜边上的高，由面积得：ab=rya2+b2,但r=cv24,设椭圆a的取值范围。=1（ab0）的左、右焦点分别为耳、F2

6、,如果椭圆上存在点P,使NFFR=90。，求离心率e解：设P（x,y）,F4c,O）,F2（c,O）法1：利用椭圆范围。由椭圆的性质知。X2足得以回争）。附：还可以用参数的方法也能求出离心率的范围（与法1类似）法2：判别式法。由椭圆定义知IP用+1PEj=2=PG2+p62+2pGpF=4,又因为NF；PB=90,可得IPKI2+1PB2=F1F22=4c2,则IPF1IIPF2I=2(/-c2)=2h2,2/0.PI明是方程z2-2az+W=O的两个根，则4=解法3：正弦定理设记NpGa=扇/PRR=,由正弦定理有J=匹I=IZ1Ji=匹1t1J=I片居IsinSinasin90osina+

7、sin又因为IPG1+PpJ=2mGE=2c,且+=9(r则c111e=asina+sinsinacos0sin(+工)4.*0a+则sin(+2)1,1V2sin(+-)412444244所以Je12解法5：利用基本不等式由椭圆定义，有24=|PR|+|I平方后得4a2=IPF1I2+PF212+2PF1PF22(PF,2+)=2耳后二c2得.g所以有e。，1)解法6：巧用图形的几何特性由NKPK=90,知点P在以I片入1=2c为直径的圆上。又点P在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点P,故有c匕=b。)的两焦点为件(-e,0),F2(c,。)，P是以IF1F2I为直径的圆与椭圆的一个交点，且NP

8、RF2=5NPFzF,求椭圆的离心率e分析：此题有角的值，可以考虑正弦定理的应用。ZPF1F2=75oZPF2F1=15sin906sin75o+sin15o3点评：在焦点三角形中，使用第一定义和正弦定理可知e=.sinFiF2P+snPFF222变式(2)：椭圆十-tr-=1(ab0)的两焦点为3(-c,0)、F2(c,0),P是椭圆上一点，且NFFF?=60,求椭圆离心率e的取值范围？sinF1PF2sin60osinF1F2P+sinPF1F2sina+sin(120o-a)分析：上题公式直接应用。解：SZF1F2P=Q,则F2FF=120-X2V2变式(3)：过椭圆/+=1(0bO)的

9、左焦点写作X轴的垂线交椭圆于点P,B为右焦点，若ZFyPF2=60，则椭圆的离心率e的值解析：因为P(-c,Z),再由NKPK=60有叱=2,从而得e=2,2变式(4)：若A,8为椭圆=+J=1(4bO)的长轴两端点，。为椭圆上一点，使NAQ8=120,求此椭圆ab离心率的最小值。(考e60)上一点A关于原点的对称点为B,F为其右焦点，若AhBE设abZABF=a,且,则椭圆的离心率的取值范围为124解析：设尸为椭圆左焦点，因为对角线互相平分，所以四边形Aw为平行四边形且为矩形，AB=2c,AF=2csina,BF=2ccoscr,2csina+2ccosa=2a,所以e=aSina+cos2

10、V2sina+I4J12W得交e如。4j2322X-V-6,如图，在平面直角坐标系北少中，4，4,耳，82为椭圆7+一=1(。匕0)的四个顶点，尸为其右ab焦点,直线4层与直线耳尸相交于点,线段Or与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为.直线4用的方程为三2=1,直线与F的方程为2+2=1-abc-b,2acb(+c)U1h1+人-Uracb(a+c)的坐标-1所以中点M的坐标为a-ca-c)1a-c2(-c)上，代人方程得4c2+g+c)2=4(-c)2则/+ia_3=0(0,1)所以6=2近一5227,椭圆十+y=1(ab0)的两焦点为R(-c,0)、F2(c,0),满足淞福

11、=0的点M总在椭圆内部，贝IJe的取值范围？如图所示，画图可知点M的轨迹是以Fi写为直径的圆，则它在椭圆内部，故cc2e2-e,Oe1.,.Oeb0)的两焦点为F】(-c,0)、F2(c,0),P为右准线1：x=上一点，FF的垂直平分线abc恰过F?点，求e的取值范围？分析：思路1,如图RP与F2M垂直，根据向量垂直，找a、b、C的不等关系。思路2：根据图形中的边长之间的不等关系，求e解法一：F1(-c,0)F?(c,0)P(TyD)既赍，y-)则瓯.a.=-(+c,yo)cPFi对F?=0(Jc,yo)(3c,1-)=0cZcy-0a2-3c20=2C1PF21则2c吟c3c哈3c2a解法2

12、：IF1F2I=IPF2总结：对比两种方法，不难看出法一具有代表性，可谓通法，而法二是运用了垂直平分线的几何性质，巧妙的运用三角形边的大小求解的妙法。所以垂直平分线这个条件经常在解析几何中出现，对于它的应用方法，值得大家注意。9,如图，正六边形ABCDEF的顶点A、D为一椭圆的两个焦点，其余四个顶点B、C、E、F均在椭圆上，则椭圆离心率的取值范围是解：以AD所在直线为X轴，AD中点为坐标原点建立坐标系。设正六边形的边长为r,则椭圆的半焦距C=一，又0eb0),过左焦点R且倾斜角为60的直线交椭圆与AB两点，若IRA1=2IBF,求椭圆的离心率e的值解：设IBF11=m则IAF2I=2a-amI

13、BF2I=2a-ma*C=In(2a-C)2a-c22(a2-c2)=m(2a+c)两式相除Ff=T=/练习题：=(ab0)上有一点M,耳,鸟是椭圆的两个焦点，MF1M=2Z?2,求椭圆的离心率.解析：由椭圆的定义，可得IMF1+M周=2又IMF1JMg1=2,所以IM凡,M同是方程/一2双+2从=0的两根，由=(一2。)2-4工2从(),可得/2即M2(一/)所以e=f也，a2所以椭圆离心率的取值范围是曰,1)32,在aABC中，NA=90,tan=-.若以A,6为焦点的椭圆经过点C,则该椭圆的离心率e=.4AR1解析AB=4k,AC=3k,BC=5k,e=-AC+BC23,已知与，尸2为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，若NpK入：NPE耳：NKPK=I：2：3,则此椭圆的离心率为1,解析3-1三角形三边的比是1:73:222(2、4,在平面直角坐标系中，椭圆=+2r=1(b)的焦距为2,以。为圆心，。为半径的圆，过点,0abcJ