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1、试卷一解答1【解析】若分子的极限不为零,则左边为无穷大,矛盾,故出口(/+以+与=04 + 2a+ h = Q。x-2再由洛必达法则,有limk+x + ”=lim2 = 4 + = 3,故。=一1力二一2。【答案】A12X-2 T 1 3x + 2 2x 3 12【解析】由洛必达法则,lim;=lim=存在,所以x = 2为了(幻的可去间断点12 x - 4 t 2x 4【答案】BV sin 13【解析】由已知/(x)在点x = 0处可导,则lim /二/=lim ,% = limxsin1存在,x-0 xRf X入X所以a 10,即。1。【答案】C24【解析】limy = lim 2x+l
2、 =lim= 0,故有水平渐近线y = 0 ; limy = lim 2x+l =g。故有垂直isx-8( x 1 )2 182。-1)臼 7 (x-1)2渐近线x=l。【答案】Bx15 解:lim()A = lim= = 2 ,e( = 2 t c = In 2*三 y 节x6【解析】用洛比达法则, lim = lim 32= lim= 6。A-x - sin x d 1 - cos x sin x7【解析】由参数方程求导法则,=+ 2 =(2/ + 2)(1 +/)= 2(1 +。2dx dx !dt 1+ti心、2 认)平(1+/)2dx _=4(1 +/)2 djC dx1l+t8【解
3、析】r(x) = 3九2-3,/(x) = 6x。Q)令/(x) = 0,解得玉=1,=一1,则函数的单调区间分析如下:X(-8、 1)一1(-1,1)1(l,+oo)/(X)+00+/(X)/3-1/函数/(X)的单调增区间为(8, -1)和(1, + 00),单调减区间为-1,1。极大值为/(-1) = 3,极小值为/(1) = 一1。(2)令/=60 = 0,得 = 0。(-oo,0)内,fx) 0,故曲线y=/(x)的凹区间为(0, + oo),凸区间为(8,0),拐点是(0,0)。(3)/(-1) = 3,/=-1(-2) = -1,/(3) =19。函数/(幻在闭区间卜2 , 3上
4、的最大值为/(3)= 19与最小值为/(1) = 一1和/(2) = 1。9【证明】由于 lim/(x) = lime7=l lim /(x) = lim (l+x) = 1,/(0) = 1,所以/(x)在 x = 0 处连续.2。一x-x-o*x-(rfM -/(0) e-x-l又lim=lim= -l,即/(九)在点x = 0处的左导数存在为-1 ;XfXXT). X又lim /W-/(0) lim (l + x)T = i ,即/a)在点x = 0处的左导数存在为1 ;x 10 X在X = 0处,/(X)的左右导数不相等,所以函数/(X)在X = 0处不可导。3 0,即41nx-工-2
5、 + _0。3 4x - %2 - 3 x2 - 4x + 3U-lXx-3)八,0,厂x2 + 2x- 310【证明】原不等式等价于41nx-3/4令 f(x) = 41nx-x-2 + _,则/(工)=_一1一又/(%)在 = 1处连续,因此函数在1,2)上单调增加。所以当lx/(l) = O,即41nx x2+20,即原不等式成立。X6试卷二解答1【答案】A解法1】由题意当尤0时,/(x)=x sin尤J d,故。=),=3。1661 2XX3一1【解法 2】limXfinx = imlcsx=Hm 2 = lim_= 1 ,故几=3 =。入“。ax1即乂1 I)io 2an62【解析】
6、【答案】(C)x-3x + 4因为lim e x - 5x + 6,则y = 1是y = 5x + 6的水平渐近线。又lim f-3工+4 = nm x2-3x+4 = g , nm d-3x+4 = nm x-3x+4xt2x 5x + 6 x-2(x 2)(x 3) xt3x 5x + 6 (x 2)(x 3)则x = 2,x = 3为曲线的铅直渐近线。有双侧水平渐近线,就不可能有斜渐近线。故共有三条渐近线。3【答案】(C)【解析】当xc(0,l)时,有/(%) = 3d3Q,故在区间(O,1)内,函数/(X)单调减少且其图形是凹的。4【答案】fx + 【解法一】lim(AX-CO)”二l
7、imxoc(1+1 e 2X = = cI(1- r eXx +1 , x + 1【解法二】lim(V = lim( )A = lim(l +A-0Cx 1X-0C2 x-l 2x) 2x-I =X5【解析】lim .W/DD x= 扁一/+/(0)一/)10X= lim/(x)-/(0)+ lim/(-x)-/(0)D X - 0 XT。 (-x) - 0二/(0) +/(0) = 26解:先用等价无穷小化简式子,然后用洛比达法则求极限,原式1 ) = lim x tan x _ jjm22io xtanx x x- x tan x x-ox - tan x _ jm 1- see2% _
8、jm - tan2 x%3o3x21。 3x27 证明:令/- x2-,/=,尸(工)=一-10。22易知广。)在口,+8)上连续,从而产。)在口,+8)上单调递增,故当工1时,ra)r(i)=o。又易知/(X)在口,+ 00)上连续,从而/(X)在口,+ 8)上单调递增,从而当X1时,/(x)/(l)=O,即228【证明】连续性。因为 lim,f(x) = lim,=lim=(0)=1,A-0 X .V-0X即lim/(x)=/(0),所以/(x)在x = 0处连续;可导性。f (0 一 f(0)C_1X ,-,由于lim= lim = lim (%) - = lim (x)(。) _ J_
9、八tox -0x .io x22x 2因此,/(x)在x = 0处可导。试卷三解答 x X / - 1 x11【解析】lim=lim= lim一 = _,(C)正确。 xd2xx-o2x22【解析】lim,飞_ J _(/+ ) / _21in/a一 一一工。+ 加=-2于6)= 4,,广(工)二一2。hoh人一 2/?3 解析】了 = 3/ 一 2bx 9 yf = 6ax - 2b a - b =-2,y r(l) = 6a-2b = 0 (1,-2)是曲线 =ax bx2的拐点,故y=26a -2/? = 0联立方程j_0 = _2解得Q = 1力=3。(与正确。所以一 2攵=2,攵=一
10、1。所以答案为-1。4【解析】lim(X-2)AY=lim(l 一1)心=e必=/fa xr-8 45【解析】根据题意得:lim (- e =lim (,- )2 = lime,? = lim + = 22 = 4。ln(l+X2) xtO jC% J1 J6【解析】本题考查隐函数和参数方程求导。根据题意:因为x=/+z,所以二二21+l,同理对 +),= ,777c力 =/日 V dy ay 八 ay 2t求导得二 + 二=2,_ =。dt dt dt ey +12x27【证明】令/(x) = xln(l+d) 2 ,求导得, /r(x) = ln(l + x2) + -0 ,所以/(x)是
11、增函数。1+厂因为/(o)= 20,所以xln(l +/)= 2有且仅有1个小于2的正实根,题得证。8【证明】令/。)= /一201+2010,求导:/x) = 201 lx2010 -201 1,/x) = 2011x2010xx2(K)9。令/(x)=0,即2011/1。一2011=0及冗0,得工=1。/r(l) = 2011x2010xl 0,则根据判定极值第二充分条件可知/(1) = 0为极小值。由单峰原理,知/(I) = 0为的最小值,故 0。即 一 +2010 - 201 lx2 0,x2(), + 20/02011x。命题得证9【解析】lim-io x arctan x=.e-x
12、2-ax-llim(用等价无穷小替换:当X0时,有arctanxx) 2x ci0= lim(上式为一型极限,用洛必达法则:分子分母分别求导)10- 2x0=/产_20lim- (上式仍为x型极限,用洛必达法则:分子分母分别求导)d-口 20_cr-2T又 lim e -1 = lim 竺=巴。d- sin 2x x-o+ 2x 2(1)若要次=()是函数/。)的连续点,则1皿/(1)=1而/(幻=/(0),即1一2=1,故 =2。入-0-.s(r22(2)若要X = 0是/(X)的可去间断点,则lim /(%) = lim /(%) w /(0) 解得。=一1。X-0Kf 0,(3)若要x
13、= 0是跳跃间断点,则lim/a)wlim/(x),所以可知。工一1,。工2。10-Kf0-试卷四解答.1【解析】x-oo时,是无穷小,而sin 3x是有界函数,故吧 = _sin 3x仍是无穷小-即lim sin3x =。XX XXTB X.1sin又 lim2xsin J_= lim2x-j_ = 2 或 lim2xsin J_ = 21im= 218X A-001X1 Qin 3Y故lim(2x sin + 把二)= 2 + 0 = 2。答案为(B)。XTSX X2【解析】第一类间断点分为可去间断点、跳跃间断点,其共同点是左右极限都存在。/(x)=我 2)sin / 的间断点有 x = 0,工=2 , x = 2。1x1$4)i;m/、 (x- 2)sinx (x - 2)sinx (x- 2) - xr x-2 111111 /(x) = lim = lim = lim -=lim -=-()a-o+|x| (x-4)-o x(厂 4)-0%(工4)iojT - 4 2limrzxv (x - 2)sin x (x - 2)sin xv (x -2) x_ _ i;m x-2 =-