一元微分法试卷1-5解答.docx

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1、试卷一解答1【解析】若分子的极限不为零，则左边为无穷大，矛盾，故出口（/+以+与=04 + 2a+ h = Q。x-2再由洛必达法则，有limk+x + ”=lim2 = 4 + = 3，故。=一1力二一2。【答案】A12X-2 T 1 3x + 2 2x 3 12【解析】由洛必达法则，lim；=lim=存在，所以x = 2为了(幻的可去间断点12 x - 4 t 2x 4【答案】BV sin 13【解析】由已知/(x)在点x = 0处可导，则lim /二/=lim ,% = limxsin1存在，x-0 xRf X入X所以a 10，即。1。【答案】C24【解析】limy = lim 2x+l

2、 =lim= 0，故有水平渐近线y = 0 ; limy = lim 2x+l =g。故有垂直isx-8( x 1 )2 182。-1)臼 7 (x-1)2渐近线x=l。【答案】Bx15 解：lim()A = lim= = 2 ，e( = 2 t c = In 2*三 y 节x6【解析】用洛比达法则, lim = lim 32= lim= 6。A-x - sin x d 1 - cos x sin x7【解析】由参数方程求导法则，=+ 2 =（2/ + 2）（1 +/）= 2（1 +。2dx dx !dt 1+ti心、2 认)平(1+/)2dx _=4(1 +/)2 djC dx1l+t8【解

3、析】r（x） = 3九2-3，/（x） = 6x。Q）令/（x） = 0，解得玉=1,=一1，则函数的单调区间分析如下：X(-8、 1)一1(-1,1)1(l,+oo)/（X）+00+/（X）/3-1/函数/(X)的单调增区间为(8, -1)和(1, + 00),单调减区间为-1，1。极大值为/(-1) = 3，极小值为/(1) = 一1。(2)令/=60 = 0，得 = 0。(-oo,0)内，fx) 0，故曲线y=/(x)的凹区间为(0, + oo)，凸区间为(8,0)，拐点是(0,0)。(3)/(-1) = 3，/=-1(-2) = -1，/(3) =19。函数/(幻在闭区间卜2 , 3上

4、的最大值为/(3)= 19与最小值为/(1) = 一1和/(2) = 1。9【证明】由于 lim/(x) = lime7=l lim /(x) = lim (l+x) = 1，/(0) = 1，所以/(x)在 x = 0 处连续.2。一x-x-o*x-(rfM -/(0) e-x-l又lim=lim= -l，即/(九)在点x = 0处的左导数存在为-1 ;XfXXT). X又lim /W-/(0) lim (l + x)T = i ,即/a)在点x = 0处的左导数存在为1 ;x 10 X在X = 0处，/(X)的左右导数不相等，所以函数/(X)在X = 0处不可导。3 0，即41nx-工-2

5、 + _0。3 4x - %2 - 3 x2 - 4x + 3U-lXx-3）八，0，厂x2 + 2x- 310【证明】原不等式等价于41nx-3/4令 f（x） = 41nx-x-2 + _，则/（工）=_一1一又/(%)在 = 1处连续，因此函数在1，2)上单调增加。所以当lx/(l) = O，即41nx x2+20，即原不等式成立。X6试卷二解答1【答案】A解法1】由题意当尤0时，/(x)=x sin尤J d，故。=)，=3。1661 2XX3一1【解法 2】limXfinx = imlcsx=Hm 2 = lim_= 1 ,故几=3 =。入“。ax1即乂1 I)io 2an62【解析】

6、【答案】(C)x-3x + 4因为lim e x - 5x + 6,则y = 1是y = 5x + 6的水平渐近线。又lim f-3工+4 = nm x2-3x+4 = g , nm d-3x+4 = nm x-3x+4xt2x 5x + 6 x-2(x 2)(x 3) xt3x 5x + 6 (x 2)(x 3)则x = 2,x = 3为曲线的铅直渐近线。有双侧水平渐近线，就不可能有斜渐近线。故共有三条渐近线。3【答案】(C)【解析】当xc(0,l)时，有/(%) = 3d3Q，故在区间(O，1)内，函数/(X)单调减少且其图形是凹的。4【答案】fx + 【解法一】lim(AX-CO)”二l

7、imxoc(1+1 e 2X = = cI(1- r eXx +1 , x + 1【解法二】lim(V = lim( )A = lim(l +A-0Cx 1X-0C2 x-l 2x) 2x-I =X5【解析】lim .W/DD x= 扁一/+/(0)一/)10X= lim/(x)-/(0)+ lim/(-x)-/(0)D X - 0 XT。 (-x) - 0二/(0) +/(0) = 26解：先用等价无穷小化简式子，然后用洛比达法则求极限，原式1 ) = lim x tan x _ jjm22io xtanx x x- x tan x x-ox - tan x _ jm 1- see2% _

8、jm - tan2 x%3o3x21。 3x27 证明：令/- x2-，/=，尸（工）=一-10。22易知广。）在口,+8）上连续，从而产。）在口,+8）上单调递增，故当工1时，ra）r（i）=o。又易知/（X）在口,+ 00）上连续，从而/（X）在口,+ 8）上单调递增，从而当X1时，/（x）/（l）=O，即228【证明】连续性。因为 lim,f(x) = lim,=lim=(0)=1，A-0 X .V-0X即lim/(x)=/(0)，所以/(x)在x = 0处连续；可导性。f (0 一 f(0)C_1X ，-,由于lim= lim = lim (%) - = lim (x)(。) _ J_

9、八tox -0x .io x22x 2因此，/(x)在x = 0处可导。试卷三解答 x X / - 1 x11【解析】lim=lim= lim一 = _，(C)正确。 xd2xx-o2x22【解析】lim,飞_ J _（/+ ） / _21in/a一 一一工。+ 加=-2于6）= 4，,广（工）二一2。hoh人一 2/?3 解析】了 = 3/ 一 2bx 9 yf = 6ax - 2b a - b =-2，y r(l) = 6a-2b = 0 （1，-2）是曲线 =ax bx2的拐点,故y=26a -2/? = 0联立方程j_0 = _2解得Q = 1力=3。（与正确。所以一 2攵=2，攵=一

10、1。所以答案为-1。4【解析】lim(X-2)AY=lim(l 一1)心=e必=/fa xr-8 45【解析】根据题意得：lim (- e =lim (，- )2 = lime，? = lim + = 22 = 4。ln(l+X2) xtO jC% J1 J6【解析】本题考查隐函数和参数方程求导。根据题意：因为x=/+z，所以二二21+l，同理对 +），= ，777c力 =/日 V dy ay 八 ay 2t求导得二 + 二=2，_ =。dt dt dt ey +12x27【证明】令/(x) = xln(l+d) 2 ,求导得, /r(x) = ln(l + x2) + -0 ,所以/(x)是

11、增函数。1+厂因为/(o)= 20，所以xln(l +/)= 2有且仅有1个小于2的正实根，题得证。8【证明】令/。)= /一201+2010，求导：/x) = 201 lx2010 -201 1，/x) = 2011x2010xx2(K)9。令/(x)=0，即2011/1。一2011=0及冗0，得工=1。/r(l) = 2011x2010xl 0，则根据判定极值第二充分条件可知/(1) = 0为极小值。由单峰原理，知/(I) = 0为的最小值，故 0。即 一 +2010 - 201 lx2 0，x2(), + 20/02011x。命题得证9【解析】lim-io x arctan x=.e-x

12、2-ax-llim(用等价无穷小替换：当X0时，有arctanxx) 2x ci0= lim(上式为一型极限，用洛必达法则：分子分母分别求导)10- 2x0=/产_20lim- (上式仍为x型极限，用洛必达法则：分子分母分别求导)d-口 20_cr-2T又 lim e -1 = lim 竺=巴。d- sin 2x x-o+ 2x 2(1)若要次=()是函数/。)的连续点，则1皿/(1)=1而/(幻=/(0)，即1一2=1，故 =2。入-0-.s(r22(2)若要X = 0是/(X)的可去间断点,则lim /(%) = lim /(%) w /(0) 解得。=一1。X-0Kf 0，(3)若要x

13、= 0是跳跃间断点，则lim/a)wlim/(x)，所以可知。工一1,。工2。10-Kf0-试卷四解答.1【解析】x-oo时，是无穷小，而sin 3x是有界函数，故吧 = _sin 3x仍是无穷小-即lim sin3x =。XX XXTB X.1sin又 lim2xsin J_= lim2x-j_ = 2 或 lim2xsin J_ = 21im= 218X A-001X1 Qin 3Y故lim(2x sin + 把二)= 2 + 0 = 2。答案为(B)。XTSX X2【解析】第一类间断点分为可去间断点、跳跃间断点，其共同点是左右极限都存在。/(x)=我 2)sin / 的间断点有 x = 0，工=2 , x = 2。1x1$4)i；m/、 (x- 2)sinx (x - 2)sinx (x- 2) - xr x-2 111111 /(x) = lim = lim = lim -=lim -=-()a-o+|x| (x-4)-o x(厂 4)-0%(工4)iojT - 4 2limrzxv (x - 2)sin x (x - 2)sin xv (x -2) x_ _ i;m x-2 =-