导数的基础知识课程专题练习题.docx

《导数的基础知识课程专题练习题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《导数的基础知识课程专题练习题.docx（14页珍藏版）》请在第一文库网上搜索。

1、导数的基础知识导数的定义：1) (1).函数)，=F(X)在X=/处的导数:，()=yr=IimFg吐4)一飞)0AtToX2) ).函数y=/(幻的导数/()=yIimTx2 .利用定义求导数的步骤：求函数的增量：y=/(xo+x)-(xo);求平均变化率：”=/(/+-)/(/)；xx取极限得导数：/(XO)=Iim电x(下面内容必记)二、导数的运算：(1)基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式：C=0(C为常数)；)=i;(,)，=(X-*)，=一ZtrTI；(厅)，=*)，=生XXn(SinX)=cosx；(CoSX)=-sinX()=/()=1n(0,且4。1)；(In工)，=一：

2、(1ogf1x),(0,且01)XX1na法则1：(x)g(x)=/(x)g(x):法诀:和与差的导数等于导数的和与差).法则2：(x)g(x)=/(%)g(x)+)g(x)(口诀:前导后不导相乘，后导前不导相乘,中间是正号)法则3：J3W*)(g(Q0)g(x)g(x)(口诀：分母平方要记牢，上导下不导相乘，下导上不导相乘，中间是负号)(2)复合函数y=/(g(x)的导数求法：换元,令=g(x),则y=f(令分别求导再相乘y=g(x)Hf()回代4=g(x)题型一、导致定义的理解题型二：导数运算1、己知/(x)=2+2xsinr,则/(O)=2、若/(x)=dsin,则/(%)=3 .f()

3、=ax3+3x2+2,/(-1)=4,则a=()AW小d三？导数的物理意义331求瞬时速度：物体在时刻九时的瞬时速度匕就是物体运动规律S=(f)在时的导数/“(4),即有=r(幻。2.V=s(t)表示即时速度。a=v(t)表示加速度。四 .导数的几何意义：函数在用处导数的几何意义，曲线y=(x)在点P(J(%)处切线的斜率是左=/(X0)。于是相应的切线方程是：y-y0=()(-)题型三.用导数求曲线的切线注意两种情况：曲线y=x)在点P(XOj(Xo)处切线：性质：岫线=/(%)。相应的切线方程是：y-y0=(x0)(x-0)(2)曲线y=(x)过点P(0,%)处切线：先设切点，切点为。色力

4、)，则斜率k=f(q),切点Q(a,b)在曲线y=(x),切点。3力)在切线一为=()(工一与)上，切点。伍,。)坐标代入方程得关于a,b的方程组，解方程组来确定切点，最后求斜率k=f(Q),确定切线方程。例题在曲线y=x3+3x2+6-10的切线中，求斜率最小的切线方程；解析：(1)k=y=3xo2+6xo+6=3(xo+1)2+3当XD=T时，k有最小值3,此时P的坐标为(-b-14)故所求切线的方程为3x-y-11=0五 .函数的单调性：设函数y=(x)在某个区间内可导，(1) /*)O=/(幻该区间内为增函数；(2) /a)VOn/3)该区间内为减函数；注意：当/(X)在某个区间内个别

5、点处为零，在其余点处为正(或负)时，/3)在这个区间上仍是递增(或递减)的。(3) /(X)在该区间内单调递增=(x)0在该区间内恒成立；(4) /(X)在该区间内单调递减=/*)0在该区间内恒成立；题型一、利用导数证明(或判断)函数f()在某一区间上单调性：步骤：(1)求导数y=(x)(2)判断导函数V=/a)在区间上的符号(3)下结论尸()O=f)该区间内为增函数；/(X)0,解集在定义域内的部分为增区间(4)解不等式/(X)V0,解集在定义域内的部分为减区间题型三、利用单调性求参数的取值(转化为恒成立问题)思路一.(1)/1)在该区间内单调递增=(x)0在该区间内恒成立；(2) /(x)

6、在该区间内单调递减=f,(x)0在该区间内恒成立；思路二.先求出函数在定义域上的单调增或减区间，则已知中限定的单调增或减区间是定义域上的单调增或减区间的子集。注意：若函数F(X)在(a,c)上为减函数，在(c,b)上为增函数，则尸C两侧使函数广(X)变号，即X=C为函数的一个极值点，所以/(C)=O例题.若函数/(x)=上二，若。=/(3)/=(4),c=(5)贝!)()XA.abcB.cbaC.cabD.bac六、函数的极值与其导数的关系：1.极值的定义：设函数/(x)在点与附近有定义，且若对与附近的所有的点都有f(x)/(x0),则称/(X。)为函数的一个极大(或小)值，方为极大(或极小)

7、值点。可导数/(X)在极值点与处的导数为0(即/(%)=0),但函数/(X)在某点与处的导数为0,并不一定函数F(X)在该处取得极值(疝，G)=X3在Xo=O处的导数为0,但/(X)没有极值)。求极值的步骤：第一步：求导数尸(X);第二步：求方程/(X)=O的所有实根；第三步：列表考察在每个根与附近，从左到右，导数尸(X)的符号如何变化，若f()的符号由正变负，则/(%)是极大值；若f()的符号由负变正，则/(%)是极小值；若f()的符号不变，则/(%)不是极值，/不是极值点。2、函数的最值：最值的定义：若函数在定义域D内存与,使得对任意的E,都有/(x)F(),(或f(x)(Xo)则称/(X

8、。)为函数的最大(小)值，记作Xnax=/(XO)(或Xnin=/()如果函数y=f(x)在闭区间a,b上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在闭区间a,b上必有最大值和最小值。求可导函数/(x)在闭区间a,b上的最值方法：第一步；求/(X)在区间4,切内的极值；第二步：比较/(x)的极值与/()、/S)的大小：第三步：下结论:最大的为最大值，最小的为最小值。注意：1、极值与最值关系：函数的最值是比较整个定义域区间的函数值得出的，函数的最大值和最小值点可以在极值点、不可导点、区间的端点处取得。极值W最值。函数f(x)在区间a,b上的最大值为极大值和f(a)、f(b)中最大的一个。最小值为极小

9、值和f(a)、f(b)中最小的一个。2.函数在定义域上只有一个极值，则它对应一个最值(极大值对应最大值;极小值对应最小值)3、注意：极大值不一定比极小值大。如/(x)=X+!的极大值为-2,极小值为2。X注意：当X=Xo时，函数有极值=f(Xo)=Oo但是，f/(Xo)=O不能得到当X=Xo时，函数有极值:判断极值，还需结合函数的单调性说明。题型一、求极值与最值题型二、导数的极值与最值的应用题型四、导数图象与原函数图象关系原函数f(x)单调性/(X)极值导函数1(X)的符号f(x)与X轴的交点且交点两侧异号r(X)的增减性f)的增r(X)减f()的每一点的切线斜率的变化趋势(f()的图象的增减

10、幅度)/(X)的每一点的切线斜率增大(/(X)的图象的变化幅度快)f()的每一点的切线斜率减小(/(X)的图象的变化幅度慢)例1.己知f(x)=e-axT.(1)求f(x)的单调增区间；(2)若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围;(3)是否存在a,使f(x)在(-8,0上单调递减，在0,+8)上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.解：f)=exa(1)若aW0,(X)=e-a20恒成立，即f(x)在R上递增.若a0,e-aNO,.eXNa,x21na.(x)的单调递增区间为(Ina,+8).(2) Vf(x)在R内单调递增，Ax)20在R上恒成立.ex-aO,即aWe5

11、t在R上恒成立.a(e)in,XVe0,aO.(3) 由题意知,x=0为f(x)的极小值点.；z(O)=0,即eo-a=O,a=1.例2.已知函数f(x)=3+ax=bx+c,曲线y=f(x)在点x=1处的切线为1:3x-y+1=0,若x=2时，y=f()有极值.(1)求3a,b,c的值；(2)求y=f(x)在-3,1上的最大值和最小值.解(1)由f(x)=3+axbx+c,得fx)=3x2+2ax+b,当x=1时，切线1的斜率为3,可得2a+b=0当X=河y=f()有极值，则/图=0,可得4a+3b+4=0由解得a=2,b=-4.由于切点的横坐标为x=1,f(1)=4.1+a+b+c=4.c

12、=5.(2)由(1)可得f(x)=x3+2x2-4x+5,/./V)=3x2+4x-4,令f,(x)=O,得x=-2,X=1.当X变化时，y,y的取值及变化如下表:X-3(-3,-2)-2(-21)2i臣)1y+0-0+单调递增单调递减95单调递增y813274y=f(X)在-3,1上的最大值为13,最小值为黑例3.当x0,证明不等式上CIn(I+x)0时。.(x)在(0,长。)内是增函数，.*)(0),即1n(1+x)-0,1+x又g(x)=当4O时，g(x)0时，不等式一匚Vin(I+x)VX成立.1+xX点评：由题意构造出两个函数/(幻=In(X+1),g(x)=1n(x+1)-X.1+

13、x利用导数求函数的单调区间或求最值，从而导出是解决本题的关键.七定积分求值1 .定积分的概念设函数/(x)在区间勿上连续，则公=Iimty(S)之Jaoo4rn12 .用定义求定积分的一般方法是:分割：等分区间可；近似代替：取点i,X,；求和：-f(i);/=1n取极限：fxdx=Iim/()-fZ=I3曲边图形面积：/(x)0,5=y(xr;/(x)0,5=-(在X轴上方的面积取正，下方的面积取负变速运动路程S=v(t1t；变力做功W=J：F(r)dr4 .定积分的性质性质1jjf(x)dx=kjf(x)dx(其中A是不为0的常数)性质2J(x)f2(x)Vx=/1(XgJ：f2(x)dxbcb性质3jx)dx=fxdx+f(x)dx(其中cvb)(定积分对积分区间的可加性)aac5 .定理函数x)是5,加上/(x)的一个原函数，即/(X)=9(X)则f(x)公=/(X)C=尸(力一尸导数各种题型方法总结(一)关于二次函数的不等式恒成立的主要解法：1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法5、二次函数区间最值求法：(1)对称轴(重视单调区间)与定义域的关系(2)端点处和顶