对于函数的相关概念及性质分析.docx

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1、对于函数的相关概念及性质分析绝对值函数是个很广的概念,可分为两大局部，一局部是绝对值施加在X上的，另一局部是绝对值号施加在Y上的，如y=xIyI=X就记住绝对值号在谁上头就把原图像根据哪一个轴做轴对称变换,记住这一点，不管多复杂的解析式都可以照此办理.绝对值函数可以看作初等函数。3.1导数,是微积分中的重要根底概念。：函数,概念,性质首先是初等函数相关问题分析：1绝对值函数的概念及性质绝对值函数是个很广的概念，可分为两大局部，一局部是绝对值施加在X上的，另一局部是绝对值号施加在Y上的，如y=xy=x就记住绝对值号在谁上头就把原图像根据哪一个轴做轴对称变换,记住这一点，不管多复杂的解析式都可以照

2、此办理.绝对值函数可以看作初等函数。1.1 绝对值函数的定义域,值域,单调性例如f(x)=aIXI+b是定义域：即X的取值集合，为全体实数；值域:不小于b的全体实数单调性：当x时，单调减函数；1.2 绝对值函数图象规律：If(X)I将f(x)在y轴负半轴的图像关于X轴翻折一下即可，在y轴正半轴的图像不变。f(IxI)将f(x)在X轴负半轴的图像关于y轴翻折一下即可，在X轴正半轴的图像不变。1 .3带绝对值的函数求导，即将函数分段。2 .取整函数的概念与性质2.1 取整函数是:设xR,用x或int(x)表示不超过X的最大整数,并用x”表示X的非负纯小数,那么y=x称为取整函数，也叫高斯函数。任意

3、一个实数都能写成整数与非负纯小数之和，即:x=x+x,其中(x0,+8)称为小数局部函数。2.2 取整函数的性质:a对任意xR,均有xTxWxx+1b对任意xR,函数y=x的值域为0,1).c取整函数(高斯函数)是一个不减函数，即对任意x1,x2R,假设x1x2,那么x1Wx2.d假设nZ,xR,那么有x+n=n+x,nx=x.后一式子说明y=x是一个以1为周期的函数e假设x,yR,那么x+yWx+yWx+y+1f假设nN+,xR,那么xnx.g假设nN+,xR+,那么在区间1,x内，恰好有xn个整数是n的倍数.h设P为质数,nN+,那么P在n!的质因数分解式中的嘉次为p(n!)=npnp2+

4、3 .导数的概念与性质3.1 导数,是微积分中的重要根底概念。当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时,称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续。不连续的函数一定不可导。导数实质上就是一个求极限的过程，导数的四那么运算法那么来源于极限的四那么运算法那么。导数另一个定义：当x=x时,f(x)是一个确定的数。这样，当X变化时,f(x)便是X的一个函数，我们称他为f(x)的导函数(简称导数)。3.2 求导数的方法(1)求函数y=f(x)在x处导数的步骤:求函数的增量y=f(+)-f(xO)；求平均变化率;取极限,得导数.(2)几种常见函数的导数公式:C=

5、O(C为常数函数);(XAn)=n-(nT)(nQ);(SinX)=cosx;(CoSX)二一Sinx；(ex),=ex(ax),=ax1na(1n为自然对数)；(InX)=1x(In为自然对数；(IogaX)=(XIna)XT),(a且a不等于1).补充：上面的公式是不可以代常数进去的，只能代函数,新学导数的人往往忽略这一点，造成歧义，要多加注意。(3)导数的四那么运算法那么：(uv)=uv；(UV)=uv+uv；(uv)=(uV-uv)v2.(4)复合函数的导数复合函数对自变量的导数，等于函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数一称为链式法那么。4 .高等函数的概念以及含义问题4.

6、1一元微分1)一元微分是设函数y=f(x)在x.的邻域内有定义,x及xO+Ax在此区间内。如果函数的增量Ay=f(x+Ax)?f(x)可表示为Ay=Ax+o()(其中A是不依赖于Ax的常数)，而。(AxO)是比Ax高阶的无穷小，那么称函数f(x)在点x是可微的，且AX称作函数在点相应于自变量增量X的微分,记作dy,即dy=Ao通常把自变量X的增量X称为自变量的微分,记作dx,即dx=o于是函数y=f(x)的微分又可记作dy=f,(x)do函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做微商。当自变量X改变为XX时,相应地函数值由f(X)改变为f(x+ax),如果存在一个与ax无关

7、的常数a,使f(x+x)-f(x)和A之差是AXO关于4X的高阶无穷小量，那么称A4X是f(X)在X的微分,记为dy,并称f(X)在X可微。一元微积分中，可微可导等价。记AZSX=dy,那么dy=f(X)dX。例如：d(sinX)-CosXdXo2)其几何意义为：设Ax是曲线y=f(x)上的点M的在横坐标上的增量，Ay是曲线在点M对应Ax在纵坐标上的增量,dy是曲线在点M的切线对应Ax在纵坐标上的增量。当IAXI很小时，IAyYyI比IAy1要小得多(高阶无穷小)，因此在点M附近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。4.2多元微分1)多元微分的概念：与一元微分同理，当自变量为多个时，可得出多元微分的定义。2)多元微分的运算法那么dy=f,(x)dxd(u+v)=du+dvd(u-v)=du-dvd(uv)=duv+dvud(uv)zz(duv-dvu)v23)微分表d(x33)=x2dxd(1x)-1x2dxd(Inx)=1xdxd(-cosx)=sinxdxd(e(x2)/2)=Xec(XA2)高等函数中还有值定理与导数应用、泰勒中值定理、曲率、方程的近似解、不定积分、定积分、平面曲线的弧长、可降阶的高阶微分方程、二阶常系数非齐次线性微分方程、向量代数与空间解析几何、重积分及曲线积分以及无穷级数等，本文就简单的函数问题做一总结。