二项式定理的十一种考题解法.docx

《二项式定理的十一种考题解法.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《二项式定理的十一种考题解法.docx（7页珍藏版）》请在第一文库网上搜索。

1、二项式定理的十一种考题解法1 .二项式定理：2 .根本概念：二项式展开式：右边的多项式叫做3+协的二项展开式。二项式系数：展开式中各项的系数C：(=0,1,2,项数：共。+1)项，是关于与b的齐次多项式通项：展开式中的第r+1项Cx-8叫做二项式展开式的通项。用7；M=CHW表示。3 .注意关键点：项数：展开式中总共有5+1)项。顺序：注意正确选择,b,其顺序不能更改。(+6)与(b+a)n是不同的。指数：。的指数从逐项减到O,是降嘉排列。b的指数从。逐项减到，是升彩排列。各项的次数和等于.系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是c：CC,.：C：,C：.项的系数是。与b的系数

2、(包括二项式系数)。4 .常用的结论：令=1g=x,(1+x)n=C+C+C2+.+C+Cx5N)令=1h=一用(1-xy=C-C+C2+CK+(-iyc:xn(nN*)5 .性质：二项式系数的对称性：与首末两端“对距离的两个二项式系数相等，即C=C,C=CT项式系数和：令=b=1,那么二项式系数的和为ccc.c;+c=2,变形式c：+c；+c+=2-奇数项的二项式系数和二偶数项的二项式系数和：在二项式定理中,令a=1,b=T,那么CyQ-c：+（-y,c-r=O,从而得到：C+CCC+.=C,+C+C+,+=i2n=2n-奇数项的系数和与偶数项的系数和：二项式系数的最大项：如果二项式的号指数

3、篦是偶数时，那么中间一项的二项式系数Cm取得最大值。如果二项式的嘉指数是奇数时，那么中间两项的二项式系W-I/1+1数。了，c7同时取得最大值。系数的最大项：求3+纵）”展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别为A，4,，1，设第一+1项系数最大，应有下一?，从而解出厂来。14+A26 .二项式定理的十一种考题的解法：例：C+C6+G62+C6T=.解：(1+6)rt=C+Cz,16+C9C;+3黑，那么3Sn=C；3+C32+C33+C；3M=C+C*3+C32+C33+C；3n-1=(1+3)-1o(1+3),-14”-1.5.=题型一：利用通项公式求X的系数；例：在二

4、项式(产+才)”的展开式中倒数第3项的系数为45,求含有V的项的系数？解：由条件知C；2=45,即C；=45,/.n2-n-90=0,解得九二一9(舍去)或=10,由_1110r2r1口=-if)-2*=(X4)j(3=CQ43,由题意一+=解得“6,那么含有的项是第7项Q1=CK3=210/,系数为210。练:求(f_1)9展开式中f的系数？2x解：Tr+i=(x2)9-r(-)r=C2r(-Yx-r=q(-)rx,8-3r,令183r=9,那么r=32x22故/的系数为C；(-g)3=o例：求二项式众尸的展开式中的常数项？解：J=CMX2严.(卡),=/(丁吟，令20一Ir=O,得r=8，

5、所以IYw)S=急练：求二项式(23)6的展开式中的常数项？2xJ=C；(2x)FT)(；)=(-1)匕2(今尸,一八日2解：2x2,令6-2厂=0,得r=3,所以=(-i)3c=-20练：假设(炉+工)。的二项展开式中第5项为常数项，那么=X7；=CVx2),4(-)4=C2w,2/解：f2n-2=0,得九=6例：求二项式(-板)9展开式中的有理项?227-r27r解：Tr+=cx2)9-r(-x3)r=(-1)rC;x6,令6G,(Or9)得r=3或r=9,27-r=所以当尸=3时,6jr=(-1)3Cx4=-84x4当尸=9时3=(-D3Cx3=-X27-r_6例:假设(47-)展开式中

6、偶数项系数和为-256,求n.解：设展开式中各项系数依次设为%吗以，令X=-1,那么有aQ+ai+an=，,令尤二,那么有为一十。2+(T)=2,有题意得，-2T=-256=-2,h=9o练:*松”的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024,求它的中间项。解：y+Q+C+=C+d+Cf+=2-/2T=Io24,解得所以中间两个项分别为=6,=7F=q(石唔);462,加=462.”例：g+2%),假设展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数是多少？解：.+=2优,.2-21+98=0,解出=7或=14,当=7时，展开式中二项式系数最大的项是的系数二

7、吗号确系数二吗当i时,展.7；的系数=C(%2=3432开式中二项式系数最大的项是，2练：在(+b产的展开式中，二项式系数最大的项是多少？T=T,解：二项式的得指数是偶数2，那么中间一项的二项式系数最大，即+,也就是第+1项。练：在W-或)”的展开式中，只有第5项的二项式最大，那么展开式中的常数项是多少？-1=5解：只有第5项的二项式最大，那么2,即=8,所以展开式中常数项为第七项等于砂=7例：写出在的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？解：因为二项式的嘉指数7是奇数，所以中间两项(第4,5项)的二项式系数相等，且同时取得最大值，从而有A=W/的系数最小，4二Ga射系数最大。例：假设展开式前

8、二二项式系数和等于79,求(1+2W1的展开式中系数最大的2项？解：由C：+C+d=79,解出=12,假设却项最大，(g+2x)2=(g)2(i+4%y2.d+R4=IG24G4,化简得到9.4r10.4,又.0r12,Ar=IO,展开AmA-C1z24rC,7,4r+,式中系数最大的项为，有7；I=(1)2cio4ioio=16896。练：在(1+2x)H)的展开式中系数最大的项是多少？解：假设J项最大,22rf.r+1AjQ0rc1-2-解得pi-)*KiA+2KrC-2-,V12(10-r),化简得到63A73,又Vr1,.1=7,展开式中系数最大的项为n=CNXJ1536Oa例：求当(

9、f+3x+2)5的展开式中X的一次项的系数？解法：(x2+3x+2)5=(x2+2)+3x5,乙I=C+2产(3%,当且仅当厂=1时的展开式中才有X的一次项，此时却=(=G(d+2)43%,所以X得一次项为C；C：2,3x它的系数为CC；2,3=240O解法：(x2+3x+2)5=(x+1)5(X+2)5=(Cx5+Cb&+C；)(Cx5+C42+C25)故展开式中含X的项为C；XC；2,+C；x2,=240x,故展开式中X的系数为240.练：求式子(+二_2)3的常数项？解:,设第+1项为常数项，那么&I=C；(1)小/(而),=(_1)6玛卜尸，得62=。，=3,.+1=(-1)3C=-2

10、0.题型八：两个二项式相乘；例：求(1+2x)3(1)4展开式中1的系数.解：.(1+2x)3的展开式的通项是C1(2x)m=Cf2zw/,/W_n4r-3解：(1+7)6(1+77=y展开式的通项为C；户O7=C，C；ox练：己知(1+x+2)(+3)”的展开式中没有常数项,V且28,则=.X解：(x+-展开式的通项为C；VE=c；F,通项分别与前面的三项相乘可得X珂：在(x-)26的二项展开式中,含那J奇次塞的项之和为S,当X=时,S=解：iS(x-72)2006=d0+1x,+a2x2+a3x3+6F2006x206(D例：设二项式(3也+2)”的展开式的各项系数的和为P,所有二项式系数

11、的和为s,假X设p+s=272,那么等于多少？解:假设(3x4)n=o0+a1x+H2X2+c,1xn,有P=%+4H1-Ci1t,S=C+，+C：=2,X令X=I得尸=4”，又p+5=272,即4+2”=272=(2+17)(216)=0解得2=16或2=17(舍去)，.=4.练：假设卜五-亡J的展开式中各项系数之和为64,那么展开式的常数项为多少？解：令x=1,那么。五-白)的展开式中各项系数之和为2”=64,所以=6,那么展开式的常数项为C：(3)3?=)3=-540.X例：若(1一2产=%+乎|+犷+府+限产品纵则争争+簧的值为解：令%=；,可得%+尹者+舞=。，.胃+冬+簧=-%:若(X-2)5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2a1x,+0,则q+2+a3+4+5=.解：令X=O得%=-32,令X=1得/+4+4+/+%+%=-1，例：证明：322-8-95N*)能被64整除证:32,+2-8w-9=9w+,-8h-9=(81),+1-8/?-9由于各项均能被64整除.32+2一8-9(川)能被64整除