线性代数复习要点完整版(同济).docx

《线性代数复习要点完整版(同济).docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数复习要点完整版(同济).docx（26页珍藏版）》请在第一文库网上搜索。

1、概念、性质、定理、公式必须清楚，解法必须熟练，计算必须准确A可逆r（A） = nA的列（行）向量线性无关A的特征值全不为0Av 只有零解=Vxwo, Ax oV/? c R, Ar =，总有唯一解ArA是正定矩阵A = EA = PRP、P,是初等阵存在阶矩阵民使得A5 = EAB = E：全体维实向量构成的集合R叫做维向量空间.A不可逆|a| = 0 r（A） nA的列（行）向量线性相关0是加勺特征值Ar =。有非零解,其基础解系即为A关于几=0的特征向量r(aE + bA) n(E + bA =。有非零双军 b曳反身性、对称性、传递性向量组等价矩阵等价（二）矩阵相似（）矩阵合同（=）称为岁

2、的标准基，1T中的自然基，单位坐标向量数材一 trE=n ；任意一个维向量都可以用,电，,外线性表示.行列式的定义I Dn =V行列式的计算:行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.若A与5都是方阵（不必同阶），则（拉普拉斯展开式）(-1)“山忸上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.关于副对角线:a2n-4a2n-二（-1）-4。2（即2所有取自不同行不同列的个元素的乘积的代数和）范德蒙德行列式:二II (七-七)l jin矩阵的定义由mx个数排

3、成的加行列的表A =称为2 x 矩阵.记作：a=（羯）或anuJ伴随笙阵I A*=（aJAA2A2 , Al、A2 Ai2,A为A中各个元素的代数余子式.V逆矩阵的求法:(Clad-hc-c主换位副变号（A石）加等嚏换-乂 E ,： A）-1x1ChV 方阵的事的性质:A=4+ (Am)n=(A),nnJ设4x，纥i A的列向量为4,阳，%，B的列向量为万|,河,，反，则 ab = c.xs (%，)bi2 bs“22”25亿,。2,q) A以=C. , (i = l, 2,s) Bi 为4% = 0的解=A（后血，血）=（A坏明，明）= （q,C2,q） qq，,G可由线性表示,即：C的列向

4、量能由A的列向量线性表示，B为系数矩阵.同理：C的行向量能由8的行向量线性表示，A7为系数矩阵.即:V用对角矩阵A乘一个矩阵，相当于用A的对角线上的各元素依次乘此矩阵的。向量;用对角矩阵A 乘一个矩阵,相当于用A的对角线上的各元素依次乘此矩阵的砂向量.V两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.V分块矩阵的转置矩阵:阡=3D) BT分块矩阵的逆矩阵：八 二B） B分块对角阵相乘：A“ cX - (A 田、0 =。 B ,a y 1S B)0、B,B =b22)4、4区作为向量组等价,即：秩相等的向量组不一定等价.矩阵A与B作为向量组等价。“,%，%）= %，&血）= %，%，。，片，尸

5、2,血）=矩阵A与B等价.向量组片,人,，力.可由向量组4,4，%线性表示=AX =3有解 .（%,%，,，%）=回。2,a”,四,尻，氏）n %,夕2,，氏）4，%，%） 向量组凡62,，-可由向量组囚，。2,，%线性表示，且$，则注血，氏线性相关向量组4, A,女线性无关,且可由四,鬼，。线性表示,则$. 向量组夕i,4，可由向量组4，%，%线性表示，且（囚1，夕2,血）=则两向量组等价;教材94,例10任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价.向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定. 若两个线性无关的向量组等价，则它们包含的向量个数相等.设A是2

6、X矩阵，若A） = m, A的行向量线性无关；若A） = ，A的列向量线性无关，即：0,%，。线性无关V矩阵的秩的性质：若 A = OoA) = 00 W r(Awix)&min。%,)/(A) = /(A/)= AA)教材101,例15厂(公)= r(A) 若攵工0若/，纥 XS，若 A3) 二 nr(A) + r(B) A在矩阵乘法中有左消去律AB = O = B = 0AB = ACB = C若通)= nr(AB) = r(B)B在矩阵乘法中有右消去律.(E(j若4)=r=A与唯一的 等价，称0 为矩阵加勺等价标准型.maxr(A), r(B) W r(A, B) W r(A) + r(

7、B)教材70厂o、B,(O A)九J= r(A) + r(fi)(ArC、B)wr(A) +r(8)/1阿山4出,%辘标0如夕解or(A)=r(AA=11O薪蝌|n q a,”娜帙o M 0腓哪右出康将嬲上吗|& On歌娜期O标辨n q瓜冈辘无关o怔o贿藕O/例打(八浒环可由蛾膜示o如阴A,r(A) r(A /)蜥O伽上俯)拗触施躺苑回出。卜朝榭”?导嘶拗k俯上4:卜黜铀有鳏峭+%+.+科=夕% .。： j=l%M1.1;叫,邛IMJ III口力晒0H二例耳I=(y)l uMj- 1iIIrA1IIAIIAIIIAtopJ 一IICX3一一fAiII注g7IItog4尾IIIA-1、IIn:V

8、一一、二J1II1三J,一7IIS7IIAAqAIIAII至teA1+_K一、1 +te4A4+te4+i珏A1+171MII-w-J.l1II=aBl:T*C -1Jh7II，一A7，一,1一、A、 1II一J 1一-、II，一7(1) 7,4是Ar =。的解,7+%也是它的解齐次方程组是Ax = o的解,对任意女,切也是它的解(3) 7, %,7是Ax =。的解,对任意上个常数+ 4%+4，7也是它的解线性方程组解的性质：(4) /是4二夕的解力是其导出组4 = 0的解J +是Ax = /7的解(5) 7，%是小;二夕的两个解，7-%是其导出组心=。的解(6) %是加=尸的解,则7也是它的解o7-仍是其导出组心=。的解(7) 7,%,，W是Ar =尸的解，则47 +旬2 + 4也是Ax =夕的解=4+4+4=1+ 4% +为么是Ax = o的解 4 + 4 +4=oV 设 A 为2 x 矩阵,若 A)=m= r(A) - r(A ：Q = Ax = 3 一定有解,22当机 雇时，一定不是唯方程个数 未知数的个数二向量维数 向量个数则该向量组线性相关.团是广(和广缶/)的上限.V判断7,，么是Ax =。的基础解系的条件：7,，么线性无关；1,%，3，7都是 =0的解；s = -r(A) =每个解向量中自由未知量的个数.V 一个齐次线性方程组的基础解系不唯一