金融工程课后题1320习题解答renzhengliangLite.docx

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1、金融工程课后题1320习题解答renzheng1iang(1ite)Ch1313.1 不是可交易证券价格的变量的风险价格是如何定义的？解：不是可交换证券价格的变量的风险市场价格是通过求可交换证券的风险市场价格而来，但必须满足该可交换证券的价格与不是可交换证券价格的变量瞬态完全正相关。13.2 假设黄金的风险市场价格为零,如果贮存成本为每年1%,无风险年利率为6%,那么黄金价格的期望增长率为多少？解：由公式m-s=r-y+u,ff=0zr=0.06zy=0zu=0.01所以m=0.07.即期望增长率为0.07o13.3 一个证券的价格与以下两个变量正相关：铜的价格和日元兑美元的汇率，假设这两个变

2、量的风险市场价格分别为05和0.1o若铜的价格固定,则该证券的波动率为每年8%;如果日元对美元的汇率固定，则该证券的波动率为每年12%无风险利率为每年7%o证券的预期回报率为多少？如果两个变量彼此之间是不相关的，该证券的波动率为多少？解：(1)令U为证券的预期收益率，已知无风险利率r=0.07z铜价和日圆兑美圆汇率的风险市场价格分别为1=0.5和2=0.1,铜价固定时汇率引起的证券波动率为q2=0.08,汇率固定时铜价引起的证券波动率为1=0.12o因此由公式u-r=11+22可得u=0.138即证券的预期收益率为每年0.138(2)由1dz1+2dz2r+22=dz3代入1,2的值可Jr+2

3、2j得(S)*TmTSSe入-?为0.144即铜价和日圆兑美圆汇率不相关时证券的波动率为0.14413.4 某个石油公司只是为了开发德克萨斯一个很小区域的石油。其价值主要依赖于如下两个随机变量：石油的价格和以探明石油的储存量。讨论：这两个变量中的风险市场价格为正数、负数还是零？解：第二个变量的风险市场价格为0。这是因为这种风险是非系统的，它与经济社会的其他风险完全不相关，投资者不能因为承担这种不可转换的风险而要求更高的回报。13.5 通过两个无红利支付的交易证券和两个依赖于这两个无红利支付交易证券价格的衍生工具构成一个无风险组合，推导出这个衍生工具的微分方程。证明此微分方程和13B.11所给的

4、微分方程一样。解：假定两个无红利支付交易证券的价格分别为S1和S2,而依赖于它们的衍生工具的价格为f,可以得到如下等式：dS1=u1S1dt+1S1dz1;dS2=u2S2dt+2S2dz2又根据Ito定理可得式：11221212121211122212122222222)1122dfuSuSdtSdzSdzfffffSStSSfffSSSSP=+由121212121212121222222221122rfrSrSdtrfrSrSffSSfffffftssssssp=+=+?可得1212ddfdSdSffSS=+?=121212122222222()1122dtfffftssssp-+?所以，

5、根据无风险组合特性：drdtn=n我们可以得到等式:121212122222222()1122dtfffftSSSSpaaaa-+?1212()rfSSdtffSS=+?因此01212222222()1122rfdtdxafffSSSSp?=-+?7-?又由13B.11知道111222mmr-=所以这个衍生工具的微分方程和13B.11所给的微分方程一样。13.6 一个远期合约在T时刻盈亏状态为(STK)日元，其中ST是T时刻黄金的价格，K是以美元计的交割价格。假设储存成本为零，若有必要可定义其他变量，计算远期价格。解：假设?E是从日圆投资者来看的风险中性世界中的期望值，TQ是T时刻用日圆表示的

6、一美圆的价值，r、fr分别是美圆和日圆的无风险利率,q是指数的红利收益率，P是SQ和的瞬时相关系数，SQ。和是S和Q的波动率，F是远期价格由本章可得如下等式:?TTTESQFEQ?=s()()7fTTrTtrEQQe?-=以及(2)()?fSQTTTTrTtqrESQSQep?-+=所以，远期价格()()fSQTrTtqFSepF=13.7 豆油的便利收益是年率5%,年贮存成本为1%,无风险利率为年率6%。豆油价格期望增长率为0。那么6个月的期货价格和6个月的期望价格之间有何联系？解:y=r+u-m+s,已知y=0.05.r=0.06,u=0.01,m=0,可求得s=-0.02因为f=*E(T

7、S)=0S(s)mTe入-?,E(TS)=0SmTe所以F=E(TS)sTe-7=E(TS)0.020.5e7=1.01E(TS)即六个月的期货价格比六个月的期望价格高出百分之一。13.8 铜的风险市场价格为0.5,铜的年波动率为20%,即期价格为每磅80美分，6个月期货价格为每磅75美分。问在下6个月中预期铜价的相应增长率为多少？解：由上题知道F=E(TS)sTe-7o而入=0.5,s=0.2,OS=0.8,F=0.75和T=0.5可求得E(TS)=0.7885又因为OS=0.81E(TS)=0SmTe,所以m=-0.03即期望增长率为负百分之三。13.9假设一利率x遵循如下过程：O()dx

8、aXXdt=-+其中a、Ox、和C是正常数。假设X的风险市场价格是o当用扩展后的风险中性原理估计一个衍生工具时，漂移率是如何被调整的？解：题中等式可改写为：()dtdzdxaXXXX=+-,其中0不ax-是利率的期望增长率/是它的干扰项，那么在风险中性世界期望增长率为忑0aXXX因此，过程变为()dtdxaXXXX?=-+?-,即O()dxaXXdt?=-+?,7yxi所以，漂移率调整为13.10一个证券在T时刻的盈亏状态为SIS2,其中S1是标准普尔500指数的水平，S2是石油的价格。假设SI和S2都遵循几何布朗运动且不相关。若有必要，可定义其他变量，计算T时刻该证券的价值。解：假设q、分别

9、是标准普尔500指数和石油价格增长率，r是无风险利率由公式13.14:()7TTtrfEfe-二,以及考虑本题有12TfSS=而根据布朗运动知道121212()()7qTtESSSSep=所以,T时刻该证券的价值为121222200()m-SqTtTtrfSSeeep-+-=13.11 应用风险中性定价原理证明：6个月后以一股IBM股票兑两股柯达股票的期权价格与利率无关。解：由题意可假设现时刻一股IBM股票刚好可兑换两股柯达股票，那么六个月后一股IBM股票兑两股柯达股票的期权价格即是后者与前者的远期价格之差，令S10、S20分别是IBM股票和柯达股票的现时刻价格，即S10=2S20;再令m1、

10、m2分别是两股票的预期增长率，根据风险中性定价原理，在风险中性世界中两者的预期增长率为m1-HsXm1-22s入，IBM股票和柯达股票六个月的远期价格为S10I11m-S1()2e入、S20222m-s1()2e所以在风险中性世界中期权价格为2S20222m-s1()2e-S10I11m-s102e入，即与利率无关，根据风险中性定价原理将其应用到风险世界中同样成立13.12 假设有一商品，其波动率。为一常数，无风险收益率也为常数。证明在风险中性的世界中：2In1n(),2TSFTt7-?其中TS为T时刻商品的价值，F是到期日T时刻期货合约的价格。解：由第11章我们可得2InIn()(),2TS

11、STt7+-?,而()TtFSe-=?,JT-tgpnIn()FSTt=+-所以，2InIn()z2TSFTt7-?仃-1Ch1414.1 一个看涨期权的de1ta值为0.7意味着什么？若每个期权的de1ta均为0.7,如何使一个1000个看涨期权的空头变成de1ta中性？解：De1ta为0.7意味着：当股票价格上涨一个小量AS时，期权价格上涨70%S。反之亦然。IOOO个看涨期权空头其De1ta是-700,可以购买700股使之变成De1ta中性。14.2无风险年利率为10%,股票价格的年波动率为25%,计算标的物为不分红股票，6个月期两平期权欧式看涨期权的de1ta值。解：SO=Xfr=0.

12、1z=0.25zT=0.5210.3712d=O.253k看涨期权de1ta为N(d1)或0.6414.3若以年计,一个期权头寸的theta值为-0.1意味着什么？若一个交易者认为股票价格和隐含波动率都不会变，那么期权头寸是什么类型？解：Theta为-0.1意味着：如果t年后，股票价格和波动率都不变，期权价值下降0.1似o如果交易者认为股票价格和隐含波动率都不会变，期权头寸会选择一个尽可能高的theta值，相对来说，短期平价期权具有最高的theta值。14.4 期权头寸的gamma是代表什么？当一个期权空头头寸的gamma为很大的负值时，并且de1ta为零，其风险是什么?解：Gamma代表某种

13、标的资产的衍生证券组合的de1ta变化相对于标的资产价格变化的比率。当一个期权空头头寸的gamma为很大负值，而de1ta为0,风险在于：如果资产价格有大的变化（上升或下降），该交易者会遭受巨大损失。14.5构造一个合成期权头寸的过程就是对冲该期权头寸的逆过程。请你解释这句话的意思。解：要为一个期权套期保值，必须构造一个数量相同、头寸方向相反的合成期权。比如说，要为一个看跌期权多头套期保值，就必须构造一个合成看跌期权的空头。这就是说：构造一个合成期权头寸的过程就是对冲该期权头寸的逆过程。14.6 为什么在1987年10月19日证券组合的保险方式失效了？解：如果指数波动率变化迅速或者股票指数产生

14、很大的跳跃，那么构造基于指数的合成看跌期权不是很有效的办法。因为他们无法足够快的卖出股票或者指数期货以保护原头寸免遭损失。1987年10月19日，市场下跌的太快，以至于证券组合不能及时做出反应。14.8 一个执行价格为$40的处于虚值状态的看涨期权，其b1ack-scho1es公式的价格为$4.00o一个出售了该期权合约的交易商计划使用第14.3节中的止亏策略。交易商计划以$1408买入，以$7398卖出。估计股票被买入或卖出的预期次数。解：在该策略中，交易者每次买卖股票要花费$1/8,预期总成本是$4,意味着：股票买卖次数大约为32次。买和卖的次数分别大约为16次。14.9 利用看涨-看跌期权之间的平价关系推导不分红股票的如下二者之间的关系：(a)一个欧式看涨期权的de1ta值和一个欧式看跌期权的de1ta值(b)一个欧式看涨期权的gamma值和一个欧式看跌期权的gamma值(C)一个欧式看涨期权的Vega值和一个欧式看跌期权的vega值(d)一个欧式看涨期权的theta值和一个欧式看跌期权的theta值解：对于不分红股票，根据看涨-看跌平价关系有：在t时亥IJ,()rTtpScXe+=+(a)对S求偏导Ipcss?+=?或者Ipcs