相似三角形的性质及判定知识点总结经典题型总结.docx

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1、相似三角形的性质及判定Olig 中考要求板块考试要求A级要求B级要求C级要求相似三角形了解相似三角形掌握相似三角形的概念，判定及性质，以及掌握相关的模型会运用相似三角形相关的知识解决有关问题mi刚住知识点睛、相似的有关概念1 .相似形具有一样形状的图形叫做相似形.相似形仅是形状一样，大小不一定一样.相似图形之间的互相变换称为相似变换.2 .相似图形的特性两个相似图形的对应边成比例，对应角相等.3 .相似比两个相似图形的对应角相等，对应边成比例.八相似三角形的概念1.相似三角形的定义对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形.如图，4ABC与AABC相似，记作ABCsaaBC,符号s读作“相

2、似于.AA2.相似比相似三角形对应边的比叫做相似比.全等三角形的相似比是1. “全等三角形 一定是“相似形，“相似形不一定是“全等形.三、相似三角形的性质1.相似三角形的对应角相等2.相似三角形的对应边成比例ARABC与 ABC相似，那么有AB3.相似三角形的对应边上的中线，似比.八公BC BCBC AC 巴-k ”为相似比）.BC AC高线和对应角的平分线成比例，都等于相如图， ABC与 ABC相似，那么有 A A , B B , C C .如图1, ABC与 ABC相似，BC边上的中线，那么有“8AB如图2, ABC与 ABC相似，BC边上的高线，那么有幽AM是 ABC中BC边上的中线，A

3、M是AABC中-BC- AC-： k（k 为相似比）BC ACAMA&Abc B M C图1AH是 ABC中BC边上的高线，AH是AABC中史A? k空k为相似比）.AB BC ACAHA如图3, AABC与 ABC相似，中B AC的角平分线，那么有图2AD是 ABC中BAC的角平分线，AD是AABCAB BC AC k八（k为相似比）. A B BC ACA D :A1Aa小A4.相似三角形周长的比等于相似比.如图4, ABC与 ABC相似，那么有ABjflrB-比例的等比性质有ABBCACAB BCB-e- Ae- A-BB-eBCB-e-ACAC kk为相似比.应用k .A5.相似三角形

4、面积的比等于相似比的平方.如图5, ABC与 ABC相似，AH是 ABC中BC边上的高线,AH是ABC中BC边上的高线，那么有 AB BC AC k AH （k为相似比）.-BT _7TC ,TTFT进而可得Sa ABC ； BC AH BC AH 2/kO|_ abcB C A H B C A H-2A四、相似三角形的判定1 .平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.2 .如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似.3 .如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，

5、并且夹角相等,那么这两个三角形相似.4 .如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似.可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似.5 .如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.6 .直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似常用但要证明）7 .如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似.五、相似证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、复合式证明比例式或等积式的主要方法有“三点定形法.1

6、.横向定型法欲证 吧，横向观察，比例式中的分子的两条线段是AB和BC,三个字BE BF母A, B, C恰为aABC的顶点；分母的两条线段是BE和BF ,三个字母B , E , F恰为4BEF的三个顶点.因此只需证 ABC EBF .2 .纵向定型法欲证.21.,纵向观察，比例式左边的比AB和BC中的三个字母A, B, C恰BC EF为aABC的顶点；右边的比两条线段是DE和EF中的三个字母 d,E,F恰为 DEF的三个顶点.因此只需证 ABCsDEF.3 .中间比法由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有一样点的情况，此时可考虑运用等线，等比或等积进展变换后，再考虑运用三点定形法寻找相

7、似三角形.这种方法就是等量代换法.在证明比例式时，常用到中间比.比例中项式的证明，通常涉及到与公共边有关的相似问题。这类问题的典型模型是射影定理模型，模型的特征和结论要熟练掌握和透彻理解.倒数式的证明，往往需要先进展变形，将等式的一边化为1,另一边化为几个比值和的形式，然后比照值进展等量代换，进而证明之.复合式的证明比拟复杂.通常需要进展等线代换（对线段进展等量代换），等比代换，等积代换，将复合式转化为根本的比例式或等积式，然后进展证明.六、相似证明中常见辅助线的作法在相似的证明中，常见的辅助线的作法是做平行线构造成比例线段或相似三角形，同时再结合等量代换得到要证明的结论.常见的等量代换包括等

8、线代换、等比代换、等积代换等.如图：AD平分BAC交BC于D ,求证：BP . .坦.DC AC证法一：过C作CE/AD,交BA的延长线于E .1 2, 3 E. AC AE . BD BA BA DC BE AC点评：做平行线构造成比例线段，利用了 “A型图的根本模型.证法二；过B作AC的平行线，交AD的延长线于E.12 E , AB BE . CL / AC BD BE AC , -AB.DC AC AC点评：做平行线构造成比例线段，利用了 “ x型图的根本模型.转化来图1: “山字”型七、相似证明中的面积法面积法主要是将面积的比，和线段的比进展相互解决问题.常用的面积法根本模型如下：7

9、BC AH如图: 去但 -2 . ACD T CD AH CD2如图：Sa abcS BCD-1 BC AH2BC DG2AH A DG OD如图：SaBD s、ABD S AEDSa ace Sa aed Sa aceAB ADAE ACAB AD AE AC八、相似证明中的根本模型DCE AAAA例题精讲一、与三角形有关的相似问题【例1】如图，在 ABC中，ACAB ，点D在AC边上，假设在增加一个条件就能使 ABC-A ACB ,那么这个条件可以是AE AB ，求证：ADE B .【稳固】如图，D、E是ABC的边AC、AB上的点，且AD AC【稳固】如图，在的4倍,ABC 中，AD BC

10、 于 D , CE AB 于 E ,AC 6 ,求DE的长.【例2】 如图，ZXABC中， ABC 60,点P是 ABC内一点,PA 8, PC 6,那么 PBABC的面积是 BDE面积使得 APB BPC CPA ，【稳固】如图，三个边长相等的正方形相邻并排，求AEBF【例3】如图，ABC中，AE:EB 1:3 , BC : CD 2:1 , AD与CE相交于F ,那么AF 变的 FC FD值为A3b.1 C,322【稳固】在ABC中，BD CE , DE的延长线交BC的延长线于P ,求证：AD BP AE CP .【稳固】如图，M、N为AABC边BC上的两点，且满足BM MN NC , 一条平行于AC的直线分别交AB、AM和AN的延长线于点E和F.求证：EF 3DE .【例4】 如图，AB/EF/CD ,假设AB a , CD b , EF c，求证：J、11;-bac【稳固】如图，AB BD, CD BD,垂足分别为B、D, AC和BD相交于点E, EF BD ,垂足为F.证明：1 4.AB CD EFAC【稳固】如图，AB/EF/CD,找出Sabd、S bed