条件概率及独立事件 中等教师版.docx

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1、条件概率及独立事件中等目录考点一：条件概率与独立事件1题型一、条件概率3题型二、相互独立事件4课后综合巩固练习6考点一：条件概率与独立事件条件概率的概念定义设A、B为两个事件，且P(A)O,在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率。用符号P(BA)表示。P(B1A)读作：A发生的条件下B发生的概率。在条件概率的定义中，事件A在“事件B己发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是不同的，应该说，每一个随机试验都是在一定条件下进行的.而这里所说的条件概率，则是当试验结果的一部分信息已知，求另一事件在此条件下发生的概率.P(A1B)、P(AB)、P(B)的区别P(AIB)是在

2、事件B发生的条件下，事件A发生的概率。P(AB)是事件A与事件B同时发生的概率，无附加条件。P(B)是事件B发生的概率，无附加条件.它们的联系是：P(A1B)=幽.P(B)一般说来，对于概率P(A1B)与概率P(A),它们都以基本事件空间Q为总样本，但它们取概率的前提是不相同的。概率P(A)是指在整个基本事件空间Q的条件下事件A发生的可能性大小，而条件概率P(AB)是指在事件B发生的条件下，事件A发生的可能性大小。【例1】盒中球的个数如下表。从中任取一球，记A=取得蓝球”，B=取得玻璃球”。基本事件空间Q包含的样本点总数为16,事件A包含的样本点总数为I1故P(A)=玻璃木质总计红235蓝47

3、11总计61016如果已知取得玻璃球的条件下取得蓝球的概率就是事件B发生的条件下事件A发生的条件概率，那么在事件B发生的条件下可能取得的样本点总数应为“玻璃球的总数”，即把样本空间压缩到玻璃球全体。而在事件B发生的条件下事件A包含的样本点数为蓝玻璃球数，故P(AI8)=M63条件概率的公式计算事件B发生的条件下事件A发生的条件概率，常有以下两种方式：利用定义计算.先分别计算概率P(AB)及P(B),然后借助于条件概率公式P(A13)=华学求解.P(B)利用缩小样本空间的观点计算.在这里，原来的样本空间缩小为已知的条件事件B,原来的事件A缩小为事件AB,从而AB包含的基本事件数n(AB)P(AI

4、B)=D丁客二Z，即：P(BIA)=T77=,此法常应用于古典概型中的条件概率求解.B包含的基本事件数MA)相互独立事件定义：事件A(或8)是否发生对事件8(或A)发生的概率没有影响，即P(B14)=P(B),这样的两个事件叫做相互独立事件。若A与8是相互独立事件，则A与7，可与8,可与否也相互独立。相互独立事件同时发生的概率公式：对于事件A和事件B,用A8表示事件A、B同时发生。(1)若A与B是相互独立事件，则P(45)=P(4)P(5);(2)若事件A，&，,A.相互独立，那么这个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即:P(A441)=P(A)P(4),p(4)。P(AB)=P

5、(A)P(B)使用的前提是A、B为相互独立事件，也就是说，只有相互独立的两个事件同时发生的概率，才等于每个事件发生的概率的积.两个事件A、B相互独立事件的充要条件是P(AB)=P(A)-P(B)o相互独立事件与互斥事件的比较互斥事件与相互独立事件是两个不同的概念，它们之间没有直接关系。互斥事件是指两个事件不可能同时发生，而相互独立事件是指一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响。一般地，两个事件不可能既互斥又相互独立，因为互斥事件是不可能同时发生的，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提的。相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积,这一点与互斥事件的概率和也是不同的。几种事

6、件的概率公式的比较已知两个事件A,B,它们发生的概率为P(A),P(B),将A,B中至少有一个发生记为事件A+B,都发生记为事件A-B,都不发生记为事件入豆，恰有一个发生记为事件A5+K8,至多有一个发生记为事件不5+不8+A5,则它们的概率间的关系如下表所示：概率A,B互斥A,B相互独立P(A+B)P(A)+P(B)I-P(A)-P(B)P(AB)OP(A)P(B)p(B)1-p(A)+P(B)P(A)P(B)P(AB+A)P(A)+P(B)P(A)P(B)+P(A)P(B)p(ab+ab+ab)1I-P(A)-P(B)题型一、条件概率1.一个盒子装有4件产品，其中有3件一等品，1件二等品.

7、从中不放回的取两次，每次取出一件.设事件A为“第一次取到的是一等品”，事件3为“第二次取到的是一等品”.则P(84)=()3 I21.-B.-C.-D.-4 332【分析】由古典概型及条件概率得：P(BIA)=-=-,得解.93【解答】解：由题意可得：事件4的基本事件有=9个，事件8的基本事件有8=6个，即P(6A)=,故选：C.【点评】本题考查了古典概型及条件概率，属中档题.2.将一枚质地均匀且各面分别有狗，猪，羊，马图案的正四面体玩具抛掷两次，设事件A=两次掷的玩具底面图案不相同),B=(两次掷的玩具底面图案至少出现一次小狗,则P(8A)=()A.B.C.-D.1212212【分析】由古典

8、概型及条件概率得：P(BA)=-=,得解.122【解答】解：由题意有：事件4=(两次掷的玩具底面图案不相同，则事件A的基本事件有%=12种，事件B=两次掷的玩具底面图案至少出现次小狗,则事件B的基本事件有C用=6种，WP(BA)=-=-,122【点评】本题考查了古典概型及条件概率，属中档题.3.抛掷甲、乙两颗骰子，若事件A：“甲骰子的点数大于3”；事件8：“甲、乙两骰子的点数之和等于7”，则尸(8/A)的值等于()A.-B.-C.-D.36918【分析】先求出A发生的概率，再求出事件A与事件8都发生的概率，根据条件概率的概率计算公式即可求出结果.【解答】解：由题意可得：事件A：“甲骰子的点数大

9、于3”包含点数为4,5,6三种情况，所以为P(A)=,62又事件“甲、乙两骰子的点数之和等于7”，所以，事件A与事件8都发生所包含的情况有(4,3),(5,2),(6,1),共3个基本事件；而抛掷甲、乙两颗骰子，共有36种情况，所以事件A与事件B都发生的概率为2(48)=怖，故P(MA)=迹=1P(A)6故选：B.【点评】本题主要考查条件概率，熟记概率的计算公式即可，属中档题.题型二、相互独立事件1.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A,“骰子向上的点数是3”为事件8,则事件A,B中恰有一个发生的概率是()3135A.B.-C.-D.-10257【分析】由相互独立事

10、件同时发生的概率得：事件A,4中恰有一个发生的概率是J!+J3=1,得解.26262【解答】解：由己知有“硬币正面向上”为事件A,“骰子向上的点数是3”为事件8,则事件4,B中恰有一个发生的概率是1,+12=,26262故选：B.【点评】本题考查了相互独立事件同时发生的概率，属中档题.2 .某班组织由甲，乙，丙等5名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为()【分析】设事件A=学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场,事件3=学生丙第一个出场,则要求的是P(8A)=匹辿，转化成计算P(AB)和2(A)

11、,即可.户(4)【解答】解：设事件A=学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场,事件8=学生丙第一个出场),Q43a所以P(AB)=*=上8203-=P(A)=6+3x3x=22,620所以P(B1A)=M些=P(A)故选：A.【点评】本题考查了条件概率，排列组合，计数原理等知识，考查分析问题解决问题的能力和计算能力，属于中档题.3 .甲、乙两学生独立地解答同一道数学问题，甲生解答正确的概率是0.9,乙生解答正确的概率是0.8,那么至少有一学生解答正确的概率是()A.0.26B.0.28C.0.72D.0.98【分析】先记“甲解答数学问题正确”为事件A,“乙解答数学问题正确”为事件8,根据

12、题意即可求出结果.【解答】解：记“甲解答数学问题正确”为事件A,“乙解答数学问题正确”为事件8,由题意可得尸(A)=0.9,P(B)=0.8,则至少有一学生解答正确的概率是：P=I-(I-P(A)(1-P(B)=0.98.故选：D.【点评】本题主要考查相互独立事件的概率，熟记概率计算公式即可，属于基础题型.4.据统计，某位同学在大考中语文和数学成绩达到优秀等级(120以上)的概率分别为0.6和0.8,假设两科考试成绩相互独立，则这位同学在期中考试中语文和数学至少有一科优秀的概率是()A.0.08B.0.44C.0.48D.0.92【分析】利用对立事件、相互独立事件概率计算公式能求出这位同学在期

13、中考试中语文和数学至少有一科优秀的概率.【解答】解：据统计，某位同学在大考中语文和数学成绩达到优秀等级(120以上)的概率分别为0.6和0.8,假设两科考试成绩相互独立，则这位同学在期中考试中语文和数学至少有一科优秀的概率是：P=1-(1-0.6)(1-0.8)=0.92.故选：【点评】本题考查概率的求法，考查对立事件、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.5.袋子中装有大小、形状完全相同的2个白球和2个红球，现从中不放回地摸取两个球，已知第二次摸到的是红球，则第一次摸到红球的概率为()A.-B.-C.-D.-6325【分析】第二次摸到红球时，第一次是从2个白球和一个红球

14、中摸到红球.【解答】解：在第二次摸到红球的条件下，第一次从3个球中摸到红球的概率为1.3故选：B.【点评】本题考查了条件概率与独立事件，属中档题.6.甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为2,乙每次击中目标的概率为，两人间每次射击是否32击中目标互不影响.(1)求乙至多击中目标2次的概率；(2)求甲恰好比乙多击中目标1次的概率.【分析】(1)乙击中目标3次的概率，由相互独立事件的概率乘法公式，易得到乙击中目标3次的概率，再根据对立事件的概率公式求出乙至多击中目标2次的概率即可.(2)甲恰好比乙多击中目标1次分为：甲击中1次乙击中。次，甲击中2次乙击中1次，甲击中3次乙击中2次三种情形，分类计算出概率后，根据互斥事件概率加法公式，即可得到答案.【解答】解：(1)因为乙击中目标3次的概率为g)3=g,所以乙至多击中目标2次的概率P=I-(g)3=.(5分)(2)甲恰好比乙多击中目标1次分为：甲击中1次乙击中。次，甲击中2次乙击中1次，甲击中3次乙击中2次三种情形，其概率刊=。；三(32(%+戏(2)2二以(3+(2)3。；/)3=*.(12分)3323323236【点评】本题考查的知识点是相互独立事件的概率乘法公式，互斥事件概率加法公式，其中分析这个事件是分类的(分几类)还是分步的(分几步)，然后再利用加法原理和乘法原理进行求解，是解答本题的关键.课后综合巩固练习1