均衡不等式公式.docx

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1、均衡不等式公式1 .均值定理：如果Q、6B+（K+表示正实数）,那么空林，当且仅当Q二加寸，有等号成立，此结论称为均值不等式或基本不等式.2 对于任意两个实数Q、b,哈叫做。、算术平均值，五（qb0）叫做Q、b的几何平均值；均值定理可以表述为：两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值3 .两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值.4 定求和最小值：a+b20和定求积最大值：Qb（年）2均值不等式具有“和积互化”的放缩功能.补充：1.均值不等式的变形：/耳亘吟2（虫产）2壬（调和平均数）；做差证明即可；平方平均数算术平方数几何平均数2调和平均数均值不等

2、式使用注意事项：一正二定三相等四同时一正：其实同号即可，不能异号；二定：和一定或积一定；三相等：当且仅当=时，能取到等号，否则不能使用结论；四同时：连续使用时，必须使每一个的等号都成立条件相同【例1】下列函数中,最小值为4的函数是04j=h+JBy-sinx+备C.y-exxDg=10g3x+Iog181【答案解析】C4需要N0；B需要SE0;。需要N1（2）已知N1,贝如=1I+47的最大值是【答案解析】4（不符合一正，需要处理）U=（1）+71（x-1）742/4【例2】(1)求函数g=x2+Vr的最小值,并求出取得最小值时的1值.【答案解析】I=1时取到最小值.2/=X2+1+炉：-124-1=3/+1=时等号成立(2)求y=噫?的最大值,【答案解析】3先取倒数卷=7=(2+1+)X23=畜.,.2/Vz3【例3】设bO,则a?+旃、的最小值是OA.1B.2C.3D.4【答案解析】D方法一：显两=方%分母出现a?-ab,为了使用均值不等式，多项式中应该出现2-ab手段：凑02+=a2-ab+ab+2+2=4切记：验证两个均值襁式成立的条件应该一致，否则结论不对方法二：。2+今+而、=02+(1+)b(Q-b)(f)2=宇.2+寻T)砂+*4(又出现连续使用，需要验证等号成立的条件)