14基本不等式学案.docx

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1、第四节基本不等式【课标标准】1掌握基本不等式府W早(a0,b0)2结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.必备知识夯实双基知识梳理1 .基本不等式：(1)基本不等式成立的条件：a0,b0.(2)等号成立的条件：当且仅当时取等号.(3)其中，称为正数a,b的算术平均数，称为正数a,b的几何平均数.2 .基本不等式的两种常用变形形式(1)ab(a,bR,当且仅当=b时取等号).(2)+b2(a0,0,当且仅当=b时取等号).3 .利用基本不等式求最值已知QO,yX),则(1)如果积犯是定值P,那么当且仅当时，x+y有最小值.(简记：积定和最小).(2)如果和x+y是定值S,那么当

2、且仅当时，外有最大值.(简记：和定积最大).常用结论1 .-+2(0),当且仅当a=b时取等号.ab2 .应用基本不等式求最值要注意“一正、二定、三相等，忽略某个条件，就会出错.夯实双基1 .思考辨析(正确的打“J”，错误的打“X”)(1)不等式a?+b222ab与券FB成立的条件是相同的.()(2)函数y=x+：的最小值是2.()(3)x0且y0是X+*22的充分不必要条件.()yX(4)函数yX+京，w(,以的最小值为4.()2 .(教材改编)已知0x2)在x=a处取最小值，则a=()A.12B.1+3C. 3D.45.(易错)y=2+x+x0)的最小值是2B.慧的最小值是c京卷的最小值是

3、2D. 23x一士的最大值是243X(2)设OVXq则函数y=4x(32x)的最大值为.题后师说拼凑法求最值的策略巩固训练I2023辽宁沈阳三十一中月考下列函数中，最小值为4的是（）.14A. y=x+-B. y=x+击+4（x-2）C. y=cos2x-jCOS2XD. y=x2+2x+4角度二常值代换法求最值例22023河南信阳模拟设a0,b0,且a+b=1,则的最大值为（）a+4bA.-B.-C.-D.-109275题后师说常数代换法求最值的一般步骤巩固训练2（1）2023辽宁鞍山模拟已知正实数a、b满足a+b=2,则:+工的最小值是（）Da7QA.-B.-C.5D.922（2）a0,b

4、0,ab=4ab,则a+b的最小值为.角度三消元法求最值例32023安徽合肥八中模拟己知x0,y0,满足x?+2Xy-I=0,贝J3x+2y的最小值是（）A.2B.3C.23D.22题后师说当已知条件是含有两个变量的等式时，可以采用把其中一个量用另一个量表示，代入所求代数式中再结合基本不等式求解.巩固训练3已知正实数a,b满足abb+1=0则工+4b的最小值是.a题型二利用基本不等式证明不等式例42023安徽寿县一中模拟己知a,b,cR+,且+b+c=2.(1)求a2+Z+c的取值范围；求证：-18.abc题后师说利用基本不等式证明不等式，先观察题中是否有符合基本不等式的条件.若有，则可以直接

5、利用基本不等式证明；若没有，则对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之达到使用基本不等式的条件.巩固训练42023江西金溪一中模拟已知正实数加，满足/+2=4加22证明.呜+黯8.题型三基本不等式的实际应用例5某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的四周墙壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米IOO元，池底建造单价每平方米60元(池壁厚忽略不计).（1）污水处理池的长设计为多少米时，可使总造价最低；（2）如果受地形限制，污水处理池的长、宽都不能超过米，那么此时污水处理池的长设计为多少米时，可使总造价最低.题后师说利用基本不等式解实际应用问

6、题的技巧根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值於巧上解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围袁言舁一I在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到,可利用函数的单调性求解巩固训练52023江西吉安模拟春节期间，车流量较大，可以通过管控车流量，提高行车安全，在某高速公路上的某时间段内车流量M单位时间内经过测量点的车辆数，单位：万辆/小时）与汽车的平均速度。（单位：千米/小时）、平均车长/（单位：米）之间满足的函数关系y=v2+2；：；28oW启120），已知某种车型的汽车的平均速度为100千米/小时，车流量为1万辆卜时.（1）求该车型的平均车长/；（2）该车型的汽车

7、在该时间段内行驶，当汽车的平均速度。为多少时车流量y达到最大值？1真题展台NHEZIZIAZ1.2023全国乙卷下列函数中最小值为4的是（）A. y=W+2x+4B. y=sinx+-A-7JsinxC.y=2r+22x4D-）=1nA2. 2023新高考II卷（多选）若x,y满足x2+）2-孙=1,则（）A.x+y1B.x+y2-2C.x2+y22D.x2+j213. 2023新高考I卷（多选）己知0,b0,且+b=1,则（）A. 2Z2-2B. 2ab2C. Iog24+og2822D. ab2第四节基本不等式必备知识夯实双基知识梳理1. (2)a=b(3)券Vab2. (1)(手P2S3

8、. (I)X=y2P(2)x=yS2夯实双基1 .(I)X(2)(3)(4)X2 .解析：因为0rv1,所以x(33x)=3x(1x)3a沼2=*当且仅当x=i羽即X=T时，等号成立.故选B.答案：B3 .解析：设矩形的一边长为xm,矩形场地的面积为y则矩形另一边长为X(20-2x)=(10x)m,所以y=x(10-冷在+(；-)2=25(11?),当且仅当X=Io彳，即x=5时，jmax=25.答案：254解析：=x+W=12+a+222J(X-2)x*+2=4,当12=1时，即X=3时等号成立.=3.故选C答案：C5.角聿析：VxO,.y=2+x+j=2-(-X-：),又一、一含2J(f)

9、()=25,y=2+x+=2-(-x-g2-25,当且仅当一“=一三，且xO,即X=一门时等号成立.X答案：2-25关键能力题型突破例1解析：(1)对于A,由基本不等式可知，当Qo时，x+：22,当且仅当x=3即X=1时取等号，故A正确；对于B,=T22,当X=O时取得等号，故B正确；x2+2对于C黑=篇=中+悬5,令中，则22,因为产什：在2,+8)上单调递增，当/=2时，y取得最小值去故C错误；对于D,2(3x+3在x0时，没有最大值，故D错误.故选AB.(2)j=4%(3-2x)=22(3-2x)22x+2xy=,当且仅当w2x=3-2x,即X=9时，等号成立.4ze(-)；,函数y=4

10、x(3-2Jo(OX|)的最大值为:答案：(I)AB(2弓巩固训练1解析：对于A：当x0,则y=(x+2)+专+222J(x+2)击+2=4,当且仅当=1时等号成立，满足；对于C：由题意00,b0ia+b=4ab,同除以他得工+2=4,ab“+力=3+呢G+s)=+Kz+：)H+Zx2JFi=-+-22=1.当且仅当P=:即=b=;时取等号.答案：B(2)1例3解析：由f+2xy1=0,得V=去,而x0,y0,则有Ox0,即b1,/.i4=-+4?ab-14(/?-1)+4b-1+1.1111=+4=1-b-1b-1=5+W+4仍-1)25+2J4(b-1)=9,当且仅当6=去a=：时取等号，

11、故:+4b的最小值是9.答案：9例4解析：(I)Va0,b0,c0且+b+c=2,则A+c=2-,2+c=a2+2-aa-i)2+又0%2,故:2+b+cO,b0ic0,1+：+：=如+。)(：+：+g)=g(14+g+,+；+胃+)毛(14+2Jpf+2j9T)=xd4+4+6+12)=18,当且仅当即=，b=?,c=1时等号成立.故工+1+218.33abC巩固训练4证明：(1)由/?+2=4加4，得+2=4,又告+三三，所以当且仅当?=时等号成立.mzn2mn22/+*=G+*)一高二胎一焉216-*=8,当且仅当m=考时等号成立.故二+28.m4n4例5解析：(1)设污水处理池的长为X

12、米，则宽为号米，总造价为/)元，则Ar)=400(2x+2)+10060X200=800(x+)+12Ooo21600Jx-+12000=36000(元)，当且仅当X=(QO),即x=15时等号成立.即污水处理池的长设计为15米时，可使总造价最低.(2)记g(x)=x+笺(0x),显.然g(x)是减函数,所以当X=时，g(x)有最小值,相应总造价段)有最小值，此时宽也不超过米.巩固训练5解析：(1)由题意：当0=100时，)，=1,1_184100.- 1r,I3.1002+Z0100+12801 该车型的平均车长为5米.(2)由(1)知，函数的表达式为y=v2+2：4oo(O1184V.1,18446,V2+20V+64。系尹一2护号+2。4父当且仅当。=空，即。=80时取等号.V故当汽车的平均