第四章矩阵分解改.docx

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1、第四章矩阵分解基于理论研究和计算的需要，往往有必要把矩阵分解为具有某种特性的矩阵之和或积，这就是我们所说的矩阵分解.本章将介绍一些常用的分解方法，某些在计算方法中已涉及的分解，我们这里就不再提起了.4.1矩阵的正交三角分解60年代后以Givens与Househo1den变换发展起来的矩阵的QR分解在计算数学中扮演了十分重要的角色，尤其是以QR分解所建立的QR方法，已对数值线性代数理论的近代发展起了关键作用.定义1如果一个上三角矩阵的主对角线元素全为正实数，则称该矩阵为一个正线上三角矩阵.定理1(正交三角分解)设A为阶实满秩矩阵，则必有阶正交矩阵。及阶正线上三角矩阵R,使得A=QR.证设A按列分

2、块为A=(1,2,),则囚,见，,%为欧氏空间R”的一组基，利用施密特正交化方法可以得到一组正交基-a=一岩Si+%+，A=1XnaX+,2+-1-1+an再单位化得一组标准正交基=如4，2=bv2a1+b22a2,（1）”=but%+b2na2+,n-+bnnan其中，=占0,令b.hu2unB=显然B为正线上三角矩阵.且有b22hIn，bnn,（巧,知,“）=（,%，,%）B（2）再令Q=,火,与），则Q为正交矩阵.记R=B1则R仍为正线上三角矩阵.由（2）即得A=QR.定理证毕.实满秩矩阵的QR分解是唯一的.例1求矩阵22、A=212J2的QR分解解记A的三个列向量依次为用施密特正交化方

3、法得令。=（,”3）其中B1e-1313,16oO经计算得R=8-=*立3也263o76。，便有A=QR2=-x+a2=(1，T1)，1711A=-A-A3=(*-)3622单位化得8嗑=%=塌熹金2=a=,+2=f,i=ii=-j2a1-a2+T2,=(-,0,-y-)r.2O,则。为正交矩阵.且2一名4-洌3612国T.O2对于复满秩矩阵，类似地有UR分解定理。定理2设4为拉阶复满秩矩阵，则必有阶酉矩阵U及正线上三角矩阵R,使得4=UR以下讨论列满秩矩阵的正交三角分解定理3设An”为实数域上的列满秩矩阵，则有分解式A=QR9R=o,其中。为机阶正交矩阵，R1为阶正线上三角矩阵.证不防设机，

4、由4列满秩，必可找到相(m-)的列满秩矩阵A”使人=(AA)为历阶满秩矩阵，由定理1必有机阶正交矩阵。及，阶正线上三角矩阵A，使得A=QR.记A的前列形成的矩阵为R=(K，则与为阶正线上三角矩阵.且显然有A=QR.对于复数域上的列满秩矩阵，亦有类似结果.定理4设AE为复数域上的列满秩矩阵，则有A=UR，R=(R1,(3)j其中U为加阶酉矩阵，与为阶正线上三角矩阵.设m，如记，U=(3h,GU=(5)，U1(K2,，)，因为是酉矩阵U的前列构成的，通常称之为部分酉阵，它满足qq=g.从(3)式可见(4)（3）式与（4）式都可以看作是列满秩矩阵的UR分解.4.2矩阵的满秩分解下面介绍矩阵的满秩分解

5、.定理5（满秩分解）对任一秩为r（rO）的矩阵必存在秩为r的矩阵纥Xr及Gw使得A=BC.（1）证4可经初等变换化为标准形，即有机阶满秩矩阵4及阶满秩矩阵巴，使得小o）（E（E于是A=7W=中；（4，。）-uk7令54,0）星，则6是Pj的前歹J,C是尸2”的前r行，当然有秩8二秩C=r,并使A=BC,定理证毕.满秩分解（1）通常不是唯一的.它取决于行列的初等变换矩阵6及鸟.而矩阵6、鸟可以在化A为标准形的过程中顺便得到，具体做法是：对如下矩阵AEj也O）的前加行、前列施行一系列初等变换，化4为标准形.在这一过程中，等于对纥（及线）分别施以了与A的变化相同的行的（及列的）初等变换.最终化为B与

6、C.例1求矩阵2O0、A=271-3JTT3,的一种满秩分解.解在用行、列初等变换化A为标准形式过程中，顺便求出相应的初等变换矩阵丹，月，具体变换过程如下：(AE200271-31-1-13100、010001-2r+r2-r+、1200031-30-3-13100、-210-101100001000010,0001100001000010.0001U。厂/e+G-2c1+c2rI000031-30000100、-210-3116cq1000013-30000100、-210-3111-20001000010poo1/10-2000100100,0001Zp00010OA0100-210000

7、0-31110-203c2+c40010-3c2+c301-330001/到此知4的秩为2,行、列变换矩阵分别为r100、/=-210311；求出匕2的逆矩阵为rI00、P11=210(0-20、001001-33000200、031-30100、()001P2=取Pj的前两列为B,取尸2一的前两行为G则得A的一种满秩分解例2求矩阵12A=-1、24-156、000-142-4016-55-7,的满秩分解.解对矩阵A只作初等行变换J-1则A的秩为3,且前三个列向量线性无关，故令r14-P10001029200B=,C=OioTT-12-4525126-5；0017T容易验证A=BC例3求矩阵i

8、3214、A=26107、3931I1/的满秩分解.解对4只作初等行变换/12、1303T2A-0013300000则A的秩为2,且第一、三列向量线性无关，故令2、【130”B=2I,C=33八八.2133jOO1-Z133,容易验证A=BC.由于A的第二，三列向量也线性无关，故也可取(32f11o-111B=61,C=399,93OO1-v7I33J亦有A=BC当4的行数、列数都不大时，采用上例的方法求解A的满秩分解一般是行之有效的 4 3矩阵的谱分解一、可对角化矩阵的谱分解可对角化矩阵A必可分解为若干个哥等矩阵的、以A的特征根为系数的线性组合.因为特征根又称谱值，所以这种分解称为谱分解.定

9、理6设阶可对角化复矩阵4的全部互异特征根为乙4，,力其重数分别为与2，则存在/个阶事等矩阵Ad,满足(其中ijt9ij)1) AAy=O,ij;(分离性)2) Sd=E;(可加性)3) A=SM(1)r=14) r(Ar)=,证：设4是A的外重特征根(i=1,2/),则由已知，必有可逆矩阵P=（耳,/）使得PTAP=A=gj上面的6为x4矩阵，且之各列均为A相应于特征根4的特征向量.现将P1分块为PT=Q4其中2为“X矩阵.令Ai=PiQi,i=12J,则有Ai=PiQi=PP-i=EZ=Ii=1。出再从E=PTP=0”QQEQ2QF9MQBQR)又可得Q/=E%，QiPj=Qij进而有A：=

10、PiQiPiQi=PiQi=A,.,AiAj=PiQiPiQj=Oyij并且A=PPi=YiPiQi=Y=1=1又由4=PiQi知秩(4)秩(用=%.又由Z秩(4)秩(Z4)=(E)=n=nii=1i=1/=I(1)式称为A的谱分解式，诸A称为A的谱算子.6(0/(4)定理7在定理6条件下，谱分解式(1)是唯一的，且有A=这里/(4)=力(4一乙).证先证唯一性.设还有几阶累等矩阵片,与，片，使BjBj=O,(j),SBi=E,A=f4%则可验证=1=1AiA=Ai(jAj)t7=1AiA=AAi=iAjf/=1,2,BjA=ABi=iBj,于是iAiBi=AiABj=AjABj,即i-AiB

11、j=0.当i，时便有A,%=。，从而Aj=AjZBj=A1B1=(ZA/Bi=Bi.jIjT)这就证明了分解的唯一性.今设则当4的谱分解式为（2）时，对任意的i,=1,2,都有R(ATki(j-t)j=-（2z.-Ja.=A.=ijAi.仍（4）爆J“Je（4）JvJ进而有Gi=GiZAj=ZBAj=Ai,17=1定理证毕.定理6是可对角化矩阵针对互异特征根的谱分解.只要在证明过程中对相似因子P及PT按如下方法分块（每块为一列或行）p=（%VM）,p=Q：，4同样令A=q2，（=,2,），可得如下结果：定理8设阶可对角化矩阵A的全部特征根为4,4,，4,，则存在n阶暴等矩阵4,42,A，满足A

12、iAj=0,ij2)=E;/=13)A=A,.(2)r=1定理9中的(2)式也是一种谱分解.(1)式为“异根谱分解”.(2)式为“全根谱分解”.但全利例1求可对角化矩阵pA=-：的谱分解式.2-4-6解E-A=32+536(二重)，12=-2r-3-60)(；当4=1时，3600(36j0(=6-60(当4=-2时，3300、36-3；10好普分解未必是唯一的.60)3-503-6I200=(4+2)(4-1)2,故A的特征值为4=1-1I0、)0,解得线性无关的特征向量)Oj口用01(-1、1T,得线性无关的特征向量1=1.。“u;令尸=444),)，8=Qr-1-1J-10、-2120,(-10、1，2=(120),计算A=Q2-1-2