第七章矩阵函数.docx

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1、第七章矩阵函数在定义了矩阵范数之后，便可以度量线性空间中矩阵的大小和矩阵间的接近程度，进而引入极限的概念，并基于此建立矩阵分析理论。本章将介绍矩阵序列和矩阵级数的定义和收敛性判断，并给出矩阵函数的定义和计算方法。7.1矩阵序列与极限本章中数域F均指R（或C）,所讨论矩阵均为方阵，非方阵的情况按照相应的范数也可类似定义。我们把”阶矩阵序列A，A2,，4，,简记为,其中显然，一个X，阶矩阵序列AJ（a,Ci）中各矩阵的所有对应位置构成“个数列W）,其中磅）C（iJ=12定义1设矩阵序列（攵=1,2,.）,其中4=（靖）支,若小个数列国力=1,2,.）都收敛，即存在数C,使得!吧甯）=aij,ZJ=

2、1,2,.,?则称矩阵序列4是收敛的，并把矩阵A=（%wb称为的极限，或称矩阵序列收敛于A,简记为IimAt=A或AgfA（k）AToo若这X个数列或）（仃=1,2,.,）中至少有一个不收敛，则称矩阵序列4是发散的。例1讨论2x2阶矩阵序列出和电的敛散性，其中解因为1im(1+=,1im-=O,imJ=0,故有Jtookoo卜k卜HmA=1：9,即矩阵序列4是收敛的。又因为数列的*oe,01极限不存在，故矩阵序列应是发散的。若把向量看做是特殊的矩阵序列，则向量序列收敛的定义类似可得。由定义1可知，一个矩阵序列的收敛等价于“个数列的收敛，但用初等分析的方法来研究未免有些繁琐，因此可以借助矩阵范数

3、将矩阵序列的敛散性与一个数列的敛散问题等价。定理1”阶矩阵序列4收敛于矩阵AEc-的充要条件是!则&|卜0,其中范数I1I1为任一种矩阵范数。证明由矩阵范数的等价性可知，必存在实数aKo,使得对于任意的矩阵BCX都有P11PIIPIi故有4-a1a-a2a-a%即可通过矩阵的犯范数来进行定理证明。必要性。设州&=A,由定义1可知，对于每一个3都有AIimaf)=%,即ooJIim1a广一为=0,i,j=1,2,ocjj于是jao-=KTi=j=即!Ia-0,存在N0,使得QN时，有IIA-AIKf0从而Aj=A-4A-AIimA.B.=ABAT8由，令B1Q,则Jim甲=。,故有Jim(AQ)

4、=AQ。ATOOJ1o再将P看成4,4。看成线,则有IimpAQ=PA。(4)因为此时detA工0,detA0,(无=1,2,.)设adjA为A的伴随矩阵，则有Iimdet4=detAIimadjA.=adjAJ10cHmAj=Iim=也=I*5isdetAkdetA注：性质中的A的可逆性是不可少的，因为儿的可逆不能保证A一定可逆。例2讨论矩阵序列4=J：1的收敛性及其极限的可逆11性。解答显然每个4都是可逆的，且4=;广。而4的极限为11IimA.=Ak11它是不可逆的。定理4设4=4，P=WRE,且44,p,则矩阵序列收敛。证明先证对角线上元素序列收敛。由已知条件有，对任意的工，有xAkx

5、X1AkxX1Px取X=勺=（0,0,0,1,0,.0）丁（=1,2,.）,即第，个位置为19其余位置均为0,代入上式得（设A=（或），P=（P指,NamPji，（i=1,2,.）故。俨的极限存在。再证一般的元素序列嫉）收敛（，打）。将上面的X换成x=q+S(/=1,2,.),得心）+婢+喈+孀=Sar加（尸）+）+2磅用Pa+Pjj+Pij,/=1,2,.,，ij,A:=1,2,.）故.）+4+2端）收敛。再由寓）和琮都收敛知嬉收敛，因此Iim4存在。c现在考虑由矩阵AeC-的塞所构成的矩阵序列AN*.M.的收敛性。定理5设矩阵A-贝IJym屋=OE的充耍条件是p（A）1o证明设4的八成标准

6、形为j=diag(j1()2(),-r(4)且存在可逆变换乙使得A=vr其中特征值4所对应的Jordan块)具有如下形式4Ji2WJiW=(/=1,2,r),4(4).叫X叫且A1JijW(Z=1,2,rj=1,2,ai)i17%（4）/（4）-JfW=(7-1)我们把子块4（4）分解成两项Jiji)=iEdj,+Ug其中0101Uij=Jij(O)=.-，=1,2,“=1,2,5.)这个矩阵有一个很好的性质，即火的塞次每增加1次，主对角线上方这排1就向右上方平移一次，特别有000100-0于是由二项式定理有G(4)=4%+UJ%WCy片C；中=OCk1,jdijd1j(7-2)其中1kk/!

7、C,k=O1kz=1,2,-,r;J=1,2,.于是四片=。的充要条件是!吧J)=。&M，I；,)=1,2,此，而Iim4a,.)=的充要条件是IAK1o因此刖4=0Xn的充要条件是P(A)1。推论设矩阵AWc1若存在矩阵范数H，使得同1，则JmA=Ooo例3判别矩阵序列屋的敛散性。12-460-(1)%=3,A=；,(3)A=-3-500-3-61_6J146J1解因为矩阵A的特征值为441,4=黄1,故有3op(A)1,因此由定理5有序列5收敛,且JmAJO,.oo(2)有时也不必求出矩阵的所有特征值才能确定P(A)与1的大小关系。由于M111m1。所以序列屋发散。由定理5的证明过程，不难

8、得出当P(A)1时，矩阵序列屋发散。因为P(A)1,则至少存在一个41,则由(4)的具体形式可知其对角线元素构成的数列M发散，故矩阵序列小4)发散，从而屋发散。11O-例4设矩阵A=010,试判断序列小的敛散性。0-11解简单求解得矩阵A的特征值分别为4=4=4=1,则有矩阵A的谱半径P(A)=1,此时利用定理5及其推论无法判断序列AA的敛散性，但可按照定理5的证明思路来分析。首先求得矩阵A的场力助标准形为-1J=111即存在可逆阵T,使得A=TV1,从而有1Ak=T1kTi1因此有1IimAk=TIim1kT1+1所以小发散。-a0.3aa例5设矩阵A=。22，则讨论。取何值时序列屋OO0.

9、5收敛于。“o解求得矩阵A的特征值分别为4=W4=20,4=0.5，故有A的谱半径2(A)=2由本节定理5有，当C时，矩阵序列小收敛于八3。7.2矩阵骞级数本节我们将给出矩阵级数的定义，并利用矩阵序列极限的概念讨论级数收敛及其相应的性质。这些内容会给矩阵函数的研究，微分方程的求解等问题带来方便。7.2.1 矩阵级数的概念和性质定义1设或RE)是一个矩阵序列，则称其无穷+o=A1A2+A”+A=I+为矩阵级数，常简记为4.对于任意正整数，定义矩阵J1=I级数的前项部分和为S=4=A+a2+*=1若由S.5=1,2,）构成的矩阵序列Sz,收敛，且有皿Szt=S,则称矩阵级数五4人收敛，且有Ea=So若矩阵序列SJ发散，称矩=1k=阵级数之4发散。+00定义2设Z4为Cr（或r”）中的矩阵级数，若对某矩阵J1=I范数II，正项数项级数1AiII=IIA111+11A211+AJ+=1收敛，则称矩阵级数绝对收敛。A=I根据矩阵范数的等价性可知，这里的矩阵范数H1是任意的。定理1矩阵级数A,（4=（磅XJ收敛的充分必要条件*=1+是对任意的仃，数项级数端收敛，其中仃=12Jt=I