第三单元二元函数的极值.docx

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1、第三单元二元函数的极值第一节二元函数的极值一、学习目标偏导数的重要应用就是求极值问题.通过本节的学习，弄清楚二元函数极值、最值的概念，会用极值存在的必要条件求出简单二元函数的极值和最值.二、内容讲解1 .二元函数的极值多元函数极值的概念与一元函数极值的概念类似.若对（%，）附近的（羽y）均有了（/，九）以x、丁）,则称（/，加）是y）的极小点，是极小值.极大值点、极小值点统称为极值点.2 .极值存在的必要条件若一元函数丁=/（外在“。处可导，且与是极值点，则/（）二若二元函数z=,y）在（/，）处可导,且一。j。）是极值点,则,（o）=,（o）=3 .二元函数最大值、最小值若z=/（%,丁）在

2、闭区域。内连续，则Z=/（,y）在。内必有最大值和最小值.若z=,y）在。内可导，且在。内有唯一驻点（/，%），则z=,y）在该驻点（/，%）处的值就是最大值或最小值.4 .求最大值最小值应用问题的步骤：（1）根据题意，建立函数关系；(2)求驻点；如果驻点合理且惟一，则该驻点就是所求的应用问题的最大点(或最小点).问题思考：二元函数的极值点与驻点之间有什么关系？答案与一元函数类似,二元函数的驻点不一定是极值点，偏导数不存在的极值点也不是驻点.但偏导数存在的极值点一定是驻点.三、例题讲解例1求函数Z=(/+V_2x)2在圆域O=(羽y);/+y22x上的最大值和最小值.解：显然z0,且在闭域。上

3、连续，当/+V=2x时，Z=O,这是该函数=2(x2+-2x)2y=06在。上的最小值.=2(x2+/-2x)(2X-2)=0下面求最大值：&解得=1,y=0它是函数z=(+V-2x)2在。内部的唯一驻点，故是最大点，最大值为z(1,0)=1例2用铁皮做一个体积为V的无盖长方体箱子，问其尺寸为多少时，才能用料最省？解：设长、宽分别为苍九则高为上，表面积为孙S=xy+2x+2y=孙+2F2一xyxyyxV_V2V解得x=y=行，此时高为孙.22V答：当长、宽、高分别为可、叵、F时，无盖箱子用料最省.四、课堂练习某公司可通过电台和报纸两种方式做销售某种商品的广告.根据统计资料，销售收入R（万元）与

4、电台广告费用阳（万元）及报纸广告费用/（万元）之间的关22系有如下经验公式R=15+14再+32/-8再“2-2再一持七,在广告费用不限的情况下，求最优广告策略，使所获利润最大.利润=收入一费用。收入函数题目中已给出，费用只有电台广告费和报纸广告费，即为二者之和.这是一个求二元函数极值在经济分析中的应用题.解题思路：（1）审清题意，弄清题目已知什么？要求什么？（2）根据题意，建立函数关系.建立函数关系，要先设变量，然后根据题意，找出变量之间的等量关系，用表达式表示出来即可.一般地说，设变量要根据题意，求什么设什么.比如，当售价多少时，利润最大？就要设条件中的价格为自变量，而设结果中的利润为因变

5、量；再比如，销售量为多少时，成本最少？就要设条件中的销售量为自变量,而设结果中的成本为因变量.（3）求偏导数，并令其为0,得到联立方程组.（4）解联立方程组，得到符合题意的惟一驻点.（5）由问题的实际意义可得知，问题存在着最值.又本题只有一个驻点，即可判断此点即是所求的极值点，也是最值点.（6）求出最值，写出答案.五、课后作业1要造一个容积为100cm的长方体铁箱，应如何选择尺寸方可使所用材料最省？2.某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为化和P2；销量分别为名和电；需求函数分别为=24-0.20,夕2=10-。侪。2,总成本函数为C=35+40(%+%),试问：厂家如何确定两个市

6、场的产品售价，使其获得的总利润最大？最大总利润是多少？1.当长、宽、高均为10Cm时，所用材料最省.2.当P1=,P2=120时，可获最大利润为605.第二艺拉格朗日乘数法一、学习目标拉格朗日乘数法是求解条件极值的有效方法之一.通过本节的学习，会用拉格朗日乘数法求解条件极值问题，尤其是经济分析中较简单的条件极值问题.二、内容讲解1 .条件极值在第4课的例2中，给定体积匕求用料最省的无盖长方盒,即求Sk）,+2力+2劝在条件xyh=V下的最小值.2 .拉格朗日乘数法求函数f（x，KZ）在条件5XZ）二下的条件极值，可用如下的拉格朗日乘数法：令拉格朗日函数zr=,z）+4数,z）求尸=（%,z）+

7、4数x,y,z）的（无条件）极值：=，=，=(Xy9z)=Oxyz解此方程组.问题思考：什么是条件极值问题？常用的解决方法是什么？答基一个多元函数的条件极值问题实际上是求该函数的最大值（或最小值）问题，但所求的并不一定是该函数在整个定义域上的最大值（或最小值），而是求该函数在定义域中的指定区域上的最大值（或最小值），这个指定区域由条件方程给出.解决条件极值问题常用的方法是拉格朗日乘数法.三、例题讲解用拉格朗日乘数法解上节中的例2：求原题即为求S=D+2动+Iyh在条件*%=V下的最小值.令1=Jiy+2xh+2yh+(xyh-V)1x、1泌=y+2+yh=0,=X+2?+xh=0,=2x+2y

8、+xy-0,y-2hX-VfIh_2x+2y_%4力=v,由此可得：Mxhy解得x=y=2，再由XM=V,解得x=y=2z=画四、课堂练习某工厂生产甲、乙两种产品产量分别为%（吨），又甲、乙两种产品产量总和为34（吨），且其总成本为羽）的函数C=Cay）=6/+10y2一孙+30求两种产品产量各为多少时，总成本最小？这是一个条件极值问题，即求在产量一定的条件下成本函数的最小值.这类题的解题思路是：（I）审清题意，弄清题目已知什么？要求什么？（2）根据题意，设出变量，建立起函数关系，并找出条件函数.建立函数关系，要先设变量，然后根据题意，找出变量之间的等量关系，用表达式表示出来即可.一般地说，设

9、变量要根据题意，求什么设什么.比如，当售价为多少时，利润最大？就要设条件中的价格为自变量，而设结果中的利润为因变量；再比如，销售量为多少时，成本最少？就要设条件中的销售量为自变量，而设结果中的成本为因变量.条件函数也要根据题意找出自变量之间的等量关系，用表达式表示出来即可.F喙=噌=嗖=取Z)=O（3）写出拉格朗日函数：/=/（%，乂2）+丸。（乂，*）其中，/1为待定的参数.求=（x,y,z）+4川x,y,z）的（无条件）极值：&解此方程组.（乂）就是原来的条件极值的可能极值点.（4）求出最值，写出答案.五、课后作业1 .某工厂生产甲、乙两种产品，其出售价格分别为10元/件、9元/件.若生产

10、甲、乙两种产品分别为X件、y件时，总费用为400+2x+3y+0.01（32+xy+3y2）.问甲、乙产品的产量分别为多少件时，可使总利润最大？2 .已知某工厂生产A、B两种产品，产量分别为x,M单位：千件），利润函数为1（xty）=2x-x2+8y-3y2-2（单位：百万元），已知生产这两种产品时，每千件均需消耗某种原料IOoO公斤，现有该原料3000公斤，问两种产品各生产多少千件时，总利润最大？最大总利润为多少？3 .某公司可通过电台和报纸两种方式做销售某种商品的广告.根据统计资料，销售收入R万元）与电台广告费用即（万元）及报纸广告费用X2（万元）之间的关系有如下经验公式R=15+14X|+32%-8xb2-2x；-10x2：若可使用的广告费用为1.5万元，求相应的最优广告策略，使所获利润最大.4 .试用拉格朗日乘数法求解：欲围一个面积为60平方米的矩形场地,正面所用材料每米造价10元，其余三面每米5元.求场地长、宽各为多少米时，所用材料费最少？1 .甲、乙产品的产量分别为120件、80件时，可使总利润最大.2 .两种产品均生产15千件时，总利润最大，最大总利润为4百万元.3 .在广告费用为1.5万元的条件下，应把1.5万全部用于报纸广告，可获最大利润.4 .当场地长、宽分别为2JiG米、3加米时，所用材料费最少.