立体几何练习题.docx

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1、立体几何练习题四棱锥S-ABCo中，底面48CO为平行四边形，侧面SBC_1面ABC。，已知ZABC=45,AB=2,BC=22,SB=SC=6(1)设平面SCD与平面SAB的交线为/,求证：1AB(2)求证：SA1BCi(3)求直线SD与面SAB所成角的正弦值.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AD=AC=I,0为AC的中点，PO平面ABCD,P0=2,M为PD的中点。(1)证明：PB平面ACM；(2)证明：AD平面PAC(3)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值。如图，四棱锥P-ABC。中，ZABC=ZBAD=90,BC=2AD,APAB与24。都是等边三角形.(1

2、)证明：CD_1平面依3；(2)求二面角C所。的平面角的余弦值.如图，四棱锥P-ABCD中，PA_1底面ABCD,ACAD.底面ABCD为梯形，ABDC,ABBC,PA=AB=B03,点E在棱PB上，且PE=2EB(I)求证：平面PAB_1平面PCB；(II)求证：PD平面EAC；(III)求平面AEC和平面PBC所成锐二面角的余弦值.如图，已知矩形4BC。所在平面垂直于直角梯形ABQE所在平面于直线AB,平面ABCD5Fff1ABPE=AB,且AB=BP=2,AD=AE=fAE1AB,且AE/BP,(1)设点M为棱PD中点,在面ABCo内是否存在点N,使得MN1.平面488?若存在，请证明；

3、若不存在，请说明理由；(2)求二面角O-PE-A的余弦值.如图，在直三棱柱ABCABG中，平面A1BCJ_侧面柱ABB”且AAFAB=2.(1)求证：ABBC;(2)若直线AC与平面AIBC所成的角为，求锐二面角AAB的大小.7.在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD_1底面ABCD.(1)求证ABJ_面VAD；(2)求面VAD与面VDB所成的二面角的大小.如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，且NBAD=,对角线AC与BD相交于O,OF_1平面ABCD,BC=CE=DE=2EF=2.(I)求证：EFBC：(II)求面AOF与平面BCEF所

4、成锐二面角的正弦值.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形，ADBC,ZBAD=90o,PA，底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,N分别为PC、PB的中点.(I)求证：PB1DM；(II)求BD与平面ADMN所成的角.如图，在等腰梯形ABCD中，AB/CDfAD=DC=CB=I,NABC=60,四边形ACFE为矩形，平面ACFEJ平面ABCO,CF=I.(1)求证：BC_1平面AC尸E；(2)点”在线段样上运动，设平面MAB与平面/CB二面角的平面角为仇夕90),试求CoSe的取值范围.立体几何试卷答案【解析】试题分析：(1).ABHCDf-AB=&,G=(11MBA=j2x-2j

5、2y=O21-nSD42-141-y(1228电哈丽:2T=F所以直线即与面&仍所成角的正弦值为答12分.2、试题解析：(1)证明：为AC的中点，即O为BD的中点，且M为PD的中点,又平面ACM,平面ACM,所以PB平面ACMo(2)证明：因为，AD=AC,所以，所以，又PO平面ABCD,所以所以AD平面PACo(3)取OD的中点为N,因为所以MN平面ABCD,所以为直线AM与平面ABCD所成角。因为AD=AC=1,所以所以又所以试题解析：(1)证明：过尸作PO_1平面ABC。于。，连04.侬题意PA=PB=PD,则OA=O8=0E.又AABD为Rtb,故。为3。的中点.POu面P8O,J.面

6、面ABCO.在梯形ABCD中，CD=DB?=CB?,.CDDB.画ABCDD面PBD=BD,1 .CD，平面BBD.(2)由(1)知CDJ_平面网D,又D产+PB=DB,.DPBP.由三垂线定理知C尸，烟.，NC产D为二面角C-PB-D的平面角,cosZCPD=-=.PC334【解答】(I)证明：YPA1底面ABCD,BeU底面ABCD,PA_1BC.又AB_1BC,PAAB=A,，BC_1平面PAB.又BeU平面PCB,，平面PABj_平面PCB.(II)证明：PC1AD,在梯形ABCD中，ABBC,AB=BC,得NBAC=,ZDCA=ZBC=,又AC_1AD,故ADAC为等腰直角三角形，D

7、C=AC=(AB)=2AB.连接BD,交AC于点出则=2.连接EM,在aBPD中，=2,PDEM,又PDu/平面EAC,EMU平面EAC,I.PD平面EAC.(In)解：以A为坐标原点，B,AP所在直线分别为y轴，Z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则A(0,0,0),B(0,3,0),C(3,3,0),P(0,0,3),E(0,2,1)设二(x,y,1)为平面AEC的一个法向量，则1,Y=(3,3,0),=(0,2,1),：.解得X=y=-,=(,-,1).设=(x,y,1)为平面PBC的一个法向量，则_1,又=(3,0,0),=(0,-3,3),解得x=0,y=1,=(0,11).(取PB

8、中点为F,连接AF可证为平面PBC的一个法向量.)Vcos=I=,平面AEC和平面PBC所成锐二面角的余弦值为.注：以其他方式建系的参照给分.25. (1)详见解析；(2)3试题分析：(1)连接AC,BD交于点N,连接MV,证明MN_1平面A3CD,从而MN即为所求；(2)建立空间直角坐标系，求得两个平面的法向量后即可求解.试题解析：(1)连接AC,BD交于点、N,连接MV,则MVJ_平面ABCD,M为PD中点,N为BD中点,工MN为APDB的中位线,：,MN11PB,又Y平面ABcD，平面ABPE,平面488I平面ABPE=A3,BCU平面ABCD,BC上AB,.5。_1平面/5尸后，.8。

9、_1尸3,又.尸3_1/5,53C=5,.EB_1平面油CD,.MV_1平面J5CD；(2)以/为原点，AE,AB,如所在直线分别为X轴，y轴，z轴建立坐标系，4D_1平面的，.平面曲的法向量司=同=(Oqi),又.Q(0,i),E(IO1O),2,2.0),ADE=(1O-I),5P=(2j2-1),设平面。留的法向蚩一JXz=01一一2?=(ZKZ),贝1“，令X=I,得叼=(1-=J),/.s=-,2x+2y-z=0232又PE-/为锐二面角，二面角D-PE-A的余弦值为-.36【解答】(本小题满分14分)(1)证明：如右图，取AB的中点D,连接AD,因AAI=AB,贝IJADJ_AIB

10、由平面ABC_1侧面%ABB,且平面A1BCnff1OSA1ABB1=A1B0得ADJ_平面AIBC,又BCU平面ARC,所以ADJ_BC.因为三棱柱ABCAEC是直三棱柱，则AA底面ABC,所以AABC.又AAmAD=A,从而BCJ_侧面AIABB”又ABU侧面AABBI,故ABj_BC.(2)解：连接C解由(1)可知ADj_平面A1BC,则CD是AC在平面ABC内的射影ZACD即为直线AC与平面A1BC所成的角，则在等腰直角AAB中，AAfAB=2,且点D是AIB中点且，过点A作AE_1A于点E,连DE由(1)知ADJ_平面AIBC,WJADA1C,fiAEAD=A.NAED即为二面角AA

11、】C-B的一个平面角，且直角AAiAC中：又，且二面角-AiC-B为锐二面角.，即二面角A-AC-B的大小为.7 .【解答】证明：(1)由于面VAD是正三角形，设AD的中点为E,则VEJ_AD,而面VAD_1底面ABCD,则VEJ1AB.又面ABCD是正方形，则AB1_AD,故ABj_面VAD.(2)由ABJ_面VAD,则点B在平面VAD内的射影是A,设VD的中点为F,连AF,BF由4VAD是正,则AF_1VD,由三垂线定理知BF_1VD,故NAFB是面VAD与面VDB所成的二面角的平面角.设正方形ABCD的边长为a,则在RIF中，AB=a,F=a,tanZAFB=故面VAD与面VDB所成的二

12、面角的大小为.8 .【解答】(本小题满分12分)证明：(I)Y四边形ABCD为菱形AD/7BC,且BCQ面ADEF,ADU面ADEF,.BC面ADEF,且面ADEF面BCEF=EF,EFBC.解：(II)FOJ_面ABCD,F01AO,F00BXV0BA0,以0为坐标原点，0A,OB,OF分别为X轴，y轴，Z轴，建立空间直角坐标系，取CD的中点M,连0M,EM.易证EMJ_平面ABCD.又.BC=CE=DE=2EF=2,得出以下各点坐标：B(0,1,0),C(-,0,0),D(0,-1,0),F(0,0,),E(-,-,),向量=(-,)向量=(-,-1,0),向量，设面BCFE的法向量为：，,得到，令时，=(-1,1),面AOF的一个法向量，设面AOF与面BCEF所成的锐二面角为,则cos=,sin-.故面AOF与面BCEF所成的锐二面角的正弦值为如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系A-xyz,设BC=1,则A(0,0,0)P(0,0,2),B(2,0,0),M(1,12,1),D(0,2,0)(I)因为=0所以PBJ1DV.(II)因为=0所以PB_1AD.又PBJ1