突破圆锥极点与极线.docx

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1、-:知识与方法极点极线是射影几何中的重要内容，在中学教材中并未提及，但纵观历年高考的解析几何大题，可以发现诸多试题都有极点极线的背景，所以了解极点极线，可以让我们站在更高处来看待问题.这一小节我们先介绍极点极线的几何定义、代数定义和一些常用的性质，再辅以若干典型的高考真题的极点极线观点，来加深大家的理解.1.极点极线的几何定义：以椭圆为例，如图1所示，设P为椭圆外一点，过P作椭圆的两条割线分别与椭圆相交于48和四点，AC与BD交干点、M,AD与BC交干点、N,则称点P为直线MN关于椭圆的极点，直线MN为点P关于椭圆的极线.另一方面，图1也可以这么来看，从椭圆外的点作椭圆的两条割线分别交桶圆于4

2、，和8、C四点，AC与BD交于点、M,AB与CD交干息P,所以点/V和直线掰也是一对极点极线，事实上，点附和直线例也是一对极点极线，因此在一PMN中，以其中一个顶点作为极点，那么该顶点的对边所在的直线就是对应的极线，从而我们将./AW称为“自极三角形”，为了加以区分，图中画成了虚线.这个图形有两种特殊情况：(1)如图2所示，当四边形ABa)有一组对边平行时，如AD%C,此时我们看成41和3C的交点/V在无穷远处，那么以为极点，对应的极线是图2中的PN21其中PN2/BC以，为极点，那么极线是MN,其中MNI；(2)如图3所示，当其中一条割线变成切线时，此时以M、/V几个点就都与切点C重合，从而

3、点C和切线PC是一对极点极线.图1图2图32 .极点极线的代数定义：在平面直角坐标系Xoy中，设有圆锥曲线。(圆、椭圆、双曲线、抛物线均可)和不与C的对称中心重合的点Pa,%),在圆锥曲线C的方程中，用0x替换为)，替换V,分尸替换X,”2替换片得到的方程即为以P作为极点的极线/的方程.例如，设椭圆C的方程为+V=I,极点为P(2,4),则与。对应的极线为T+4y=1,即x+4y-1=0;又如，设抛物线C的方程为y2=2x,极点为P（2,4）,则与夕对应的极线为今=2等，即x-4y+2=0可以看到，极点与极线是一个成对的概念，且若给定极点，求极线的规则是统一的，与圆锥曲线的类型无关，与极点的位

4、置无关，下面以椭圆为例，说明极点，在不同位置时，极线/的情形：（1）当点Q在椭圆C上时，极线/为椭圆C在9处的切线，如图4所示；（2）当点P在椭圆。外部时，极线/为点?对椭圆C的切点弦所在直线，如图5所示；（3）当点在椭圆C内部时，过点任作椭圆C的一条割线交C于48两点，椭圆C在A8两点处的切线交于点。，则当割线/W绕着点旋转时，点。的轨迹就是极线/,如图6所示.3 .极点极线的常用性质：（下面以椭圆为例）（D如图7所示，。为椭圆中心，点P在桶圆内，延长OP交椭圆于点0,交椭圆与点对应的极线/于点M则|0P|、IOQ|、IOM成等比数列；当P恰好为弦AB的中点时，直线AB的方程为W+绰=+4,

5、且极线/和椭圆在点。处的切线均与AA平行.abab（2）调和分割性：如图8所示，设极点的极线是直线/,过户作椭圆的一条割线交椭圆于48两点，交极线/于点Qt则P、40、8成调和点列，即磔=您j（或写成阀QB3=_1+_1）IPQ1|网IPB1（3）配极原理：若点P关于椭圆的极线过点则点。关于椭圆的极线也过点户.由此出发，我们可以得出共线点的极线必然共点，共点极线的极点必然共线，如图9所示，极点P1.P2S8的极线分别为4、Z2XZ31则6、P2、8共线O乙、I24共点.提醒：极点极线的分析方法只能让我们在看到问题时能够迅速“窥得天机”，不能作为正式的作答，我们在学习时，仍然应该以基本方法为主，

6、技巧偏方为辅，不能本末倒置.二:典型例题例1（2023新高考I1卷多选）已知直线/:ox+y-，=0与圆UY+V=/,点A（a）则下列说法正确的是（）A.若点/1在圆C上，则直线/与圆C相切B.若点4在圆C内，则直线/与圆C相离C.若点/1在圆C外，则直线/与圆C相离D.若点A在直线/上，则直线/与圆C相切【解析】解法1：A项，若点力在圆C上，则/+从=/圆心C到直线/的距离d=T=J=所以直线/与圆C相切，故A项正确；B项，若点/1在圆。内，则,厂+从r,77hr77F所以直线/与圆C相离，故B项正确；C项，若点彳在圆C外，则a2+b2r2,圆心C到直线/的距离d=-=J=-=Ja2+b2解

7、法2：显然对于圆Q以A（力）作为极点，那么极线就是/:火+力-=0A项，若极点4在圆C上，则极线/是圆。的切线，故A项正确；B项，若极点4在圆C内，则极线/与圆C相离，故B项正确；C项，若极点/1在圆C外，则极线/是圆C的切点弦，应与圆C相交，故C项错误；D项，若极点/在直线/上，这是极线恰好为切线，极点为切点的情形，故D项正确.【答案】ABD当ICq=当时，易得直线/与X轴垂直，故可设/的方程为.y=去+1(2hOh1),y=kx+设Ca,),D(X1,%),联立),2消去y整理得：伊+2)f+2米一1=0,+X-=12判别式A=8(&2+1)0,由韦达定理，、所以ICq=+公.归_司=Ji

8、+公.弧(；1)=芈,解得：k=g所以直线/的方程为y=2x+1.(2)极点极线看问题：设P(皿0),以P为极点，则对应的极线为如=1,即工=1m显然点。在极线上，所以=，,不难发现OP0Q=g!O%=1inrn注意：上面的过程不能作为正式的作答，卷面上可以按下面两个解法来写.解法1：直线AC的斜率为怎C=一，其方程为y=(x+1),x1+1x1+1直线处的斜率为1=M,其方程为广告T(XT,%+力(司+1)XQT弘(2T)用式除以式整理得：=j2j1+1?XTX(X2T)而乃(N+1)=(京2+I)(K+1)二点+区2+芭+1,所%+1二点9+左0+N+1,由知y1(2-1)(Ax1+1)(

9、x2-1)A1v1x2-fcr1+x2-1xq-1kx1x2-kxi+X2-I2kX1=zX2k2+224+&_37,+k2+2-犬+22k-I+T解得：XQ=-k,易得一(。故。POQ=XPXQ=-(1)=1,即OPOQ为定值1解法2：直线AC的斜率为阳0=其方程为y=-(x+1),x1x1直线的斜率为即D=一，其方程为y=1(X-1)，x2-1X,-1用式除以式整理得：巴=斗士?，即I1y卢+?XTX(X2-1)XQT所以j+1Y=1(n+1)2=20_4)(内+)2=(I+)+1)_12+(%+x2)+11-r2-1Jy2(2-1)22(1-x12)(x2-1)2(I-X1)(I-X2)

10、x2-(xi+x2)+1因为内，x2(-1,1),所以上0,结合可得M与&异号,2-1XQTy1yy2=(攵+1)(Ax2+)=k2x1x2+&(X+x2)+1=-2d+1一2-25_2(1+)(1-A:)k2+2+k2+2k2+22(1)2k-k2+2,1+1所以)i%与异号，+即三与七二1异号，从而竺士1与幺二1同号，所以土上1=,解y1k+Xq-1&+1XQ-IZ+1得：xQ=-kf易得Pu0),故OPOQ=XP%=q.(-k)=1,即OPOQ为定值1.【例3】(2023新课标I卷)已知48分别为椭圆石:/+y2=()的左、右顶点，6为的上顶点，AGG8=8,P为直线x=6上的动点，PA

11、与E的另一交点为C,PB与E的另一交点为D.(1)求E的方程；(2)证明：直线Cf)过定点.【解析】(1)由题意，A(-a,0),B(a,0),G(OJ),故AG=(,1),GB=(a-1)tPJtKtAGGB=a2-1=8,解得：=3或一3(舍去)，故万的方程为+9=1.(2)极点极线看问题：如图1,设AB和CO交于点。，4)和C8交于点队则.PQM为自极三角形，所以点。和直线PM是一对极点极线，设Q(mO),则极线PM的方程为e=I,即=2,又点P在直线1=6上，所以2=6,从而“I故Qe,这样就得到了直mm22J线CO过定点长,)注意：上面的过程不能作为正式的作答，卷面上可以按下面两个解

12、法来写.解法1：由(1)知A(T0),8(3,0),设P(6,z),C(xpy,),D(x2,y2),当F*0时，直线的方程为x-y-3,代入工+9=消去X化简得：解得：N=O或袅，所以先=工，故2=2%一3=,从而c,昌,r2+9r+9r+9(广+9r+9)直线号的方程为X=23,代入+V=消去X化简得：仪+9卜+少=0,解得：y=o或一乡，所以知=2，从而j=3%+3=，故4-A1，1+r1+广t1+rV1+r1rJ故TC初)，所以八c、。三点共线，从而直线a过定点,o当f=0时，易得C、。分别与反力重合，所以直线CD即为X轴，显然直线8也过点7,综上所述，直线CD过定点噌,0)解法2：由

13、(1)知A(T0),8(3,0),设C(X“J,D(x2,y2)9P(6,j0)当先HO时，由图2可知点C不与点8重合，因为猴+犬=1,所以犬=*-#),故C4、C4的斜率之积为攵6%,=；.；=YJ=-Jx1+31-3芍-99又以的斜率&分=%u=与，的斜率G=%=与，所以G=(1，代入式化简得：BC、如的斜率之积cAw=-g,显然CD不与y轴垂直，否则AC与阿的交点在V轴上，故可直线S的方程为X=阳+f,X=my+1联立if消去X整理得：(/+9)y2+2,畋+/一9=0,+y=1,9判别式A=4z2一4(4+9)(-9)0,所以M+9-0,由韦达定理，y1+y2=-4y*%必=三?，m+

14、9m+9所以内+2=w(y1+y2)+2r=-,x1x2=m2yy2+mt(y+y2)+t2,kBD=T-Z=-1故一3y%=玉/-3(王+%)+9,x1-3x2-3XyX2-3(+2)+93即3=2=广虹3.T+9,整理得：2r2-9r+9=0,解得：z=3或3,W+9W2+9TW2+92若f=3,则C、，中有一个点与8重合，不合题意，所以，=，满足(),即直线8过2定点(1,0),当先=0时,易得C、，分别与8、/!重合,所以直线C。即为X轴,也过点(|,0卜综上所述，直线CO过定点整0)图1图22【例4】(2018新课标I卷)设椭圆U+V=1的右焦点为E过厂的直线/与C交于48两点，点卷的坐标为(2,0).(1)当/与X轴垂直时，求直线的方程；(2)设。为坐标原点，证明：/OMA=NoMB.【解析】G)由题意，F(1,0),当/与X轴垂直时，其方程为x=1,即点力的坐标为x=,2由f2解得:y=+y-=122当点力的坐标为卜,当I时，直线AM