反演教师版.docx

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1、反演1.2019年第60届奥林匹克竞赛(国际)【IMO】第6题*在锐角三角形ABC中，/是内心，ABAC.三角形ABC的内切圆W与边BC、CA和分别相切于点0、E和F.过点。且垂直于E尸的直线与W的另一个交点为R.直线4R与W的另一个交点为P.三角形PCE和三角形PBF的外接圆交于另一点Q.证明：直线。/和PQ的交点在过点A且垂直于4/的直线上.【解析】如图1所示，图1设D/与NBAC的外角平分线交于点1,于是4114/.只需再证明1、Q、P共线.设D1与W的另一个交点为K,EF的中点、为N.(1) K、N、P共线.由于RFPE是调和四边形,由调干四边&的性质可知”平分”NP.又;KF+尸0=

2、90o=i/?F+|FD,故K尸=RE，即K、R关于4/对称，因此匕KNF=乙RNE=乙PNE,故K、N、P共线.(2) 1、S、P共线.由于4是N关于W的反演点，1A171/,故直线A1是N关于W的极线.设PS与OK交于点匚，则匚的极线经过N,N的极线经过匚，故匚在直线41上，于是1=1,故1、S、P共线.只需证S、Q、P共线.如图2所示：我们采用有向角的记号，使得角度上的叙述不依赖于特定的图形，用N(,b)表示直线逆时针旋转至直线b的方向时所转过的角度，在有向角的等式中，都按模Tr理解.由于B、F、Q、P共圆，C、E、Q、P共圆，故乙(8Q,QC)=乙(BQ,QP)+乙(PQ,QC)=z(

3、BF,FP)+4(PE,EC)=Z(EF,EP)+Z(EP,FE)=乙(FP,EP)=4(DF,DE)=N(B/,/C),从而8、/、Q、C共圆.设直线QP与。(B/QC)交于另一点T,直线/7与OS交于点M(3) M是ON的中点.注意到乙(B1rr)=乙(BQ,QT)=乙(BF,FP)=乙(FK,KP).且由于FDIFK,FDIBI,故FKuB1,因此7KNP.又/是DK的中点，因此M是ON的中点.现在我们来证明S、P、7共线，这将完成整个问题的证明.如图3所示：设。尸、DE的中点分别为、E1.由于。&FIF=DV1=BF1F1I,故F1在W与。(8/C)的根轴上.类似地，E1也在W与。(B

4、/C)的根轴上，因此直线E1F1就是W与O(B/C)的根轴,由于M是ON的中点，故M在E1F1上，因此M对W与G)(B/C)等赛.从而DM-MS=IM-MT,这表明S、I、D、T共圆.于是上(DS,ST)=乙(DI,IT)=乙(DK,KP)=乙(DS,SP),故S、P、T共线.如图4,在AABC的外接圆。上，设B1C与辰1的中点分别为MctNa.设直线O1与AMQ交于点1.注意到AMQJ.AN”，且4、/、Na三点共线，故41J.4.下面只需证明P、Q、1三点共线.以Na为圆心，/Nq为半径作圆w.由内心的性质可知点8、C均在圆W上.延长M/,与圆。、W分别相交于点7、P.(1)凹四边形AER

5、F凹四边形MQC/8.首先4E=4F且MaC=MQ8,并且Z.(FA1AE)=Z.(BAtAC)=Z.(BMatMaC)t故AEAFACMaB.又上(RE,EF)=-乙(DR,RE)=IN(OE,EC)=Z(C,CF),同理乙(RE,FE)=乙(1B,BC),故凹四边形/ERF凹四边形MaC/8.(2) A、P、7三点共线.由(1)可知，在凹四边形4ER/与AC/8中，0/与ONQ=W是对应圆，AR与MJ是对应直线，所以P、p也是对应点.于是Z(PA,4E)=P,Ma,MaC)=(TMa,MaC)=4(TA,AC),因此4、P、T三点共线.(3) P、Q、p三点共线.由B、P、Q、F四点共圆及

6、弦切角定理可知乙(BQ,QP)=乙(BE,FP)=(FR,RP同理乙(PQ,QC)=乙(PR,RE),因此乙(BQ,QC)=乙(BQ,QP)+乙(PQ,QC)二乙(FR,RP)+乙(PR,RE)=乙(FR,RE)=乙(B1IC),故8、/、Q、C四点共圆，即点Q在圆W上.于是乙(BQ,QP)=N(B,P)=4(BJM)=4(FRRA)=乙(FR,RP)=乙(BF,FP)=乙(BQ,QP),故P、Q、p三点共线.(4) P、Q、1三点共线.在Ma1中，只需证明APTP,Ma1_PTPMa1A一过点/作PR的垂线，垂足是丁.注意到NaTIp,故在凹四边形AERF与Mf1CB中，与T是对应点.因此丁

7、p_TP函一百在直南三角形7T与MN中，有乙(TT,TI)=AT,TMa)=乙(AN,NaMa),所以ITTMaNaA.又结合凹四边形4ERFS凹四边形MaC/B可知乙(IP,PT)=乙(ARR1)=乙(Ma11Na),所以P、/是相似三角形7T与MaNJ的对应点.结合1J,MN.可知Mu1_NaI_TP1AIAp,于是APTP,Mu1_AP_T_PTP_1PpMa1APtPa7t由梅涅劳斯定理的逆定理可知P、Q、1三点共线.综上可知结论成立.如图5,设AABC的外接圆中，BC（不含）的中点为N,BTC的中点为1以N为圆心，/N为半径作圆，记之为ON,则ON过点B、C.设ZJ的延长线交ON于点

8、U,交4BC的外接圆于点S.设4FE的外接圆（记为CI）与/BC的外接圆（记为。）交于点4与M设DI、A1交于点V,下面依次证明：(1) 4、R、S三点共线，令乙BAC=2,ABC=2,ACB=2y,注意到乙BS/=TSC,且乙IBS=乙IBC+乙SBC=0+C11=y+(/5-y)+乙C11=ICA+11CA+乙C11=2CIS,板AIBSS&cis,于是有sinz1S_sinzIF?SinzREPSinZrAS-snRFESincREAZsinzFDRA2KsinzEDR/_siny_SinZ8ASsin)SinZ故4、R、S三点共线.(1)证毕.(2) U、P、Q三点共线.因为jAFE=

9、KAEF=乙1BC=乙1CB=90o-,有/FE与1BC旋转相似，而M在它们的外接圆C1和Q上，故M为QI和。的旋转相似中心.由于A/、1N分别为C1和。的直径，故/、N为相似对应点，进而W和。N为相似对应圆，而乙FAR=乙BAS=乙B1S,故4R、1S为相似对应直线，于是4R与W的交点R、P的相似对应点分别为1S与ON的交点/、U.因此有乙B/U=乙尸RP=4BEP=48QP.而由乙BQC=BAC+乙ABQ+乙ACQ=BAC+乙FPQ+EPQ=Z.BAC+乙FPE=2q+乙FDE=90o+=乙B1C,知Q在。N上，板乙BQU=乙B1U=乙BQP,即U、P、Q三点共线.（2）证毕.(3) 4、

10、M、P、V四点共圆.由（2）中4FE与A1BC的旋转相似关系（M为旋转相似中心），知AMFB-MEC,故黑=罢=黑，MCECCD故MD平分ZBMC,从而M、D、N三点共线.以下由DV1N知4MDV=,MN1=180。-zM4V,有4、M、D、V四点共圆.又由RO_1EF,AN工EF知RDAN,故乙PAN=PRD=乙PDB,而乙MAN=乙MAB+=乙MCB+乙CMN=乙MDB,故ZM4P=4M4N-nP4N=4MDB-NPDB=4MDP,得4、M、P、。四点共圆.所以4、M、P、D、U五点共圆.(3)证毕.(4) U、V、P、Q四点共线.由(3)知NMPV=180o-Z-MAV=90-MAN=M

11、IA=Z-MFA.在(2)的旋转相似关系中，点M、F、P分别对应到点M、B、U,故有乙MPU=乙MFB=180-乙MFA=180-4MPV,即U、V,P三点共线.结合(2)知U、V.P、Q四点共线.(4)证毕.由(4)知原命题获证.如图6,设0/与4BAC的外角平分线交于点1,则4114/,只需再证明1、P、Q三点共线.考虑以O/为基圆的反演变换，设点4,B,C,的反演像分别为才，B,C,，以此类推.不难知道。/上点的反演像是本身，而炉、c分别是。尸、DE的中点.设E尸的中点是N,过N作直线。/的垂线，则垂足恰为匚.欲证1、P、Q三点共线，只需证/、P、Q四点共圆.设。/的延长线与。/交于点K

12、,EF、Bc分别与DK交于点U、Vf直线B,C、PK交于点X.设线段KU、KN的中点分别是丫、Z.(1) P、N、K三点共线.巴于K_1OR且ORJ.EF,故KREF.于是FK=ERt即ZFPK=ZEPR.注意到四边形ER尸P是调和四边形，由调配和四边形的性质知N在线段PK上.(2) Q,在直线8,。上.由于P、B、F、Q四点共圆且P、C、E、Q四点共圆，结合反演变换的性质可知P、B,、F、Q四点共圆且P、fE、Q,四点共圆.于是乙(BGaP)=乙(BF,FP)=(DFfFP)=乙(DE,EP)=4CE,EP)=(CQ,QP),因此q在直线bc上.(3) P、Q、K、V四点共圆且4PQXVKX

13、.由P、B、尸、Q四点共圆可知Z-(VQ1tQ1P)=乂BQQP)=乙(BF,FP)=N(OF,/P)=乙(DK,KP)=(VKfKP)t故P、qK、Iz四点共圆，进而PQXsZkVKX.(4) APIQjAXZQ且P、/、Z、Q,四点共圆.由于C(PK,PI)=4JK,KP)=乙(DK,KP)=N(DE,EP)=n(CE,EP)=n(CQ,QP),故上(QP,P)=N(QEPK)+A(PKfPIy)二乙(QP,PK)+乙(CQ,QP)=Z(CQ,PK)=乙(QX,XZ).注意到V是线段DU的中点，所以TTTITITITVY=VU+UY=DU-VUK=DK,故Vy=DK=IP.结合YZ11UN

14、11VX及&PQ,X八VKX可得竺-U-竺_QPzxzxxQf于是APIQFXZQ1因此N(P,Q)=4(XZ,ZQ)=N(PZ,ZQ)进而P、I、Z、Q,四点共圆.(5) P、/、匚、Z四点共圆.由KrIrN与KZ=ZN可知Z(1Z,ZP)=乙(1ZZN)=24(ZK,KN)=2乙(DK,KP)=Z(17P),因此p、/、1、Z四点共圆.结合(4)与(5)可知/、匚、Z、qP五点共圆.由反演的性质知1、P、Q三点共线，命题证毕.设。/与乙BAC的外角平分线交于点1,则41_1A/,只需再证明1、P、Q三点共线.考虑以O/为基圆的反演变换，设点A,B,C,的反演像分别为B,C,以此类推.不难知道。，上点的反演像是本身，而B,、C分别是OF、DE的中点.设EF的中点是N,过N作直线D/的垂线，则垂足恰为厂.欲证1、P、Q三点共线，只需证/、匚、P、Q,四点共圆.设D/的延长线与0/交于点K.记过P、B,F三点的圆是7,过P、C、E三点的圆是T2.由反演的性质知Q是圆7、力除点P以外的另一个交点.记过，、P、1三点的圆是八则只需证明圆7、T2、y共轴.弓I理：（开世圆簇定理）设71、72是平面上的两圆.用p（r,K）表示点了对圆Ti的球，i