反演学生版.docx

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1、反演1.2019年第60届奥林匹克竞赛（国际）【IMO】第6题*在锐角三角形ABC中，/是内心，ABAC.三角形ABC的内切圆W与边BC、CA和分别相切于点0、E和F.过点。且垂直于E尸的直线与W的另一个交点为R.直线4R与W的另一个交点为P.三角形PCE和三角形PBF的外接圆交于另一点Q.证明：直线川和PQ的交点在过点A且垂直于4/的直线上.2.2019年国家队选拔考试竞赛（沙特阿拉伯）第3题*设锐角4BC三边互不相等，内切圆为。/,直线d与。/切于点K.过点/作/4、IB,/C的垂线，分别与直线d交于点Ai、Bi、C1.设直线d与4B、BC、。4分别交于点M、N,P.分别过点P、M、N作1

2、4,/B,/C的平行线，交出XVZ证明：AA1.BB1.CC1三线共点，且/K为AXYZ外接圆的切线.3.2019年国家队选拔考试竞赛（印度）第4题*已知0。为非等边锐角AABC的外接圆，AB4C,0、E分别是边.AB.4C的中点.力DE的外接圆与BCE的外接圆交于点（异于点E）,AZ）E的外接圆与ABCO的外接圆交于点Q（异于点。）.求证：AP=AQ.8.2018年第17届奥林匹克竞赛（中国女子）第2题如图，设点。和E分别在ABC的边4B和AC上，且。E与BC平行，。1和。2分别是4BE和AACD的外心，直线。1。2与4B交于点P,直线。1。2与AC交于点Q，。是4PQ的外心，M是直线40与

3、BC的交点.证明：M是BC的中点.图9 .ABC条3条塞瓦线交于一点G,将三角形划分为6个小三角形.求证：若这6个小三角形的外心两两不重合，则它们共圆的充要条件是。为4/BC的重心.10 .ABC中，BE,CF是角平分线，P在BC上，AP1EF,求证：AB/C=PB-PC的充要条件是AB=AC或匕BAC=90.11 .设AABC是非等腰三角形，内心为/,0。1，。2,0。3是皆过内心/，且圆心。1，。2，。3分别在直线1,B,C上，它们两两相交于另外的三点。、E、F,求证：AAIDABIEAC1F的三个外心共线.12 .如图，AC垂直平分80,交BD于点、S,AB1BC,AD1DC.ESF是任

4、一直线（不与8013.重合），点、E,F分别在直线4B,ADfM是E尸的中点，AM交BD于点K.求证：CK1EF.三角形的九点圆与其内切圆和旁切圆均相切.如图所示,3与门、4与J分别交于异于P的点4、B、C、D.在四个不同的圆门、2、3、4中，门与3外切于P，2与4也外切于P设圆1与心、2与3、求证：迎=驾.ADDCPD214 .证明：双心四边形的两个圆心与其对角线的交点共线.15 .设。是锐角工BC的外心，点P在AABC的内部，RPAB=PBC，P4C=NPCB.点Q在直线BC上，且Q4=QP.求证：AQP=20QB.17.2013年江苏全国高中数学联赛竞赛复赛第12题20分18 如图，四边

5、形/BC。中，8,0关于对角线4C对称的点分别是B,D,AC关于对角线80对称的点分别是/,c.证明：四边形bcd是梯形.19 .2011年罗马尼亚大师杯（RMM）竞赛第一天第3题设3是/BC的外接圆，一条平行于BC的动直线，分别交线段AB,4；于点。，E,交圆3于点K,1（点。介于K和E之间），片是与线段KD,BD和圆3都相切的圆，片是与线段1E，CE和圆3都相切的圆.求，变化时，圆片和圆力的内公切线的交点的轨迹.20 .设M为4BC的外接圆弧靛上一点.自点M引与4BC的内切圆相切的两条直线，分另屿BC交于点片和Xz证明：AMX2的外接圆与的外接圆的第二个交点（即不同于点M的交点）为/BC的

6、外接圆与乙4所对的伪内切圆的切点，这里，乙4所对的伪内切圆是指与边4B和4C均相切且内切于44BC的外接圆的圆.21 .圆1与2交于4、B两点，且与圆分别内切于C、D,与圆1和心均内切的一个圆切CD于T.求证：CAT=TAD.22 .如图，两圆。1，。2正交，交点分别为P1，P2-圆。3与两圆分别交于Q1，Q2,R1，R2,这四个点按Q1，R1，Q2,R2的顺序排列.直线P/2,P2%交于点s/XPiQiRi的外心为T.求证：当且仅当S,。3共线时，Qi，S,T共线.23 .全国高中数学联赛竞赛模拟一试（二）第13题*已知4BC为锐角三角形，以高4D为直径的。，与AC,AB分别交于点E,F,过点E,尸分别作O。的切线，若两切线交于点P,证明：直线4P与AABC的一条中线重合.24 .用反演法证明：四边形4BC。内接于圆0,对角线4C与BD相交于P.设三角形/BP、BCP.CDP和ZMP的外接圆心分别是。八。2、。3、O4.求证：0P、。1。3、。2。4三线共点.