概率论与数理统计习题及答案.docx

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1、概率论与数理统计习题及答案习题一1.略.见教材习题参考答案.2 .设A,B,C为三个事件，试用A,B,C的运算关系式表示下列事件:(1) 4发生，B,C都不发生；(2) A与5发生，。不发生；(3) ,B,C都发生；(4) 4,B,。至少有一个发生；(5) A,B,C都不发生；(6) A,B,C不都发生；(7) ,B,C至多有2个发生；(8) A,BfC至少有2个发生.【解】(1)ABC(2)ABC(3)ABC(4) aubuc=ABcuAbCuabcuabcjaBojabCuabc=abc(5) ABC=A(BIJC(6)ABC(7)AbcuabcuabCUabcjabcjabcuabc=a

2、bc=aUBUC(8)abubcuca=abCUABCUAbcuabc3 .略.见教材习题参考答案4 .设A,8为随机事件，且P(A)=0.7,P(A-B)=0.3,求P(AB)【解】P(AB)=I-P(AB)=1-P(A)-P(A-B)=1-0.7-0.3=0.65 .设A,8是两事件，且尸(A)=0.6,P(B)=O.7,求：(1)在什么条件下P(A3)取到最大值？(2)在什么条件下P(48)取到最小值？【解】(1)当48=A时，P(AB)取到最大值为0.6.(2)当AUB=Q时,P(AB)取到最小值为0.3.6 .设4,B,。为三事件，且P(A)=P(B)=1/4,P(C)=1/3且PC

3、AB)=P(8C)=0,P(AC)=1/12,求4,B,C至少有一事件发生的概率.【解】P(4UBUe)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)+,=4431247 .从52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？【解】=cc?3c8 .对一个五人学习小组考虑生日问题：(1)求五个人的生日都在星期日的概率；(2)求五个人的生日都不在星期日的概率;(3)求五个人的生日不都在星期日的概率.【解】(1)设4=五个人的生日都在星期日,基本事件总数为75,有利事件仅1个，故P(Ai)=I=(-)5(亦可用独立性求解，下同)7

4、57(2)设A2=五个人生日都不在星期日),有利事件数为65,故zx656,P(A2)=.=(；)T7(3)设A3=(五个人的生日不都在星期日P(A3)=I-P(Ai)=I-Cy)59 .略.见教材习题参考答案.10 .一批产品共N件，其中M件正品.从中随机地取出件(MN).试求其中恰有，件(加WM)正品(记为A)的概率.如果：(1) 件是同时取出的；(2) 件是无放回逐件取出的；(3) 件是有放回逐件取出的.【解】P(A)=C凯/(2)由于是无放回逐件取出，可用排列法计算.样本点总数有P；种，次抽取中有In次为正品的组合数为C；种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序，从M件正品中取m件的排列

5、数有P；种，从N-M件次品中取n-m件的排列数为P；二。种，故P(A)=M=V-Mp;由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可写成P(A)=m5-m/可以看出，用第二种方法简便得多.(3)由于是有放同的抽取，每次都有N种取法，故所有可能的取法总数为M种，次抽取中有加次为正品的组合数为C；种，对于固定的一种正、次品的抽取次序,加次取得正品，都有M种取法，共有M”种取法，-加次取得次品，每次都有N-M种取法，共有(N-M)T”种取法，故P(A)=C：Mm(N-M)nm/Nn此题也可用贝努里概型，共做了重贝努里试验，每次取得正品的概率为丝，则取得N?件正品的概率为P(A)=C；11 .略

6、.见教材习题参考答案.12 .50只钾钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个钾钉强度太弱.每个部件用3只钾钉.若将3只强度太弱的钾钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少？【解】设A=发生一个部件强度太弱P(A)=CQG=-13 .一个袋内装有大小相同的7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个，计算至少有两个是白球的概率.【解】设A尸恰有，个白球(i=2,3),显然4与A3互斥.p(4)=*,435故P(A2UA3)=P(A2)+P(A3)=14 .有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7,在两批种子中各随机取一粒，求:(1)两粒都发芽的概

7、率；(2)至少有一粒发芽的概率；(3)恰有一粒发芽的概率.【解】设A尸第i批种子中的一粒发芽,(z=1,2)(1) P(AiA2)=P(1)P(2)=0.70.8=0.56(2) P(1,A2)=0.7+0.80.7x0.8=0.94(3)尸(4可人)=0.80.3+0.20.7=0.3815 .掷一枚均匀硬币直到出现3次正面才停止.(1)问正好在第6次停止的概率；(2)问正好在第6次停止的情况下，第5次也是出现正面的概率.【解】P1=P2=25/32516 .甲、乙两个篮球运动员，投篮命中率分别为0.7及0.6,每人各投了3次，求二人进球数相等的概率.【解】设4尸甲进i球,i=0,1,2,3

8、,B尸乙进i球),i=0,1,2,3,则3P(UA%)=(O3)3(0.4)3+C；0.7X(0.3)2Go.6X(0.4)2+/=OC(O.7)2O.3C(O.6)2O.4(O.7)3(O.6)3=0.3207617 .从5双不同的鞋子中任取4只，求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率.rA211c；c；CCc13解P=I；=C：o2118 .某地某天下雪的概率为0.3,下雨的概率为0.5,既下雪又下雨的概率为0.1,求：(1)在下雨条件下下雪的概率；(2)这天下雨或下雪的概率.【解】设A=下雨),B=下雪.(1) (同A)=逊二更=0.21 P(A)0.5(2) MAJB)=P(A)+

9、P(B)P(AB)=0.3+0.5-0.1=0.719 .已知一个家庭有3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率(小孩为男为女是等可能的).【解】设A=其中一个为女孩,8=至少有一个男孩,样本点总数为23=8,故P(MA)=迹1P(A)7/87或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为7.P(BA)=y20.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是男人的概率(假设男人和女人各占人数的一半).【解】设A=(此人是男人,8=此人是色盲),则由贝叶斯公式P(A曲-以也-P(A)P网A)1 P(B)P(A)P(.A)+P(A)P(BIA)0.50.0520

10、-0.50.05+0.50.00252121 .两人约定上午9：00-10：00在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率.y题21图题22图【解】设两人到达时刻为卬,则OWXjW60.事件“一人要等另一人半小时以上”等价于gy30.如图阴影部分所示.3O26022 .从(0,1)中随机地取两个数，求:(1)两个数之和小于9的概率；5(2)两个数之积小于!的概率.4【解】设两数为他则01,产1.(1) x+产2._44A=JIzZ=IZ=O.68,1251 (2)xy=-.4=1JIn24223.设P(A)=0.3,P(B)=O.4,P(AB)=O.5,求P(S1AUB)【解】p(bajb)

11、=P(AB)P(A)-P(AB)P(A1JB)-P(A)+P(B)-P(AB)0.7-0.510.7+0.6-0.5424 .在一个盒中装有15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛中任意取出3个球，比赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概率.【解】设A=第一次取出的3个球中有i个新球,i=0,1,23B=第二次取出的3球均为新球由全概率公式，有尸(B)=XP(用A,)尸(4)Z=O303I2330333303z*303333j5v-z15j5j5,5j5=0.08925 .按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努力学习的学生

12、有90%的可能考试不及格.据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问：(1)考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？(2)考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？【解】设A=被调查学生是努力学习的,则N=被调查学生是不努力学习的.由题意知P(A)=0.8,P(A)=0.2,又设8二被调查学生考试及格.由题意知P(B)=0.9,P(8|A)=O.9,故由贝叶斯公式知(1)P(B)P(AB)P(B)P(A)P(BA)P(A)P()P()P(A)=0.02702370.2X0.10.80.9+0.20.1即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702%P(AB)PBP(A)P(同A)P(A)

13、P(BjA)+P(A)P(BA)0.80.10.80.1+0.20.94=0.307713即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%.26 .将两信息分别编码为A和B传递出来，接收站收到时，A被误收作B的概率为0.02,而B被误收作A的概率为0.01.信息A与8传递的频繁程度为2：1.若接收站收到的信息是A,试问原发信息是A的概率是多少？【解】设A=(原发信息是A,则=原发信息是阴C=收到信息是A,则=收到信息是8)由贝叶斯公式，得P(AIC)=P(A)P(C1A)P(A)P(CA)+P(A)P(CA)230.98=0.99492230.98+130.0127 .在已有两个球的箱子中再放

14、一白球，然后任意取出一球，若发现这球为白球，试求箱子中原有一白球的概率(箱中原有什么球是等可能的颜色只有黑、白两种)【解】设4=箱中原有i个白球(/=0,1,2),由题设条件知P(Ai)二!=0,2.又设8=抽P(A忸)=P(AiB)P(BA1)P(A1)P(B)P(BAi)P(Ai)Z=O23131313+2313113328 .某工厂生产的产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.02,一个次品被误认为是合格品的概率为0.05,求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.【解】设A=(产品确为合格品,8=产品被认为是合格品由贝叶斯公式得P(A忸)=P(AB)P(A)P(3A)P(B)P(A)P(同4)+P(A)P(Bb)0.960.98=0.9980.96X0.98+0.04X0.0529 .某保险公司把被保险人分为三类：“谨慎的”，“一般的”，“冒失的”.统计资料表明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30；如果“谨慎的”被保险人占20%