教材解读第二章一元二次函数方程和不等式总体设计.docx

《教材解读第二章一元二次函数方程和不等式总体设计.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《教材解读第二章一元二次函数方程和不等式总体设计.docx（9页珍藏版）》请在第一文库网上搜索。

1、一元二次函数、方程和不等式总体设计本章是高中数学必修课程中的预备知识，起着初高中数学的衔接与过渡作用，内容包括“相等关系与不等关系”和“从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式”，相等关系、不等关系是数学中最基本的数量关系，是构建方程、不等式的基础；方程和不等式都是重要的数学工具，在解决问题中有广泛的应用；用函数理解方程和不等式是数学的基本思想方法.在本章的学习中，学生将通过类比初中学过的等式和方程，学习不等式的性质，理解等式与不等式的共性与差异，掌握基本不等式；并将在初中学习.元一次函数与方程、不等式的联系的基础上，用二次函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式，理解一元二次不等式与相应函数

2、、方程的联系，借助二次函数求解一元二次不等式，通过本章的学习，学生的逻辑推理和数学运算素养将得到进一步提升.一、本章学习目标1 .等式性质与不等式性质梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质.2 .基本不等式掌握基本不等式痣V土心Q力0）.结合具体实例，能用基本不等式解决2简单的最大值或最小值问题.3 .从函数观点看一元二次方程会结合二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系.4 .从函数观点看一元二次不等式（1）经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义；能借助二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示元二次

3、不等式的解集.（2）借助二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.二、本章知识结构框图三、内容安排与第一章一样，本章也是高中数学的预备知识.在本章中，学生通过对相等关系与不等关系、从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式的学习，体会数学知识的整体性和联系性，为进一步学习函数等内容作好铺垫和过渡，更好地实现初高中数学学习的过渡.在初中，学生对于等式有了比较深入的认识一通过建立方程（组）表示相等关系，为了解方程而研究了等式的一些基本性质，还研究了两种具体的方程一一元一次方程和一元二次方程的解法和应用，本章类比初中对等式研究的内容和方法对不等式展开研究.全章共分为三节，第2.1节在梳

4、理等式的基本性质，归纳其蕴含的数学思想方法的基础上,研究不等式的性质，为全章提供了理论基础;第2.2节研究一种具体的不等式一基本不等式的证明方法和应用，基本不等式在解决不等式问题中具有重要作用；第2.3节研究另外一种具体的不等式一一元二次不等式的解法和应用，类比用一次函数的观点认识一元一次方程、一元一次不等式，学习从二次函数观点认识一元二次方程和一元二次不等式，进一步落实用函数理解方程和不等式的思想方法.下面分节说明本章内容的要点及其逻辑关系.第2.1节在给出实数大小的基本事实、梳理等式基本性质的基础上，通过类比研究了不等式的基本性质及其证明和应用.教科书首先让学生梳理等式的性质，并归纳其中蕴

5、含的数学思想方法，然后猜想并证明不等式的基本性质.等式的基本性质包括在数学的推理和运算中经常用到的“对称性”和“传递性”，还包括等式对四则运算的不变性.前者反映了相等关系的特性，后者则是从运算角度提出的，反映了等式在运算中的不变性，它们反映了“式的基本性质的本质属性.类似地，不等式的基本性质既反映了不等关系的特性，又反映了不等式在运算中的不变性，但与等号不同，不等号有方向性，所以不等式的基本性质与等式的基本性质又存在差异，教科书利用这种内在联系，引导学生自主发现不等式的基本性质，使他们认识到“运算中的不变性”在研究代数问题中“引路人”的作用，从而使学生在加深对“代数性质”的认识过程中发展“四基

6、、提高.“四能”.此外，本节用不等式的性质证明了一些简单命题，拓展了代数证明的范围，为后续学习打下了基础.第2.2节研究了一种具体的不等式一基本不等式.教科书从已得到的重要不等式/+Z2M出发，通过字母代换得到基本不等式，进行了代数证明，给出了几何解释，并应用基本不等式解决了一些典型的最大（小）值问题、本节用分析法证明基本不等式，即从基本不等式空出发，逐步推出能使它成立的条件，直至已知的事实扬yo.这个推理过程反映了分析法的论证特点，也凸显了不等式性质的应用价值.此外，在用基本不等式解决最值问题时，实际上给出了两个重要数学模型：对于正数My,如果积外等于定值P,那么当x=y时，和x+y有最小值

7、2；如果和x+y等于定值S,那么当=y时，积W有最大值1S?,只要问题中的数量关系符合上述模型，就可以使问题迎刃而解.4第2.3节按照“定义一解法一应用”的顺序研究了另外一种特殊的不等式一元二次不等式，同时，本节以求解一元二次不等式为载体，引导学生通过类比从一元一次函数的观点看一元一次方程、不等式，学习从函数观点看一元二次方程、一元二次不等式，在建立二次函数与一元二次方程、不等式的联系中，获得用二次函数求解一元二次不等式的一般性方法.这个内容再一次体现了函数对于方程、不等式的“整合”作用，体现了数学的整体性，也为学生今后研究其他函数与相关方程、不等式的问题提供了经验.总体来说，等式的基本性质与

8、不等式的基本性质蕴含了同样的数学思想方法，这些思想方法反映了“式的基本性质”的本质属性，是引导学生深入理解等式的基本性质、发现不等式的基本性质的关键，而不等式的基本性质又是证明不等式的其他性质和一些简单命题的基础，所以不等式的基本性质的发现过程及性质本身是本章的重点内容之一.另外，用函数观点理解方程、不等式是数学的基本思想方法，这一思想方法在后续学习中有大量应用，所以二次函数与一元二次方程、不等式的联系也是本章的重点内容.本章的难点内容之一是类比等式的基本性质，发现不等式的基本性质.这是因为归纳等式的基本性质所反映的“式的基本性质”这一本质属性是一个难点，此外不等式的基本性质表现出了不同于等式

9、的特性，也增加了类比的难度.另外,由于学生缺少代数证明的经验，对于正确地运用不等式的性质对不等式进行恰当的等价变形会感到困难，所以用不等式的性质证明一些简单命题（包括用分析法证明基本不等式）是本章的第二个难点.本章的第三个难点是用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题，基本不等式的数学模型描述了能够用基本不等式解决的两类最值问题，解决问题时需要理解和识别问题中的数量关系，看它们是否能转化为这两类问题，这与学生熟悉的建立方程模型刻画问题中的等量关系不尽相同，最后，从二次函数观点看一元二次方程、不等式的内涵很丰富，要求学生借助二次函数的图象，数形结合地发现二次函数、方程、不等式三者的联系，进一步发

10、展用函数观点认识方程和不等式的数学思想方法，认识函数的重要性，体会数学的整体性，发展直观想象、数学抽象等素养，因此这也是本章的一一个难点.四、课时安排本章教学时间约需8课时，具体分配如下（仅供参考）：2.1 等式性质与不等式性质约2课时2.2 基本不等式约2课时2.3 二次函数与一元二次方程、不等式约2课时小结约2课时五、本章编写思考本章的内容属于高中数学课程的预备知识部分，将帮助学生完成初高中数学学习的过渡，为学生整个高中阶段的数学学习提供学习心理、学习方式和知识技能等方面的准备.本章的编写重点考虑了下面三个方面.1 .基于等式与不等式的共性与差异探索不等式的内容等式与不等式有很多共同之处，

11、也存在差异.学生在初中学习了等式、方程的知识，在高中阶段将重点学习不等式的内容，为此，教科书先通过梳理初中己学的等式内容，引导学生归纳概括其中蕴含的思想方法，再通过类比等式的内容和思想方法，探索不等式的相关内容.例如，学生在初中学习等式的内容时，先学习了用含有未知数的等式（方程）表示问题中的相等关系，接着以解方程为目的，学习了等式的一些基本性质，然后研究了两种具体的方程元一次方程和一元二次方程的解法和应用.概括起来就是“现实背景一一相等关系与等式一一等式性质一一方程及其解法一一应用”.本章在构建不等式内容的结构体系时，采用了与等式类似的顺序：现实背景一一不等关系与不等式一一关于两个实数大小关系

12、的基本事实一一不等式性质一一不等式解法、证明一一应用.首先，类比“相等用等式表示“，举例说明了如何用不等式表示不等关系；关于两个实数大小关系的基本事实，既是实数的基本性质，也因为这个基本事实（以及学生已经熟知的实数的一些基本性质）是研究式的大小关系的基础，因此，教科书接着安排了关于两个实数大小的基本事实，为不等式的研究奠定了逻辑基础；其次，教科：书类比等式的基本性质，研究了不等式的基本性质及其证明；最后，研究了基本不等式的证明和应用，一元二次不等式的解法和应用.又如，本章在研究不等式的性质时，考虑到等式的基本性质与不等式的基本性质在表现“式的基本性质”的本质属性方面是相通的，设计了一个学习过程

13、：先通过一一个思考栏目，让学生梳理初中学过的等式的基本性质，并观察它们的共性，归纳出其中蕴含的数学思想方法；再通过一个探究栏目，让学生类比等式的基本性质，猜想不等式的基本性质.这样，利用等式的基本性质中蕴含的数学思想方法，来引导学生探索、发现不等式的基本性质，有利于加深他们对代数性质的认识，提高他们提出问题和解决问题的能力再如，学生在初中多次经历了建立方程（组）模型解决实际问题的过程，本章在编排用基本不等式解决最值问题的内容时，利用了学生在初中建立模型的思想，把基本不等式看成了一种数学模型，通过把实际问题中的数量关系转化为数学模型，从而求得数学模型的解来使实际问题获得解决.但用基本不等式模型解

14、决问题存在与方程模型不同的地方，基本不等式模型是由基本不等式演化出的两类数学模型，分别是一组条件与结论，对应了能用基本不等式解决的两类最值问题.所以在用基本不等式解决实际问题时，需要理解和识别实际问题，如果实际问题符合这两类最值问题，就可以把问题转化为基本不等式模型.因此，本章在编写中先以例题（第2.2节例2）的形式给出了基本不等式模型，再在解决实际问题（第2.2节例3,4）时，引导学生简化问题情境，分析为什么问题中的数量关系符合基本不等式模型对应的两类最值问题，最后再把实际问题转化为基本不等式模型予以解决.这个过程进步发展了学生的模型思想，为他们今后用数学模型解决更复杂的问题打下了基础.2

15、.从函数的角度认识不等式，强调数学的整体性相等关系和不等关系是两种基本的数量关系，方程和不等式分别刻画这两种基本数量关系，从函数观点看方程和不等式时则将三者联系起来，有利于从整体上认识这三者的关系.学生在初中学习了从一元一次函数观点看一元一次方程、不等式，为用函数观点看方程和不等式打下了一定基础、另外，还学习了二次函数，学生对二次函数解析式、图象及其性质也有了一定的认识.本章从二次函数观点看一元二次方程、不等式，可以帮助学生把上述内容和思想方法联系起来，进一步深入理解二次函数，在掌握利用二次函数图象及相应的一元二次方程的根的情况解一元二次不等式的过程中，体会数学的整体性，逐步提升数学抽象素养和

16、逻辑推理素养，具体做法是，在第2.3节探索一元二次不等式的解法之前，设置了一个思考栏目，让学生在回顾初中学过的从一次函数的观点看一元一次方程、一元一次不等式的思想方法的基础上，考虑能否从二次函数的观点看一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法.在解答这个思考栏目时，教科书以具体的一元二次不等式为载体，类比一次函数与一元一次方程、不等式在函数图象上表现出的联系性，探索了二次函数图象与/轴的交点、在X轴上方和下方部分的代数解释，并求得了这个一元二次不等式的解集.接下来，教科书对上述方法进行了归纳和概括，获得了用二次函数求解一般一元二次不等式的方法.求解一元二次不等式通常有两种基本方法，一种是代数方法，即通过对二次三项式加+法+c（0）进行因式分解，把一元二次不等式转化为一元一次不等式组.再通过求解一元一次不等式组得到一元二次不等式的解集：另一种是本章介绍的函数方法