专题六 第7讲 圆锥曲线的定值问题 2.docx
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1、第7讲定值问题【母题】(2018北京)已知抛物线C:y2=2px(p0)经过点P(1,2),过点。(0,1)的直线/与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线布交),轴于直线PB交y轴于M(1)求直线/的斜率的取值范围;(2)设。为原点,QM=QO,QN=QO,求证:为定值.J1思路分析联立/,C的方程,由判别式及附,PB与y轴有交点求斜率的取值范围用A,B坐标表示M,N坐标J用M,N坐标表示九利用根与系数的关系计算3+)求出为定值A/4(1)解将点P代入C的方程得4=2p,即=2,所以抛物线C的方程为V=4x,显然/斜率存在且不为0,设为鼠则/:y=履+1,y=x1,由,消去y得以2+(22-
2、4)x+1=0,(*)y=4x,由已知,方程()有两个不同的根,且1不是方程的根(因为,PB都与y轴有交点),所以/=162+160且2+(2-4)+10,即AvO或00,设Aa1,y),B(X2,加,则总+及Akt2(户一2)2F+1Mm=2d+12/所以W+v=A(x+m)+2=2炉+,所以尸点坐标为(一5群7,WT)又因为点P在椭圆上,仁I、J4标尸2尸p?2.所以(2K+)2+(2/+I)=1,即=一因为依用=、1+妁即一必|=y1+2(xi+x2)2-4xx2221+22(22+1)-r2=2炉+121+2一2A2+1又点。到直线/的距离d=不枭,所以平行四边形OAPB的面积S。(M
3、PB=2Sab=IABM=建告m即平行四边形OAPB的面积为定值.子题2(2023.福州质检)直线I与椭圆C:f-=1有且只有一个公共点P,I与圆W+V=6交于4,B两点,直线OA,。8的斜率分别记为丸,&2,求证:八心为定值.证明当直线/的斜率不存在时,直线的方程为x=2;当x=2时,A(2f2),B(2,-2),则2论=乎义(_乎)=_/当彳=一2时,A(2,2),B(2,-2),则孚=T当直线/的斜率存在时,设其方程为y=H+机,A3,y),B(X2,沏,F=AX+2,9+e_得(1+29)x2+4kwx+2机24=0,由题意/=(4h)24(1+2d)(2w?4)=0,得j2=4F+2
4、,联立,y=k-myy+y2=6,得(1+k2)x22Arzwx+2-6=0,依题意,d0,则2=2km户一6+F即7=+F,所以krk2=y1丫2(如+化迫+XX2f+碗1TT司+苏直线社的方程为合令尸。,得N点的横坐标为端%租又巾=武汨-4),y2=-4),故IoN1=y2+y2如为一4A(X1+也)AQ+m)-82于是x1+x2=4hn1+2。21炉一6XX2=1+2由AM_1AN,得俞俞=0,故32)(X22)+(?|1)(21)=0,整理得(2023新高考全国I)己知椭圆C:兴+卓=】(公山)的离心率为乎,且过点4(2,D(1)求C的方程;(2)点M,N在。上,且AMJ1AMAD1M
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