2023年整理北京大学经济学院极大似然估计.docx
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1、第二章极大似然估计(M1E)第O节基础知识回顾:O1S一例子假设一个基金的投资组合(“基金XXX)的超额I可报和股市指数的超额I可报,有如下的数据:直觉上,该基金的beta(beta测量股票对股市指数的反应)应该是一个正数,我们希望证实这种关系。画这2个变量的散点图:对于一条直线,可以用以下的方程,来拟合数据。y=a+bx不过这个方程Ga+公)是完全确定的,与实际情况不符合。要在这个方程里加入一个挠动项。y1=a+xt+U1式中f=1,2,3,4,5用直线来拟合数据最常用的方法是普通最小二乘法(ordinary1eastsquares,O1S):取每个数据点到拟合直线的垂直距离,选择参数。、使
2、得平方距离之&2最小化(eastr=1squares)o挠动项能够反映数据的一些特征:我们经常会忽略一些影响y.的因素,不可能把影响y的所有的的随机因素都在模型中考虑。=2=/-I(y1-d-t)2求解两个参数:-2(-)=(z-AJ=O这就是O1S。整理得到:在上例中,把数据代入公式得:yt=-1.741.64xr根据这个结果,如果预期下一年的市场回报将会比无风险回报高20%,那么你预期基金XXX的回报将会是多少?yi=-1.74+1.6420=31.06二.概念:线性和非线性运用O1S,要求模型对参数(和夕)是线性的。”对参数线性”意味着参数之间不能乘、除、平方或n次方等。在实际中变量之间
3、的关系很有可能不是线性的。某些非线性的模型可以通过变换转化为线性模型,例如指数回归模型:Y1=eaXeuOInY1=a+nXt+u1令M=InY,及Xr=InXtyt=a+xt+u1但是,很多模型从本质上讲是非线性的,例如:y1=a+x1+u1三.O1S的优良性质对小(不可观测的误差项作如下假设)在O1S回归模型中,作如下架设:1. E(m,)=02. Var(W)=23. CV(Wj,M)=O4. Cov(wfC)=O误差项的均值为零误差项的方差是常数误差项相互独立的误差项和解释变量不相关以上假设成立时,O1S有如下三个良好性质。一致性最小二乘估计是一致的。这意味着,当样本数趋向于无穷大时,
4、估计值将收敛于它们的真实值(需要假设E(XM)=O和Var(w)=2=0b0无偏性最小二乘估计式是无偏的,意味着估计值的期望等于真实值.E(a)=aandE()=为了保持无偏性需要假设E(r)=O和Cov(%M)=0。无偏性比一致性更强。有效性在所有的线性无偏的估计式中,O1S估计式的方差是最小的,即O1S估计的参数力与真实值尸出现大的偏差的概率最小。FigureSaM*ngDistribubomOfEstBmxon四.统计推断用标准误差来度量参数估计值的可靠程度。在假设1-4成立的条件下,估计值的标准误差可以写成假设1N(0,2),则O1S统计量服从正态分布:6N(,Var()6N(以Var
5、(Q)如果挠动项不服从正态分布,最小二乘的估计式还是正态分布吗?样本数足够大时,答案是:是的。从估计式&和构造标准正态分布:N(O1)N(O1)但是,由于不知道var(a)和var(),我们用下面的分布加以替代。,t砺k砺Z分布和标准正态分布之很相似。这2种分布都是对称的,并且均值都为零/分布多了一个参数:自由度(样本总观测数-2)o当一个E分布的自由度是无穷大时,它等于标准正态分布。用置信区间进行假设检验在显著性检验中,下面的情况下接受零假设Ho:B=B*,即统计量落在非拒绝域内,SE()f(x)如果我们能够以5%(或者10%)的置信水平拒绝某个检验的零假设,则称这个检验在统计上是显著的.在
6、这个过程中,我们可能会犯2种错误:1.当H0是正确的时候,我们拒绝了它,第一类错误.2.当H0是错误的时候,我们没有拒绝它,第二类错误.Rea1ityH0istrueH0isfa1seSignificantTypeIerrorResu1tof(rejectH0)=aTestInsignificantTypeIIerror(donot=rejectH0)犯第一类错误的概率是回忆显著性水平的含义:当零假设是真的情况下,统计量落在拒绝域内的概率只有M但第二类错误的概率常常不能确定。一般而言,当我们降低第一类错误概率的同时也提高了第二类错误的概率。第一节引言考虑ARMA模型:工=。+x-+站一2+/Z
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