概率论第章习题参考解答.docx

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1、概率论第章习题参考解答概率论第4章习题参考解答1.若每次射击中靶的概率为，求射击10炮，命中3炮的概率，至少命中3炮的概率，最可能命中几炮.解：设W为射击10炮命中的炮数，则B(10,命中3炮的概率为P=3=C3.730.37=10至少命中3炮的概率，为1减去命中不到3炮的概率，为P3=1-P3=1-2Ci0.7i0.3w-i=10I=O因np+p=10X+=不是整数，因此最可能命中二7炮.2 .在一定条件下生产某种产品的废品率为，求生产10件产品中废品数不超过2个的概率.解：设自为10件产品中的废品数，则B(10,则废品数不超过2个的概率为P270=P_=P18=15=E20Ci0.80.2

2、2o-i=0.2061i=184 .从一批废品率为的产品中，重复抽取20个进行检查，求这20个产品中废品率不大于的概率.解：设这20个产品中的废品数为8,则(20,假设这20个产品中的废品率为,则n=20.因此P0.15=PX0.15=Pg3=3Cx.1二2020i.O5 .生产某种产品的废品率为，抽取20件产品，初步检查已发现有2件废品，问这20件中，废品不少于3件的概率.解：设为这20件产品中的废品数，则B(20),又通过检查已经知道定不少于2件的条件，则要求的是条件概率P3|2=P&3n12P2因事件E2nS3,113r2)=E2*。P=i-P=2P=22P-iia2CZZX21Qk(Q

3、fti：1-z一产一因此i2ZP=ii21Pk2:1-i-i040.2852C：1-：0.53120.60836.抛掷4颗骰子，g为出现1点的骰子数目，求&的概率分布,分布函数，以及出现1点的骰子数目的最可能值.解：因掷一次骰子出现一点的概率为1/6,则B(4,1/6),因此1(5、4_kP=k=Ck12(k=0,1,2,3,4),46k1)0X0F(x)=(0x41X4或者算出具体的值如下所示：01234P0x00.48230x110.86811x2F(X)=0.98382x30.99923x2时，台秤不够用.因此每时刻台秤不够用的概率为P(2)=C30.2530.75+0.254=4因此1

4、0个小时内平均有XIO二个小时台秤不够用.10 .已知试验的成功率为p,进行4重贝努里试验，计算在没有全部失败的情况下，试验成功不止一次的概率.解：设W为4次试验中的成功数，则B(4,p),事件没有全部失败即事件0,而事件试验成功不止一次即事件1,因此要求的是条件概率P10),又因事件11被事件10包含，因此这两个事件的交仍然是O1),因此1-c4-4pq3q4其中q=1-p11. 服从参数为2,P的二项分布，已知P(821)=5/9,那么成功率为P的4重贝努里试验中至少有一次成功的概率是多少解：因B(2,p),则必有P(飞1)=1P(飞=0)=1(1p)2=59,解得(1-p)2=1-5/9

5、=4/91 -p=23p=1-2/3=1/3则假设n为成功率为1/3的4重贝努里试验的成功次数，“B(4,1/3),则P(n1)=1-p(n=0)=1-(1-p)4=1-(IgY=1-2=0.802(3)8112. 一批产品20个中有5个废品，任意抽取4个，求废品数不多于2个的概率解：设g为抽取4个中的废品数，则&服从超几何分布，且有PnS共2二长515_=C4i=02013 .如果产品是大批的，从中抽取的数目不大时，则废品数的分布可以近似用二项分布公式计算.试将下例用两个公式计算，并比较其结果.产品的废品率为，从IOOO个产品中任意抽取3个，求废品数为1的概率.解：设任抽3个中的废品数为1则

6、&服从超几何分布，废品数为1000=100DJ-V11G金PC=1=1=C31000而如果用二项分布近似计算，n=3,p=,gB(3,P=1CO.10.92=3近似误差为，是非常准确的.14 .从一副朴克牌(52张)中发出5张，求其中黑桃张数的概率分解：设自为发出的5张中黑桃的张数，则W服从超几何分布，则Pc=i=1352-1(i=0,1,2,3,4,5)5205则按上式计算出概率分布如下表所示：012345P15 .从大批发芽率为的种子中，任取10粒，求发芽粒数不小于8粒的概率.解：设g为10粒种子中发芽的粒数，则&服从超几何分布，但可以用二项分布近似，其中p=,n=10,则P8=10CiO

7、.8iO.2o-i=10i=816. 一批产品的废品率为，用普哇松分布公式求800件产品中废品为2件的概率，以及不超过2件的概率.解：设自为800件产品中的废品数，则自服从超几何分布，可以用二项分布近似，则(800,而因为试验次数很大废品率则很小，可以用普阿松分布近似，参数为=npzz800=Pc=25082-2e4）.8=0.1438P22竺1e-0,8=0.9526i!k17. 某种产品表面上的疵点数服从普哇松分布，平均一件上有个疵点，若规定疵点数不超过1个为一等品，价值10元，疵点数大于1不多于4为二等品，价值8元，4个以上为废品，求产品为废品的概率以及产品的平均价值.解：设g为产品表面

8、上的疵点数，则（服从普哇松分布，=,设R为产品的价值，是自的函数.则产品为废品的概率为P4=1-P4=1-41e）.8=0.0014ioHPv=10=P1=1空e-0,8=i=oHPv=8=P14=421e-08=i=2H则产品的平均价值为En=10P=10+8Pn=8=IOX+8X=（元）18. 一个合订本共100页，平均每页上有两个印刷错误，假定每页上印刷错误的数目服从普哇松分布，计算该合订本中各页的印刷错误都不超过4个的概率.解：设g为每页上的印刷错误数目，则8服从普哇松分布，入=2,则1页印刷错误都不超过4个的概率为P0P(X)一(1ocoIOX共OIoOO1200P(1000个(X)

9、=J_1eVdt因此(X)为偶函数，由0F0F,0-W对称性可知(0)=,0并有P(O)=-1,2r因为连续型随机变量，取任何值的概率都为0,即P(=0)=0.21 .求出19题中的电子管在使用500小时没坏的条件下，还可以继续使用100小时而不坏的概率解：要求的概率为P(600500),因此P飞600I飞500)=，吊3=e=3=0.905P500io22 .若自服从具有n个自由度的X1分布，证明尾的概率密度为OXOQ(X)=2%)|飞(2)HOX共0n的分布函数为F(X)=P(n共x)=P(FtX)=P(飞共X2)=F(X2)(x0)n飞对两边求导得Q(X)=2Q(X2)=2xn24=ef

10、(X0)n飞2加，2,TT(In)I(2)(2)23 .&飞(Oj),求P0,P3,PO3,P-13解：根据之的对称性质及查表得:P0=1-(O)=OP3二2-1=2X=0P03=1-P(3)=OP-13=(3)-(-1)=(3)+(1)-1=+=OOOO24 .自飞(,。”,为什么说事件I-P|2。在一次试验中几乎必然出现解：因为农一r-QN(O,1)P农-r2Q二P标2=2C(2)-1=2A0.97725-1=0.9545欢1因此在一次试验中几乎必然出现.25 .N(10,22),求P(I(K13),P(-102).解：因为农TO,N(OJ)P10农13=P0农一113=P-101.5=1-C(1.5)=1-0.93319=0.0668120P农-102=Pf1=2C(1)1=2A0.84131=0.682626